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高三分段函数复习材料


分段函数
一、 分段函数定义 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 , 有不同的对应法则的函数, 它是 一个函数,它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集。 二、 分段函数的考查点 1、 求分段函数的定义域和值域

?2 x ? 2 x ? [?1, 0]; ? x ? (0, 2); 的定义域、 例 1.求函数 f

( x) ? ? ? 1 2 x ?3 x ? [2, ??); ?
值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知 f ( x ) 的定义域 为 [?1, ??) , 值域为 (?1,3] . 练 1、设函数 g ( x) ? x 2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? 是( A. [ ? ) B. [0,??) C. [ ?
-1

y 3 2
1

o -1

1

2 x

? g ( x) ? x ? 4 , x ? g ( x) ,则 f ( x) 的值域 g ( x ) ? x , x ? g ( x ) ?
9 ,?? ) 4
D. [?

9 ,0] ? (1,?? ) 4

9 ,0] ? (2,?? ) 4

2.求分段函数的函数值

?| x ? 1| ?2, (| x |? 1) ? 例 2.已知函数 f ( x) ? ? 1 求 f [ f (1 . 2 )] , (| x | ? 1) ? 2 ?1 ? x
3 1 【解析】因为 f ( 1 2 ) ?| 2 ? 1| ?2 ? ? 2 ,
3 所以 f [ f ( 1 2 )] ? f ( ? 2 ) ?

1 4 ? . 3 2 1 ? (? 2 ) 13

练 2、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) = ? 则 f (3) 的值为( A. - 1 ) B. - 2

x?0 ?log2 (4 ? x), , f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0 ?
C. 1 D. 2 )

?1 x ?( ) 3、给出函数 f ( x) ? ? 2 ? ? f ( x ? 1)

( x ? 4) ,则 f (log 3) ? ( 2 ( x ? 4)
1

A. -

23 8

B.

1 11

C.

1 19

D.

1 24


?sin(? x 2 ), ?1 ? x ? 0, ? 4、函数 f ( x) ? ? x?1 ,若 f ?1? ? f ?a ? ? 2 ,则 a 的所有可能值为( ? ?e , x ? 0.
A. 1 B. ?

2 2

C. 1 , ?

2 2

D.1 ,

2 2

3.求分段函数的最值

? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? 例 3.求函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) 的最大值. ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?
【解析】当 x ? 0 时 ,

fmax ( x) ? f (0) ? 3 , 当 0 ? x ? 1 时,

fmax ( x) ? f (1) ? 4 , 当

x ? 1 时,

? x ? 5 ? ?1 ? 5 ? 4 , 综上有 fmax ( x) ? 4 .

4.求分段函数的解析式 例 4.在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对 称, 现将 y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位, 再沿 y 轴向上平移 1 个单位, 所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数 f ( x ) 的表达式为( )

?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) A. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) B. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 (1 ? x ? 2) C. f ( x ) ? ? x ? 2 ? 1 (2 ? x ? 4) ?2 x ? 6 (1 ? x ? 2) D. f ( x) ? ? x ? 2 ? 3 (2 ? x ? 4)
【解析】当 x ? [?2, 0] 时,
3
2

y

1 -2
-1

o

1

x

y轴 y?1 2 x ? 1 , 将其图象沿 x 轴向右平移 2 个单位, 再沿
1 得 解 析 式 为 y?1 2 ( x ? 2) ? 1 ? 1 ? 2 x ? 1 ,

向 下 平 移 1 个 单 位 ,

所 以

f ( x)?

2x ? 2 ( x ? ?[ ,1 ,当 0 x]? )[0,1] 时,
2

y ? 2 x ? 1 , 将其图象沿 x 轴向右平移 2

个单位 ,

再沿 y 轴向下平移 1 个单位 ,

得解析式 y ? 2( x ? 2) ? 1 ? 1 ? 2 x ? 4 ,

所以

?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) , 综上可得 f ( x) ? ? x , 故选 A. f ( x) ? 1 2 x ? 2 ( x ? [0, 2]) ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2)
5.作分段函数的图像 例 5.函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1| 的图像大致是(
y


y

1
1 o
O

x 1

1

x

A
y
y

B

1
1 x O 1 C

x O D 1

6.判断分段函数的奇偶性 例 6.判断函数 f ( x) ? ? 【解析】当 x ? 0 时,
2 ? ? x ( x ? 1) ( x ? 0) 的奇偶性. 2 ? x ( x ? 1) ( x ? 0) ? ?

?x ? 0 ,

f (? x) ? ?(? x)2 (? x ? 1) ? x2 ( x ?1) ? f ( x) ,
?x ? 0 ,

当 x ? 0 时, f (?0) ? f (0) ? 0 , 当 x ? 0 ,

f (? x) ? (? x)2 (? x ?1) ? ? x2 ( x ? 1) ? f ( x) 因此, 对于任意 x ? R 都有 f (? x) ? f ( x) ,
所以 f ( x ) 为偶函数. 7.判断分段函数的单调性(考查具有隐含性,例如:与分段函数不等式有关的问题) 例 7.判断函数 f ( x) ? ?

