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高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析


试题研究'解题技巧……………………………敦学教学通讯(中等教育)……………………?投稿邮箱:sxjk@vip.163.com

朱建波 江苏沛县中学221600

舅一≮黛芸篡嚣椭籼籼黼…躺,点氕戳了触≯蹲腻糊
瞄关键词:椭圆;双曲线;离心率;思路剖析
离心率e是刻画圆锥曲线性质的重 要参数.求圆锥曲线离心率的值或范 围的问题在全国各省市高考试题中屡 见不鲜.在各地的调研试题中也每每 出现.解决此类问题。需要认真审核. 从题目信息,从所给的数式与图形中, 构造关于三个量口。b。c的等量关系或 不等关系.从而找到解题方向.但是学 生在处理这类问题的部分试题时.经 常束手无策.笔者认为:此类问题并非 无迹可寻.而是有法可依.现选取部分 高考试题。给出几种思路或方法。并加 以解析与点评.以期能为同行与学生 提供参考. 评注:圆锥曲线的教学是围绕着定 义展开的.定义准确地揭示了圆锥曲线 这一概念内涵.因此定义法应当是解决 离心率问题的基本策略.本题中.根据 点P的特殊位置.利用定义分别列出等 量关系.迅捷地达到了求解的目的.当 然.我们除了应重视圆锥曲线的具体定
义外。还应关注圆锥曲线的统一定义,

21FDI,得泸弘望,所她宰.
评注:定义是数学概念之本.是解 决数学问题的重要依据,回归定义,应 用定义法解题是不容忽视的重要方法
之一.

即根据已知条件选取对应的焦点与准 线.构造圆锥曲线的统一定义,从而解
决问题.以下例2就是利用圆锥曲线的 统一定义解题的范例.

(固。坐标法——通过求定点坐
标解e值
倒3(2009年江苏卷第13题)在平 面直角坐标系菇0,,中,A。,A 2,B。,B2为椭

倒2(2010年全国卷I理科第16

圆薯+岳=1(D6>o)的四个顶点,肋其
右焦点,直线A。B2与直线B。瑚交于点r,
线段OT与椭圆的交点肘恰为线段0r的

题)已知难椭圆C的一个焦点,曰是短
轴的一个端点.线段引P的延长线交椭圆

Q剪定义法——利用定义求解e
倒1(2011年福建卷理科第7题) 设圆锥曲线C的两个焦点分别为R,B,

c于点D,且藤2而,则椭圆c的离心率

为一



中点,则该椭圆的离心率为一
vJ

若C_E存在点P满足I矾l:I FIRI:I踢l-
4:3:2.求圆锥曲线C的离心率.

厂 ‘汾。



解析:由题意*-fi雯I隅I--4k,IE尼l=
3七,lPF2l=2k,矗娥若c为椭圆,由椭圆

弋 彰7

i夕 取r。
B2

A八0 \

拦/z;
Bl

的定义可得l隅l+fPF2I=2a=6k,.黜la=3k.

图2

而IE足I-3k=2c,得c=委七,所以e=三=
了1.若c为双曲线,由双曲线的定义可得

解析:如图1,IBFl=、佰茸孑=口,作

解析:如图2,易得A,(一口,0),B1(0, 一b),B2(0,b),F(c,0),直线AlB2的方程 为bx—ay+ab=O,直线日lF的方程为6戈-c),一
bc=O.

DD?坍彻一岫藤疡滑器=
器=詈,M IDO-I=乏3 10mI_c'3
即菇庐詈.又由圆锥曲线的统一定义可 得I刃I=e}兰2 11一翌2a,x.由IBFI=

I矾l—lPF2l l=2I仁2_j},勋la=k.而I—R|-

联立直线AIB2和直线B,F的方程可

3扣2c,得c=詈七,所以e-詈3詈?综上,
圆锥曲线C的离心率为土或三.

求得点r的坐标为f丝,望堕堕1,点肘

的坐标为(三,罴),橼肘的坐

万方数据

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标(告,等卜曲线方程告唔= e=一.
、/6


基本不等关系的使用.也要注意特殊情

况下等号是否能取得.例4中点腻取不
到右顶点.这也成为学生失误的主要方 面。当然。通过构造三角形。应用余弦定

1(。>6>o)有尘≠+掣:1,即
口2c2

62(叶c)2

评注:这道题也是由直线的方程、中

点坐标公式、双由线的性质等基础知识,。 直接求出定点M的坐标.再结合题目条 件列出口与c的奇次式.从而求出离心率j

理.利用三角函数的有界性等其他一些 方法也可以解决.

e2+lOe一3--0,可求得e=2、/可一5..
评注:标准方程是圆锥曲线的量化 体现,.&M(xo,Yo)在圆锥曲线上除了满足 圆锥曲线的定义外.其坐标也满足曲线

(翁有界法——利用有界性求
e的范围
圆锥曲线具有有界性.点P(x。,yo)

@j。方程法——利用方程思想
求e
例6(2010年辽宁卷理科第20题)

的方程.例3借助直线的方程、中点坐标 公式、圆锥曲线的性质等基础知识.通过 计算,直接用口,b,c刻画定点肘的坐标后, 将其代入曲线方程.从而解出e值.


