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3.3.2简单的线性规划问题(一)


3.3.2 简单的线性规划问题(一)

作出下列不等式组的所表示的平面区域 y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40) x-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

5

C



A
B
O
1
x=1 5 3x+5y-25=0

x

问题1:x 有无最大(小)值?

问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?

把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,求z的最大值和最小值.

在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结 论 : 形 如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 2 x ? y ? 0平 行.

o

x

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先 作 出 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .

5

C

2.作直线 l0 : 2 x ? y ? 0
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

A B
O
1 x=1 5

2x ? y ? 0

直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 (x,y) 可行解

可行域

有关概念
由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x, y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x,y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称为 目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 或最小值的可行解称为最优解。

x ? y ? 2 ? 例:x,y满足关系式 ? ? x?0 ? y?0 ?


z ? y?x

的最值

(1)指出线性约束条件和线性目标函数 (2)画出可行域的图形 (3)说出三个可行解 (4)求出最优解

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

22 例1.写出?ABC , A(5, 2), B(1,1), C (1, )的 5 内部和边界组成的平面区域对应的不等 式组.对于满足不等式组的x, y. 求z ? 2 x ? y的最值.

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。

课堂练习

(1)已知

?x - y ? 0 ? ?x ? y - 1 ? 0 ?y ? 1 ? 0 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。

y

y-x=0
5

1

O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max ? 3

zmin ? ?3

x+y-1=0

(2)已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3 x

O
-1

1

5

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11

?2 x ? y ? 3 ? 0, ? 例: 13.已知x、y满足不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3x ? 5 y ? 15 ? 0, ? (1)求上述不等式组表示的平面区域内的整点; (2)当x, y ? Z时,求z ? x ? y的最大值和最小值.

线性规划求最优整数解的一般方法: 1.平移找解法: 即先打网格,描出可行域内的
整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点

坐标即为最优整解.

2.调整优解法: 即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小) 的整点值,最后筛选出整点最优解.

【2011 浙江(文)第3题】

? x+2y-5 ? 0 ? 若实数x,y满足不等式组 ?2x+y-7 ? 0 , ? x ? 0,y ? 0 ? 则3x+4y的最小值是( ) A.13 B.15 C.20 D.28
【2011 浙江(理)第5题】

? x+2y-5 ? 0 ? 若实数x,y满足不等式组 ?2x+y-7>0 ,若x,y为整数, ? x ? 0,y ? 0 ? 则3x+4y的最小值是( ) A.14 B.16 C.17 D.19

已知变量x,y满足下列条件 ? x-4y ? -3 ? ?3x+5y ? 25, ?x ? 1 ? 设z=2x-3y,求z的最大值和最小值。
变式1

设z=ax+y,若z仅在点(5,2)处取得最大值,求a的取值范围。
变式2 设z=ax+y,若使z取得最大值的最优解有无数个,求a的值。

学案P69典型例题 例: ? x-2y ? 7 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

例1

已知x,y满足现行约束条件

求(1)u=4x-3y的最大值与最小值。
2 (2)z=(x+3)2 +(y+1) 的最大值和最小值。 y ?1 (3)t = 的最值。 x?3

4x-3y-12=0

X-2y+7=0

x+2y-3=0
P(-3,-1)

X-2y+7=0

4x-3y-12=0

P(-3,-1)

x+2y-3=0

t ?

y ?1 x?3

tmax ? kPA
X-2y+7=0
Q(x,y) 4x-3y-12=0

tmin ? kPB

P(-3,-1)

x+2y-3=0

【评析】线性规划求最值问题,要充分理解目标

函数的几何意义, 诸如直线的截距、两点间的距离
(或平方)、点到直线的距离、过已知直线两点的斜 率等.

练习:已知x,y满足条件

y+7 (1) 的取值范围; x+4

{

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 求: 4x+y+10≥0.

(2)x2+y2的最大值和最小值.

已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3, 求a+3b的取值范围。
解法1:由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)b ∴m+n=1,m-2n=3 m=5/3 ,n=-2/3 ∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b) ∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-11/3≤a+3 b≤1 解法2:∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-2≤2a+2 b≤2, -3≤2 b-a≤-1 ∴-1/3≤a≤5/3 -4/3≤b≤0 ∴-13/3≤a+3 b≤5/3

已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求 a+3b的取值范围。
解法3 约束条件为:
?a ? b ? ?1 ?a ? b ? 1 ? ? ?a ? 2b ? 1 ? ?a ? 2b ? 3
b

D O A a

P
B

C

目标函数为:z=a+3b 由图形知:-11/3≤z≤1 即 -11/3≤a+3 b≤1

小结:解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——截距、斜率,距离。

3x +2y≤10 作业:满足线性约束条件 多少个整数解。 y
5
4 3 2 1

x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0

x +4y=11

0

1

2

3

3x +2y=10

4

5

x

?x ? 2 y ? 5 ? 0 作业: ? x ?1 y ? 已知x, y满足 ? , 则 的最值是C y ? 0 x ? ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0
A最大值是2,最小值是1 B最大值是1,最小值是0 C最大值是2,最小值是0

D有最大值无最小值是

若z= x ? y 呢
2 2

作业: 例5.已知变量x, y满足下列不等式组:
?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? ? x ? 7 y ? 11 ? 0, ?4 x ? y ? 10 ? 0, ? 求z ? x 2 ? y 2的最大值和最小值.

作业:已知x,y满足约束条件

{

x≥1

x-3y≤-4
3x+5y≤30

(1)求目标函数z=2x-y的最大值和最小值; (2)求目标函数z=x2+y2+10x+25的最小值; (3)若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个求a的 值. y+5 (4)求目标函数z= x + 5 的取值范围.


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