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3.4简单的三角恒等变换课件 理复习


3.4 简单的三角恒等变换

考纲点击 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.降幂公式 2α sin 2=①__________(用 cos

α 表示) 2α cos 2=②__________(用 cosα 表示) 2α tan =③__________(用 cosα 表示) 2

2.半角公式 1-cosα α sin2=± 2 1+cosα α cos2=± 2 1-cosα 1-cosα α sinα tan =± = = 2 sinα 1+cosα 1+cosα α 其符号由2所在的象限决定.

3.积化和差公式 1 sinαcosβ=2[sin(α+β)+sin(α-β)] 1 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)] 2 1 cosαcosβ=2[cos(α+β)+cos(α-β)] 1 sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)] 2

4.和差化积公式 θ+φ θ-φ sinθ+sinφ=2sin 2 cos 2 θ+φ θ-φ sinθ-sinφ=2cos 2 sin 2 θ+φ θ-φ cosθ+cosφ=2cos 2 cos 2 θ+φ θ-φ cosθ-cosφ=-2sin 2 sin 2

1-cosα 答案:① 2

1+cosα ② 2

1-cosα ③ 1+cosα

考点自测 1. 2-sin22+cos4等于( ) A.sin2 B.-cos2 C. 3cos2 D.- 3cos2

解析: 2-sin22+cos4= 2-sin22+2cos22-1 = 3cos22=- 3cos2. 答案:D

(

π π 2.若 sinα=cosβ,- <α< ,0<β<π,则 α+β 的值为 2 2 ) 3π π A. B.π C. D.0 2 2

解析:由

π π ∵-2<α<2,0<β<π, π π π ∴-2<2-β<2, π ∴α=2-β, π ∴α+β=2. 答案:C

?π ? sinα=cosβ,∴sinα=sin?2-β?. ? ?

3.设 p=cosαcosβ,q=cos 是( ) A.p<q B.p>q

2α+β

2 ,那么 p,q 的大小关系 D.p≥q

C.p≤q

解析:p-q=cosαcosβ-cos

2α+β

2

1 =cosαcosβ-2[1+cos(α+β)] 1 = (cosαcosβ+sinαsinβ-1) 2 1 =2[cos(α-β)-1]≤0, ∴p≤q. ∴选 C. 答案:C

4.求值:sin50° (1+ 3tan10° )=__________.
?1 解析:原式=2sin50° ? + ×? ?2 ? 3sin10° ? 2cos10°? ? cos60° cos10° +sin60° sin10° =2sin50° × cos10° 2sin50° cos50° = cos10° sin100° = cos10° =1. 答案:1

5.设 0≤x<2π,且 1-sin2x=sinx-cosx,则 x 的取值 范围是__________.

解析: 1-sin2x= ?sinx-cosx?2=|sinx-cosx|. 由题设,得|sinx-cosx|=sinx-cosx. ∴sinx-cosx≥0,∴sinx≥cosx. π 5π ∵0≤x<2π,∴4≤x≤ 4 . ?π 5π? 答案:?4, 4 ? ? ?

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.三角恒等变换的两个原则 (1)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名 函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理 式为有理式. (2)清除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端 以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异. 注意:要正确把握公式的结构,明确变形方向,才能准确 地应用公式,达到求解目的.

2.三角函数式的化简 (1)化简的要求 ①能求出值的应求出值; ②尽量使三角函数种数最少; ③尽量使项数最少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数.

(2)化简的思路 对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角 分式, 基本思路是分子与分母约分或逆用公式; 对于二次根式, 注意二倍角公式的逆用. 另外, 还可以用切割化弦、 变量代换、 角度归一等方法. (3)化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂等.

