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北京市丰台区2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题(A卷)Word版含答案


丰台区 2017-2018 学年度第一学期期中联考试卷
高二文科数学(A 卷) 考试时间:90 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、单选题共 10 小题;每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.直线 y ? ? x ? 2 的倾斜角是

? A. 4
?

?
B. 4

3? C. 4

5? D. 6

x2 y2 ? ?1 7 2.已知椭圆方程 9 ,那么该椭圆的焦点坐标是
(4, 0) A. (?4, 0),
C. (0,?4), (0,4)

? 2 ), (0,2 ) B. (0,
0),( 2, 0) D. (? 2,

3.已知直线 m : y ? k ( x ? 1) ? 2 恒过点 P ,那么点 P 坐标是 A. (?1,?2) B. (1,2) C. (?1,2) D. (1,?2)

4.经过点 (5,1) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 A. x ? y ? 4 ? 0 C . B. x ? y ? 6 ? 0 或 D .

x ? 5y ? 0

x ? 5y ? 0



x? y?4 ? 0

x? y ?6 ? 0

5.若直线 ax ? 8 y ? 2 ? 0 平行于直线 2 x ? ay ? 2 ? 0 ,则实数 a 的值是 A. 0 B. 4 C. ? 4 D. ? 4

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? ?1 6.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 表示的平面区域的面积是

5 A. 4

B. 10

25 C. 4

25 D. 8

x2 y2 ? ?1 7.已知方程 (m ? 2) (m ? 3) 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是
A. m ? 2 C. m ? 2或m ? ?3 B. m ? ? 3 D. ? 3 ? m ? 2

? x ? 1, ? ? y ? 2, ? 2 x ? y ? 8, 2 2 8.已知点 P( x, y ) 满足条件 ? 那么 x ? y 的最大值是
A. 37 B. 13
2 2

64 C. 5

D. 5

9. 直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 O : x ? y ? 4 在第二象限内有两个不同交点, 则实数 m 的取 值范围是 A. 2 3 ? m ? 4 C. 2 ? m ? 2 3 B. 0 ? m ? 2 D. 2 ? m ? 4

x2 y 2 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,点 P 在椭 b 10.已知椭圆 a
圆上,且 ?F1PF2 ? 90 .若这样的点 P 有 4 个,则离心率 e 的取值范围是
?

2 ? e ?1 A. 2 0?e?
C.

2 ? e ?1 B. 2 0?e?
D.

2 2

2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。

x2 y2 ? ?1 11.双曲线 16 9 的离心率为____;渐近线方程为____.
12.若三点 A(a,2) , B(2,5) , C (?1,?1) 共线,则 a 的值等于____.

C:
13.已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 l 通过点 F2 且与 a 2 b2

1 的周长是 8 ,且 2c ? a ,则椭圆 C 的方程为____. 椭圆 C 相交于 A、B 两点.若 ?ABF

14.若实数 x ,

y 满足不等式组

? y ? x, ? ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0, ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?

则目标函数 z ? ?2 x ? y 的最大值是____;

最小值是____. 15.已知直线 l : mx ? y ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为 2 3 ,那么 m 的值等于____.
2 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) ,过点 (2,1) 作圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线,切点分别为 b 16. 已知椭圆 a
A , B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,那么椭圆方程是____.

三、解答题共 4 个小题,共 36 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17.(本小题 8 分) 已知 A(?2,0) , B(1,3) ,直线 l 经过点 B 且垂直于直线 AB ,直线 l 与 x 轴相交于点 C . (1)求直线 AB 的方程以及线段 BC 的垂直平分线; (2)求 ?ABC 的外接圆方程. 18. (本小题 9 分) 已知圆 M : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,直线 l 经过点 A(3,5) 且与圆 M 相切.
2 2

(1)求圆 M 的圆心坐标以及半径; (2)求直线 l 的方程.

19. (本小题 9 分)

x2 y 2 C: ? ?1 F, 8 4 已知 1 F2 分别为椭圆 的左、右焦点,直线 l 通过右焦点 F2 ,且直线 l 的倾
斜角是 45 . (1)求椭圆 C 的离心率;
1 的面积. (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,求 ?ABF

?