为椭圆要+丢=1(础>o)上任意一点,F 6‘
aY

设椭圆c:吾+吾=1(口>6>o)的右焦点为
F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两

此,通过求定点坐标,找出口与c的关系。

为其中一个焦点.则椭圆中主要包含两 类有界性问题:一类为一口≤粕≤8,-b≤

也是解决离心率问题的有效途径之一. 例4 (2012年浙江卷理科第8题)

点,直线z的倾斜角为60。,刑毫2赢,求椭
圆C的离心率.
y。

yo<一b;另一类为州≤IPFl
D。

a+c.类似

已知,I,,2分别是双曲线c:吾一吾=1
(口,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点。

地,在双曲线等一等=1中,有粕≤一口或 旷
XO≥口及JPFl
要方法. 倒5 (2010年四川卷理科第9题)
2 D—

a---c等不等关系.这些关

。/,。

直线FIB与C的两条渐近线分别交于P.

系.可以作为解决圆锥曲线离心率的重

Q两点,线段用的垂直平分线与石轴交
于点麒若IMF2J-lEF2I,则c的离心率



弋 勿j
圈5

叫.

,,。

7 弋\;
圈3





已知椭圆要+£=1(D6>o)的右焦点为1 I旷

解析:如图5,设A,B的坐标分剐为

F。其右准线与省轴交于A点。在椭圆上存 在点尸满足线段AJP的垂直平分线过点F.

(茗。,Y1),(石:,y2),结合刑已2商,直线z的倾
斜角为60。,可知”<o,坷>0,直线Z的方程

则椭圆的离心率的范围为一
,,。


f产、/丁(算_c),

为),2订(纠),联立k£:1
I∥b2

解析:如图3,易得fOBl=b,IOF,I=c.

所以||}胪鱼,l|}胪一旦..
直线PQ的方程为,,:鱼(并+c),两条
),2~L并+c),
b,.、


渊V. 弋7 夕Al;
/,



,.

可得(3a%b2)^2、/了bYy一3b4=0,
鲤攫x/3 b2(c+2口)

渐近线的方程为辟鱼氩由


曲线的统一定义得{型牟:盟:三, I明l兰叫。口’
所以IPFl铷叫粕.由IPFI=IAFI得口一

解析1:如图4,设P(‰,yo),由圆锥

—X/3ibFZ(2a-c).又捷2商,所以功: —瓦矿‘M忙刖∞’”Ⅲ功2
轨,解得e=三=善.
评注:对于这类“硬算型”问题.应
紧扣题目的已知条件,找准出发点。构

解的l=一—铲舻

’,=一茹 n
y=

L.



得Q

f旦,旦1;由
\C-a C—a i


y=

k。』口




口即—口≤_a(ac-a2+c2)<口,解得上≤e<1.
c2

造方程或方程组,层层递进,步步为营. 例6就是紧紧围绕计算A。曰的横、纵坐标 展开的.此类题目思路非常清晰.计算 过程较为复杂,但设计十分精巧,能够 应用方程思想解决.是一道考查学生基
本能力的好题.

e菇庐!叶,]b手xo=a(ac-a2+c2)一.由川≤戈《



P(署,兰C 1I.可叫害b,针b所以
\C+口 +o \ /

解析2:由题意IPFI:IAFI:!吖且
口—c<』PFI<。a-I-。

直线删的方程妒等一詈卜害)

可得a-c<兰-c≤。+c.


令产喊庐乏 又lJIfRl-I FlRl=2c, 所姚~』C2--矿,解之得e2=吾=寻,即
万方数据

求得!≤e<1.


◇数形结合法——通过数形
结合求e
倒7(2012年四川卷文科第15题) (下转第49页)

评注:例5从两种不同的角度建立

了不等关系.而解题时不仅要注意这些

47

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所以二!二迎<m<—-I+、—PE且
2 2

传递性得到口I+n2>0,进而得到此时啦不

m≠0.