题型探究 题型一 三角式的化简 2sin 2-1 ?π? 例 1(1)已知 f(α)=2tanα- α α ,求 f?12?; ? ? sin2cos2 2cos -sinθ-1 2 (2)已知 tan2θ=-2 2,π<2θ<2π,求 的 ? π? 2sin?θ+4? ? ? 值.
2θ 2α

-cosα 2sinα 2cosα 4 解析:(1)f(α)=2tanα- 1 = cosα + sinα =sin2α, sinα 2 ?π? 4 ? ?= ∴f 12 π=8. ? ? sin 6

cosθ-sinθ 1-tanθ (2)原式= = , sinθ+cosθ 1+tanθ 2tanθ 又 tan2θ= 2 =-2 2. 1-tan θ 1 解得 tanθ=- 或 tanθ= 2. 2 π ∵π<2θ<2π,∴2<θ<π, 1 1+ 2 1 ∴tanθ=- ,故原式= =3+2 2. 1 2 1- 2

点评:要先化简再求值,将所给关系式尽可能化成最简式 或化成含有已知式子的形式,运用整体代入的方法求值.

5 sin2θ 1 变式探究 1 已知函数 f(θ)=- + (0<θ<π). 2 θ 2sin2 (1)将 f(θ)表示成关于 cosθ 的多项式; (2)若 a∈R,试求使曲线 y=acosθ+a 与曲线 y=f(θ)至少 有一个交点时 a 的取值范围.

解析:(1) θ θ sin2θcos +cos2θsin 2 2 1 f(θ)=-2+ θ 2sin2 θ θ 2θ 4cos 2cosθsin2+cos2θsin2 1 =- + 2 θ 2sin2

4cos 2cosθ+cos2θ 2 1+cosθ 4cosθ· 2 +2cos2θ-1 1 =- + 2 2 =2cos2θ+cosθ-1. 1 =-2+



(2)由 2cos2θ+cosθ-1=acosθ+a, 得(cosθ+1)(2cosθ-1)=a(cosθ+1). a+1 a+1 ∴cosθ= 2 ,∴-1< 2 <1, 即-3<a<1.

题型二 三角函数的求值 π π α 例 2 已知 0<α<2,0<β<2,且 3sinβ=sin(2α+β),4tan2 2α =1-tan 2,求 α+β 的值.

α 2α 2α 解析:∵4tan =1-tan ,且 1-tan ≠0. 2 2 2 α 2tan 2 1 ∴tanα= α=2. 1-tan2 2 又∵3sinβ=sin(2α+β), ∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即 3sin(α+β)cosα- 3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.

∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα. 又∵cos(α+β)sinα≠0, 2sin?α+β?cosα tan?α+β? ∴ =4,即 tanα =2, cos?α+β?sinα ∴tan(α+β)=2tanα=1. π π 又∵0<α<2,0<β<2, ∴0<α+β<π, π 由①②得 α+β=4.

α 点评:由 的关系式可求出 α 的正切值,再据已知条件构 2 造出 α+β,从而可求出 α+β 的一个三角函数值.

变式探究 2

1 13 已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α 7 14

π < , 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β.

1 π 解析:(1)由 cosα=7,0<α<2,得 ? 1? 4 3 2 ? ?2 = sinα= 1-cos α= 1- 7 7 , ? ? sinα 4 3 7 ∴tanα= = × =4 3. cosα 7 1 2×4 3 2tanα 8 3 于是 tan2α= = =- . 47 1-tan2α 1-?4 3?2

π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?=
2

?13? 3 3 ? ?2 = 1- 14 14 . ? ?

由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π 所以 β=3.

题型三 三角变换的应用 例 3 设函数
? π? f(x)=cos?2x+3?+sin2x. ? ?

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 ?C? (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cosB=3,f? 2 ?= ? ? 1 - ,且 C 为锐角,求 sinA. 4

π π 1-cos2x 解析:(1)f(x)=cos2xcos3-sin2xsin3+ 2 1 3 1 1 =2cos2x- 2 sin2x+2-2cos2x 1 3 =2- 2 sin2x. π π 所以,当 2x=- +2kπ,即 x=- +kπ(k∈Z)时, 2 4

1+ 3 f(x)取得最大值,f(x)max= 2 , 2π f(x)的最小正周期 T= 2 =π, 1+ 3 故函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期为 π. 2

(2)由

?C? 1 1 ? ?=- ,即 - f2 4 2 ? ?