? x3 ? x ( x ? 0) ? 的单调性. 2 ? x ( x ? 0) ? ?

【解析】显然 f ( x ) 连续. 当 x ? 0 时,

f ' ( x) ? 3x2 ? 1 ? 1恒成立, 所以 f ( x) 是单调递

3

增函数,

当 x ? 0 时,

f ' ( x) ? ?2 x ? 0 恒成立,

f ( x) 也是单调递增函数, 所以 f ( x)

在 R 上是单调递增函数; 或画图易知 f ( x ) 在 R 上是单调递增函数. 例 8.写出函数 f ( x) ?|1 ? 2 x | ? | 2 ? x | 的单调减区间.
y

??3x ? 1 ( x ? ? 1 2) ? 1 (? 2 ? x ? 2) , 画图易知单调减区 【解析】f ( x) ? ?3 ? x ?3x ? 1 ( x ? 2) ?
间为 (??, ? 1 . 2] 练 5、已知 f ( x) ? ?
1 2

5

5 2

o

2

x

?(3a ? 1)x ? 4a , x ? 1 是 (??, ??) 上的减 ? log a x, x ? 1
(B) (0, ) (D) [ ,1)

函数,那么 a 的取值范围是 (A) (0,1) (C) [ , )

1 3

1 1 7 3

1 7

6、设函数 f ( x) ? ? log (? x) ( x ? 0) ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是( 1

?log2 x ? ? ?
2

( x ? 0)



A.(?1,0) ? (0,1)

B.(??,?1) ? (1,??)

C.(?1,0) ? (1,??)

D.(??,?1) ? (0,1)

8.解分段函数的不等式

?2? x ? 1 x (? 0 ) ? 例 9 . 设 函 数 f ( x) ? ? 1 , 2 ? x ( x ? 0) ?



y

f ( x0 ) ? 1 , 则 x0 得取值范围是(
A. (?1,1) B. (?1, ??)


1 x -1 1

C. (??, ?2) ? (0, ??) D. (??, ?1) ? (1, ??)

4

【解析 1】首先画出 y ? f ( x) 和 y ? 1 的大致图像, 易知 f ( x0 ) ? 1 时, 的取值范围是 (??, ?1) ? (1, ??) . 【解析 2】 因为 f ( x0 ) ? 1 , 当 x0 ? 0 时,
1 2

所对应的 x0

2? x0 ? 1 ? 1 , 解得 x0 ? ?1 , 当 x0 ? 0 时,

x0 ? 1 , 解得 x0 ? 1 , 综上 x0 的取值范围是 (??, ?1) ? (1, ??) . 故选 D.
例 10. 设函数 f ( x) ? ?
2 ? ?( x ? 1)

( x ? 1)

? ?4 ? x ? 1 ( x ? 1)

,

则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为 ( )

A. (??, ?2] ? [0,10] C. (??, ?2] ? [1,10]

B. (??, ?2] ? [0,1] D. [?2, 0] ? [1,10] 所以 x ? ?2或0 ? x ? 1,

【解析】 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 1 ? x ? ?2或x ? 0 , 当 x ? 1 时, 上所述,

f ( x) ? 1 ? 4 ? x ?1 ? 1 ? x ?1 ? 3 ? x ? 10 , 所以 1 ? x ? 10 , 综

x ? ?2 或 0 ? x ? 10 , 故选 A 项.

练 7、 (2009 天津卷)设函数 f ( x) ? ? ( ) A. (?3,1) ? (3,??)

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ? x ? 6, x ? 0
C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3) )

B. (?3,1) ? (2,??)

?2? x ? 1, x ? 0, ? 若f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是( 8、设函数 f ( x) ? ? 1 2 ? x?0 ?x , A. (?1,1) B. (-1,??)
C. (??,?2) ? (0,??) D. (??,?1) ? (1,??)

8.解分段函数的方程(包括函数零点问题) 例 11、设函数 f ( x) ? ? 【解析】若 2? x ?
1 4

?2? x

x ? (??,1]

?log81 x x ? (1, ??)
则2
1
?x

,

则满足方程 f ( x) ?

1 的 x 的值为 4


,

? 2?2 ,

得 x ? 2 ? (??,1] ,

所以 x ? 2 (舍去) ,

, 则 x ? 814 , 解得 x ? 3 ? (1, ??) , 所以 x ? 3 即为所求. log81 x ? 1 4

5

练 9、设 f ( x) ? ? ( ) A.[1,2]

? 3? x ? a( x ? 0) ,若 f ( x) ? x 有且仅有三个解,则实数 a 的取值范围是 ? f ( x ? 1)(x ? 0)
B. ?? ?,2? C. ?1,??? ) C. 2 D.3 D. ?? ?,1?

? x 2 +2x-3,x ? 0 10、函数 ( 的零点个数为 ( f x)= ? ?-2+ ln x,x>0
A.0 11. 函 数 f ( x) ? ? ( ) A.4 B.1

, ?4 x ? 4
2

x? 1 ,

? x ? 4 x ? 3,x ? 1
C.2

的 图 象 和 函 数 g ( x) ? log2 x 的 图 象 的 交 点 个 数 是 D.1

B.3

6


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