综合①②竿弛<T-1+V5-
(2)当a2=0时,由nld三+蚴一a2=O,知
(3)"-3 o.2<0时,由ata:+a弛-a2--O,知

存在,于是得到结论二生孑三<阻<
—-1+V—3-.利用题目条件传递不等关


+..?+卦-.
22为2 1n2

Ix2<—x3

+—l_+

-Ea4#0.

系也是我们常用手段之二一?



-。凡一1。,Ⅱ=(?一i1)+({一了1)+…+

口届=0.X.al>0,所以a,---O.

⑨翔用常见结论进行传递
倒4 已知数列{b。}的通项公式
1 l

(击一挣,÷-,
所以当凡≥2时,都有谚>2(鲁+了d3+ …+封 点评:本题将先将出表示成2(鲁+ 鲁+…+:})一(磐1-圭??,≥)+1tb"J情
况.然后将1


A=暖1‰啦=(砚+4口1)口2.
因为矾+oa+a3--0,所以aI蜘乒吨,
Y.-a3<0,所r2ai+a2>O, 所]-z4as+a2=(aI+口2)+3口I>3aI>o.

6。铆2,设d^:1
、/6- (nE N+),

、/62

Vb.

R-a2<O,所以△《幽华(时4口1)眯
0,所以此时m不存在.

求证:当n≥2时,都有鹰>2(手+亨+
…+鱼1.(改编自高三考试题)
解析:由6。=矿,知d^=¨21

综合(1)(2)(3)知半<啦<
点评:本题由条件口I+啦峋=09cal>

一l+、/了


I:I


I I

l中的每一项土
/7,2

22

32

k2

土.所以吐I-如I.上,d,l+站I-2d,I-土(n≥

(2≤后≤n)放大为而1,于是将去+
上+…+土放大为1-!.再将1一上放大
32
/92 ,l’ n

a2>as传递得到吻<0和口l>0,然后对口2进行

2),所以磷毽,:2尘一三. 由(鹰《-)+(《tq乙)+…(鹰瑙)2

啦嘲变形为嘞=华,再利用口l>啦得 到华>砚,从而得到m的部分取值范



讨论,其中当az>O-ga4#O,将式-T-al口i=

2(害?害??鲁)一(壶+jli+…+丢i), 所以砖=2(害?字??以/7,)一(去+歹1
倒8 (2008年江西卷理科第7题)

为1。最后利用两个常见结论土k2< !
(k-1)k

和1一!<l进行不等关系的传


围.当啦<o时,对于一(口l+啦)=锄且n水0由

递.从而得到结论.

(上接第47页J

而求出口的值.进而确定e.该题综合性

已知椭圆≤+£:1(口为定值,且D> 矿 5
’4

础的点M总在椭圆内部,则椭圆的离
心率的取值范围是——一



已知只,既是椭圆的两个焦点.满足砀寸.

较强。有一定的难度.例8这道题从丽亓.
丽露匈入手,构造以Fl尼为直径的圆,建
立相应关系进而求解.以上两题.应用
数形结合。列出所需关系。化繁为简,变

、/了)的左焦点为F。直线茗=m与椭圆相 交于点A,B,AFAB的周长的最大值是

12,则该椭圆的离心率是一
y.


日1

m A

仁习》 ≮ 岁 /二


仍永。. 迅4.幺;
图7

难为易.达到了事半功倍的效果. 高考试题中圆锥曲线离心率问题. 是一类既常见又有一定综合性的题目. 该类题目涉及面广.题目条件又具多样 性,如何根据图形与条件,找出关系。寻 求规律。要求学生对知识的广阔性、系统 性有深刻的理解.要求学生具备扎实的 基本功和较好的数学素养.这需要数学 教师在教学中想方设法、千方百计启迪 学生的思维。开发学生的潜能。提升学生 的能力。从而全面提高学生的综合素质. 这才是新课程改革所期望的.也是我们 每个数学教育工作者的不懈追求.



圈6

解析:因为丽寸.丽才=0,结合图7,
点』If的轨迹是以E最为直径的圃且内含
于椭圆。由图易得b>c,l£ltbZ-_a2..c2>c2,解

解析:如图6.可设椭圆的右焦点为

F’,连接F’A,F’曰,则AFAB的周长Z=

lE4 I+l,曰I+IA曰I≤IFA I+I,曰I+lF’A l+

lF’Bl=4a=12(当且仅当A,F’,麒线时“=”


得№<!三.


成立).此时a=3。则离心率e=三.

评注:例7通过构造AF'AB,利用两 边之和大于或等于第三边这个性质.从

万方数据

高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 朱建波 江苏沛县中学 221600 数学教学通讯 SHUXUE JIAOXUE TONGXUN 2013(24)

引用本文格式:朱建波 高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析[期刊论文]-数学教学通讯 2013(24)


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