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【暑假预习】2015年初高中数学衔接教材讲义:第三讲 一元二次方程根与系数的关系


九校联盟数学组

撰笔:史苏伟

审核:陈碰碰

第三讲

一元二次方程根与系数的关

现行 初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、 解法及应用, 而一元二次方 程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有 着许多应用 。本节将对一元

二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:
(x ? b 2 b 2 ? 4ac ) ? 2a 4a 2

(1) 当 b 2 ? 4ac ? 0 时, 右端是正数。因此,方程有两个不相等的实数根:

?b ? b2 ? 4ac x? 2a
(2) 当 b 2 ? 4ac ? 0 时,右端是零。因此,方程有两个相等的实数根: x1,2 ? ? (3) 当 b2 ? 4ac ? 0 时,右端是负数。因此,方程没有实数根。 由于可以用 b2 ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因 此,把 b2 ? 4ac 叫 做一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示 为: ? ? b2 ? 4ac 【例 1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数: (1) 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 (2) 4 y 2 ? 9 ? 12 y (3) 5( x2 ? 3) ? 6 x ? 0
b 2a
[来源:学科网 ZXXK]

[来源:学科网]

说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程 的一般形式。 【例 2】 已知关于 x 的一元二次方程 3x2 ? 2 x ? k ? 0 , 根据下列条件, 分别求出 k 的范围: (1) 方程有两个不相等的实数根; (3)方程有实数根; (2) 方程有两个相等的实数根; (4) 方程无实数根。

九校联盟数学组

撰笔:史苏伟

审核:陈碰碰

【例 3】已知实数 x 、 y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 2x ? y ? 1 ? 0 ,试求 x 、 y 的值。

二、一元二次方 程的根与系数的关系 一元二次方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为:

x1 =

?b?

b

2

? 4ac

2a

,

x2 =

?b?

b

2

? 4ac

2a

所以: x1 ? x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac b ? ?? , 2a 2a a
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac (?b) 2 ? ( b 2 ? 4ac ) 2 4ac c ? ? ? 2 ? 2a 2a a (2a) 2 4a

x1 ? x2 ?

定理:如果一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:
b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此 定理称为”韦达定理”。上述定理成立的前提是 ? ? 0 。 【例 4】若 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x12 ? x22 ; (2)
1 1 ? ; (3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ; x1 x2

(4) | x1 ? x2 | 。

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算。这 里,可以利用韦达定理来解答。

[来源:Zxxk.Com]

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ,

1 1 x1 ? x2 , ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 , ? ? x1 x2 x1 x2

[来源:学科网]

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x22 ? x12 x2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ,

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撰笔:史苏伟

审核:陈碰碰

x13 ? x23 ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1 x2 ( x1 ? x2 ) 等等。韦达定理体现了整体思想。
【例 5】已知关于 x 的方程 x 2 ? (k ? 1) x ? (1) 方程两实根的积为 5; 所以要分类讨论。
1 2 k ? 1 ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的值。 4

(2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 。

分析:(1) 由韦达定理即可求之;( 2) 有两种可能,一是 x1 ? x2 ? 0 ,二是 ? x1 ? x2 ,

[来源:学*科*网]

说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实 根的条件,即所求的字母应满足 ? ? 0 。 【例 6】已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根。 3 (1)是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? 成立?若存在,求出 k 的值; 2 若不存在,请您说明理由。 (2)求使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值。 x2 x1

说明:(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明 存在,否则即不存在。 4 (2)本题综合性较强,要学会对 为整数的分析方法。 k ?1


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