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高二数学北师大版选修1-1同步精练:2.3双曲线第1课时 Word版含答案


1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的左支

)

C.一条射线 D.双曲线的右支

c 5 2.在双曲线中, = ,且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点,则双曲线的方程 a 2 是( ) y2 x2 A. -x2=1 B. -y2=1 4 4 y2 C.x2- =1 4 x2 D.y2- =1 4

3.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° , 则|PF1|· |PF2|等于( A.2 ) B.4 C. 6 D.8

4.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 B. - =1 12 4 ) y2 x2 D. - =1 12 4 y2 x2 C. - =1 4 12

5.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x y x y A. - =1 B. - =1 3 6 4 5
2 2 2 2 2 2 2

)

x y x y2 C. - =1 D. - =1 6 3 5 4

x2 6.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线 a

FP 的取值范围为( 右支上的任意一点,则 OP ·
A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞)

??? ? ??? ?

) 7 ? C.? ?-4,+∞? 7 ? D.? ?4,+∞?

x2 y2 7.给出问题:F1,F2 是双曲线 - =1 的焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F1 16 20 的距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离. 某学生的解答如下: 由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或|PF2|=17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正 确答案填在下面横线上.________________________________ x2 y2 8. 已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点, A(1,4), P 是双曲线右支上的动点, 则|PF|+|PA| 4 12 的最小值为__________. x2 y2 9.双曲线 - =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 9 16 x 轴的距离为______. x2 y2 10.求与双曲线 - =1 共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线方程. 16 4

11.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道, 挖出的土只能沿道路 AP, BP 运到 P 处(如 图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.

x2 y2 12.设有双曲线 - =1,F1,F2 是其两个焦点,点 M 在双曲线上. 4 9 (1)若∠F1MF2=90° ,求△F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2=120° ,△F1MF2 的面积是多少?若∠F1MF2=60° ,△F1MF2 的面积又是 多少? (3)观察以上计算结果, 你能看出随∠F1MF2 的变化, △F1MF2 的面积将怎样变化吗?试 证明你的结论.

参考答案
1. 解析:本题容易犯片面性错误,从而根据双曲线的定义得出错误结果.由于|PM|- |PN|=4 恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线. 答案:C x2 y2 2. 解析:椭圆的标准方程为 + =1,故焦点坐标为(± 5,0), 9 4 c 5 ∴c= 5.由 = ,得 a=2,又双曲线中 c2=a2+b2,则 b2=1. a 2 答案:B 3. 解析:在△PF1F2 中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+ |PF1|· |PF2|,即(2 2)2=22+|PF1|· |PF2|,解得|PF1|· |PF2|=4. 答案:B 4. 解析:由题意,知圆 C 仅与 x 轴有交点,
?x2+y2-6x-4y+8=0, ? 由? ? ?y=0,

得 x2-6x+8=0. ∴x=2 或 x=4,即 c=4,a=2. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 4 12 答案:A 5. 解析:∵kAB= 0+15 =1,∴直线 AB 的方程为 y=x-3. 3+12

由于双曲线的焦点为 F(3,0),∴c=3,c2=9. x2 y2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
2 x2 (x-3) 则 2- =1. 2 a b

整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 6a2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 =2×(-12),∴5a2=4b2. a -b2 x2 y2 又 a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线 E 的方程为 - =1. 4 5 答案:B 6. 解析:如图所示,由 c=2 得 a2+1=4,

∴a2=3, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 3 设 P 点坐标为(x,y)(x≥ 3),

FP =(x,y)· 则 OP · (x+2,y)
x2 4 =x2+2x+y2=x2+2x+ -1= x2+2x-1(x≥ 3). 3 3 4 令 g(x)= x2+2x-1(x≥ 3), 则 g(x)在[ 3, +∞)上是增加的, g(x)min=g( 3)=3+2 3, 3

??? ? ??? ?

FP 的取值范围为[3+2 3,+∞). ∴ OP ·
答案:B 7. 解析:在双曲线的定义中,||PF1|-|PF2||=2a, 即|PF1|-|PF2|=± 2a,正负号的取舍取决于 P 点的位置是在左支上还是在右支上. 因右顶点到左焦点的距离为 10>9,所以点 P 只能在双曲线的左支上, ∴|PF2|=17. 答案:|PF2|=17 8. 解析:设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|, 故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点 A,P,F1 共线时, |PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为 9. 答案:9 9. 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n. x2 y2 ①当 m>n 时,由 - =1,知 a=3,b=4, 9 16 ∴c=5. 由双曲线的定义,知 m-n=2a=6. ∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2 为直角三角形, 即 m2+n2=(2c)2=100. 由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, ∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32. 设点 P 到 x 轴的距离为 d,则

??? ? ??? ?

1 1 S△PF1F2= d|F1F2|= |PF1||PF2|, 2 2 1 1 即 d· 2c= mn. 2 2 mn 32 16 ∴d= = = , 2c 10 5 16 即点 P 到 x 轴的距离为 . 5 16 ②当 m<n 时,同理可得点 P 到 x 轴的距离为 . 5 答案: 16 5

x2 10. 解: 由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点, 从而可设所求的双曲线方程为 16-k y2 - =1. 4+k 由于点(3 2,2)在所求的双曲线上, 从而有 18 4 - =1. 16-k 4+k

整理,得 k2+10k-56=0,∴k=4 或 k=-14. 又 16-k>0,4+k>0,∴-4<k<16. 从而得 k=4. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8 11. 解:如图,以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角 坐标系.设 M 是分界线上的点,

则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有 |MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以 A,B 为焦点的双曲线的右支. 在△APB 中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500. 从而 a=25,c =
2

AB 4

2

=4 375,

所以 b2=c2-a2=3 750.

x2 y2 ? 所以所求分界线的方程为 =1(x≥25). 625 3750
于是运土时,将此双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工. 12. 解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设 r1>r2), θ=∠F1MF2, 1 ∵S△F1MF2= r1r2sin θ,∴只要求 r1r2 即可, 2 因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出 r1r2. (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13, 由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4,
2 两边平方得 r1 +r2 2-2r1r2=16,

即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,也即 52-16=4S△F1MF2, 求得 S△F1MF2=9. (2)若∠F1MF2=120° ,在△MF1F2 中,由余弦定理得,
2 |F1F2|2=r2 =(r1-r2)2+3r1r2=52, 1+r2-2r1r2cos 120°

∴r1r2=12, 1 求得 S△F1MF2= r1r2sin 120° =3 3. 2 同理可求得若∠F1MF2=60° ,S△F1MF2=9 3. (3)由以上结果可见,随着∠F1MF2 的增大,△F1MF2 的面积将减小. 1 证明如下:S△F1MF2= r1· r sin θ. 2 2 由双曲线定义及余弦定理,有
2 2 ? ?(r1-r2) =4a , ? 2 2 ?r1+r2-2r1· r2cos θ=4c2. ?

① ②

4c2-4a2 ②-①得 r1· r2= , 2(1-cos θ) ∴S△F1MF2= (c2-a2)sin θ 2 θ =b cot . 2 1-cos θ

π? θ π θ ∵0<θ<π,0< < ,在? ?0,2?内,cot 2是减函数. 2 2 θ 因此当 θ 增大时,S△F1MF2=b2cot 减小. 2


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