3 1 2 sinC=-4,

3 π 解得 sinC= 2 ,又 C 为锐角,所以 C=3. 1 2 2 由 cosB= 求得 sinB= . 3 3 因此 sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC 2 2 1 1 3 = 3 ×2+3× 2 2 2+ 3 = . 6

点评:高考对三角恒等变换的考查一般与三角函数的图象 与性质相结合,有时也会在三角形中综合考查三角恒等变换, 考查学生运算求解能力.

变式探究 3

已知函数

? π? f(x)=2cosxsin ?x+3? - ? ?

3sin2x+

sinxcosx. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及最小值; (3)写出函数 f(x)的单调递增区间; ? π π? (4)证明 f(x)在?-3,12?上递增. ? ?

? 1 3? ? 解析: f(x)=2cosx?sinx·+cosx· ?- 2 2? ? ?
2

3 1 2 (1-cos2x)+2sin2x

3 3 =sin2x+ 3cos x- 2 + 2 cos2x 3 3 3 3 =sin2x+ 2 + 2 cos2x- 2 + 2 cos2x ? π? =sin2x+ 3cos2x=2sin?2x+3?. ? ? ∴(1)T=π.

(2)f(x)max=2,f(x)min=-2. π π π (3)令 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2, 5π π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.
? 5π π? ∴y=f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? ? 5π π? (4)令 k=0,可得 y=f(x)的一个单调增区间为?-12,12?. ? ? ? π π ? ? 5π π ? ? 又因为?-3,12??-12,12?, ? ? ? ? ? π π? ∴y=f(x)在?-3,12?上单调递增. ? ?

归纳总结 ?方法与技巧 1.三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角,二是统一函数 名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分. (2)三角函数式化简的要求. ①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③ 尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开 方数不含三角函数. (3)三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同名,异 角化同角,降幂或升幂.

2.三角函数式的求值 已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路 为: (1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

?失误与防范 1.实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角 公式.由于本章三角公式多,记错、记混三角公式是屡见不鲜 的. 2.凡是涉及“开平方”的问题,必须注意符号的选取, 而符号的选取最终取决于角的范围.如果不能确定,则要进行 分类讨论,防止丢解.

新题速递 sinα+cosα 1 1.(2012· 江西卷)若 =2,则 tan2α=( ) sinα-cosα 3 3 4 4 A.-4 B.4 C.-3 D.3

sinα+cosα 1 tanα+1 1 解析:由 = ,得 = 即 2tanα+2=tanα sinα-cosα 2 tanα-1 2 2×?-3? -6 3 2tanα -1,∴tanα=-3,∴tan2α= = = = . 1-tan2α 1-?-3?2 -8 4 答案:B

2.(2012· 广东卷)已知函数 = 2. (1)求 A 的值; (2)设

? x π? ?π ? f(x)=Acos?4+6?,x∈R,且 f?3? ? ? ? ?

? π? ? 4 ? 2 ? 8 30 ? α,β∈?0,2?,f?4α+3π?=-17,f?4β-3π?=5,求 ? ? ? ? ? ?

cos(α+β)的值.

?π ? ?π π? π ? ?=Acos? + ?=Acos = 解析:(1)f 3 4 ? ? ?12 6?

2 2 A= 2,解得 A=

2.
? ? ? 4 ? π π? π? (2)f ?4α+3π? =2cos ?α+3+6? =2cos ?α+2? =-2sinα=- ? ? ? ? ? ?

30 15 ,即 sinα= , 17 17 ? ? 2 ? π π? 8 ?4β- π?=2cos?β- + ?=2cosβ= , f 3 ? 6 6? 5 ? ? 4 即 cosβ=5.

? π? ∵α,β∈?0,2?. ? ?

8 3 2 ∴cosα= 1-sin α=17,sinβ= 1-cos α=5. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 8 4 15 3 =17×5-17×5 13 =-85.
2


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