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一次函数、二次函数和方程


一次函数、二次函数和 方 程 一. 一次函数
1、正比例函数 一般地,形如 (k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数. 2、正比例函数图象和性质 一般地,正比例函数 y=kx(k 为常数,k≠0)的图象是一条经过 和 的一条直线,我们称它为直线 y=kx.当 k>0 时,直线 y=kx 经过第 象限,从左 向右上升,即随着 x 的增大,y

也增大;当 k<0 时,直线 y=kx 经过第 象限,从左向右下降,即随 着 x 的增大 y 反而减小. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y=kx(k≠0)中 的常数 k,其基本步骤是:(1)设出含有待定系数的函数解析式 y=kx(k≠0);(2)把已知条件(自变量 与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数 k 的一元一次方程;(3)解方程,求出待定系数 k;(4) 将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地,形如 (k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时, y= ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 5、一次函数的图象(1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是经过 两点的一条直 线,因此一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b.(2)一次函数 y=kx+b 的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一 次函数的图象时, 只要先描出两点, 再连成直线即可.一般情况下: 是先选取它与两坐标轴的交点: b) . (0, , 即横坐标或纵坐标为 0 的点. 6、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,它可以看作 是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而得到(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移). 7、直线 y=kx+b 的图象和性质与 k、b 的关系如下表所示: k>0,b>0 经 过 第 象限 k>0,b<0 经过第 象限 k>0,b=0 经过第 象限 k>0 时, 图象从左到右上升, y 随 x 的增大而增大 k<0 b>0 经过第 象限 k<0,b<0 经过第 象限 K,0,b=0 经过第 象限 k<0 图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小 8、直线 y 1 =kx+b 与 y 2 =kx 图象的位置关系: (1)当 b>0 时,将 y 2 =kx 图象向 x 轴上方平移 b 个单位, 就得到 y 1 =kx+b 的图象. (2)当 b<0 时,将 y 2 =kx 图象向 x 轴下方平移-b 个单位,就得到了 y 1 =kx+b 的图象. 9、直线 l 1 :y 1 =k 1 x+b 1 与 l 2 :y 2 =k 2 x+b 2 的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定: 当 k 1 ≠k 2 时,l 1 与 l 2 相交,交点是(0,b). 10、直线 y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点. (1)直线 y=kx 与 x 轴、y 轴的交点都是(0,0); (2)直线 y=kx+b 与 x 轴交点坐标为( ?

b ,0)与 y 轴交点坐标为(0,b). k

二.二次函数的三种表示方式
1>.一般式: 2>.顶点式: 3>.交点式: ; ,其中顶点坐标是(-h,k). ,其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. ①

当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0.

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) 于是, , 不难发现, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的 根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2 -4ac 存在下列关系: (1) Δ>0 时, 当 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立.
1

(2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx +c=0 的两根,所以 x1+x2= ?

b c b c ,x1x2= ,即 =-(x1+x2), =x1x2. a a a a b c 所以,y=ax2+bx+c=a( x 2 ? x ? )= a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). a a

由上面的推导过程可以得到下面结论: 2 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点, 则其函数关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 3.二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的 ;h 决定了二次函 数图象的左右平移,而且“h 正 移,h 负 移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正 , k负 ”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法:

b2 b2 b b 2 由于 y=ax +bx+c=a(x + x )+c=a(x + x + 2 )+c- 4a 4a a a
2 2

b 2 b 2 ? 4ac , ? a( x ? ) ? 2a 4a

所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的,于 是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质:

b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直线 x (1)当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b b =- ; x< ? 当 时, 随着 x 的增大而减小; x> ? y 当 时, 随着 x 的增大而增大; x= ? y 当 时, 2a 2a 2a 2a 4ac ? b 2 函数取最小值 y= . 4a b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直 (2)当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b b 线 x=- ; x< ? 当 时, 随着 x 的增大而增大; x> ? y 当 时, 随着 x 的增大而减小; x= ? y 当 2a 2a 2a 2a 2 4ac ? b 时,函数取最大值 y= . 4a
2

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次 函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. y y

b x=- 2a

b 4ac ? b 2 , ) A (? 2a 4a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4
2

x

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求 二次函数的解析式.

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达 式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

注意:函数 y=ax +bx+c 图象作图要领: (1) 确定开口方向:由二次项系数 a 决定 (2) 确定对称轴:对称轴方程为 x ? ?

2

b 2a
2

(3) 确定图象与 x 轴的交点情况,①若△>0 则与 x 轴有两个交点,可由方程 x +bx+c=0 求 2 出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点,可由方程 x +bx+c=0 求出③①若△<0 则与 x 轴有 无交点。 (4) 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c,所以交点坐标为(0,c) (5) 由以上各要素出草图。 练习:作出以下二次函数的草图 (1) y ? x ? x ? 6
2

(2) y ? x ? 2 x ? 1
2

(3) y ? ? x ? 1
2

例 4 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量 x 的值.
3

巩固练习 1: 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) (3)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (4)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空: (1)已知二次函数的图象与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设 为 y=a (a≠0) . 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1 + 2,0),并与 y 轴交于(0,-2). 4. (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . (2) 已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m, m= 当 时, 函数图象的顶点在 y 轴上; m= 当 时, 函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. (3) 函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 , 对称轴为 , 顶点坐标为 ; 当 x= 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 5.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求 当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

三.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1 ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 ? ,则有 2a 2a

x1 ? x2 ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a
4

x1 x2 ?

2 ?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 2? (b ? 4ac) 4ac c ? ? ? 2 ? . 2a 2a 4a 2 4a a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1·2= .这一关系也被称为 x a a

韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·2=q, x 即 p=-(x1+x2),q=x1·2, x 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 x 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·2=0.因此有 x 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·2=0. x 例 1 已知方程 5 x
2

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

例 2 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两个根的 积大 21,求 m 的值.

例 3 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 (3)x13+x23. ? 2 的值; 2 x1 x2

说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac x1 ? , x2 ? , 2a 2a
∴| x1-x2|=

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac 2 b2 ? 4ac ? ? 2a 2a 2a

?

b 2 ? 4ac ? ? . |a| |a|

于是有下面的结论:
5

若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=

? (其中 Δ=b2-4ac) . |a|

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例 4 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围.

练 习 1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 (2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是(
2 2

)

(A)m< 2.填空:

1 4

(B)m>-

1 4

(C)m<

1 1 ,且 m≠0 (D)m>- ,且 m≠0 4 4
. . .

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是
2

1 1 ? = x1 x2

3.已知 a ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实数根? 4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

巩固练习 2: 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?



7 ; 3

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2 2 (4) 若关于 x 的方程 x +(k -1) x+k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 (5)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直角三角形的斜 边长等于( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9

6

(6)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4

x1 x2 ? 的值为( x2 x1
(D)



(C)3

3 2

2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . (5)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 . (6)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 . 2 (7)若方程 x -8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个 相等的实数根?没有实数根?

4.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

5.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ; (2)x13+x23. 2

6.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

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