20. (本小题 10 分)

T:
已知椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,点 A(?2, 0) , B(2, 0) 都在椭圆 T 上,

| BC | ? 2b ,直 P 为椭圆 T 上异于 A, B 的任意一点.以 AB 为一边作矩形 ABCD ,且 | AD | ?
线 DP, CP 分别交 x 轴于 (1)求椭圆 T 的方程;

E , F 两点.

| AE | ? | BF | | EF |2 为定值,并求该定值. (2)求证:

(考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上做答无效)

丰台区 2017-2018 学年度第一学期期中联考试卷 高二文科数学(A 卷) 考试时间:90 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本题共 10 小题;每小题 4 分,共 40 分) 1 C 2 D 3 A 4 D 5 D 6 C 7 C 8 A 9 A 10 B

第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分) 二、填空题(本题共 4 小题;每小题 4 分,共 24 分)

5 3 y?? x 4 (每空 2 分) 11.(1) 4 (2)

1 12. 2

x2 y2 ? ?1 4 3 13.

2 14. (1) 3 (2) - 4 (每空 2 分) -

15.0

x2 y2 ? ?1 16. 20 16

三、解答题(本题共 4 小题,共 36 分;解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步 骤) 17. (9 分) 解: (1)由已知

k AB ? 1 ,则直线 AB 的方程为:
……1 分

y ? 3 ? x ? 1 ,即 AB : x ? y ? 2 ? 0
所以

k BC ? ?1 ,

则直线 BC 的方程为: y ? 3 ? (?1)(x ? 1) ,

BC : x ? y ? 4 ? 0 ,

……2 分

0). ……3 分 令 y ? 0 ,则 x ? 4 ,所以 C 点坐标为(4,
5 3 ( , ) BC 的中点是 2 2
则线段 BC 的垂直平分线方程为:

……4 分

y?

3 5 ? x? 2 2,

即 BC 的垂直平分线方程为: x ? y ? 1 ? 0 …6 分 (2)因为 AB ? BC , 所以圆心坐标为点 A 和点 C 的中点坐标(1,0) …7 分

r?

AB ?3 2

…8 分

所以,圆的方程为 18. (9 分)

? x ? 1?

2

? y2 ? 9

.

…9 分

解: (1)∵圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ………1 分
2 2

∴圆心坐标为 (1, 2) ,半径 r ? 2

………3 分

(2) ①当直线 l 的斜率存在时: 设直线 l 的方程为: y ? 5 ? k ( x ? 3) ,…4 分 即 l : kx ? y ? 5 ? 3k ? 0 因为直线 l 与圆 M 相切,所以

d?

3 ? 2k k2 ?1

?r ?2
,…5 分

k?
所以

5 12 ,

………6 分

因此, l 的方程为: 5x ? 12 y ? 45 ? 0 .…7 分 ②当直线 l 的斜率不存在时:

l 的方程为: x ? 3 ,经验证符合. ……8 分
综上: l 的方程为: x ? 3 或 5x ? 12 y ? 45 ? 0 …9 分 19.(9 分)

解: (1)由已知 c ? 2 ,

e?

c 2 ? 2 2 2 a 2 ,又 b ? a ? c ,

x2 y 2 ? ?1 4 ∴椭圆的标准方程是 8
(2)因为

……3 分

k ? 1, F ( ) 2 2, 0 , l

所以直线 l 的方程为: y ? x ? 2 ………………4 分

将 y ? x ? 2 代入椭圆

C:

x2 y 2 ? ?1 8 4 中整理得,

3x2 ? 8 x ? 0 ,………………………………5 分
8 2 A(0, ?2), B( , ) 3 3 ,……………………6 分 可解得
∴ AB ?

8 2 ,……………………7 分 3

l 点F 1 到直线 的距离为: d ?
S?ABF1 ?

?2 ? 0 ? 2 2

? 2 2 ,…8 分

1 1 8 16 | AB | d ? ? 2 ?2 2 ? .………9 分 2 2 3 3

20.(9 分) 解: (1)由已知: a ? 2, e ?
2 2

c c 3 ,得 c ? 3 ,……1 分 ? ? a 2 2

所以, b ? a ? c ? 1 , 椭圆 C 的方程:

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………… 3 分

(2)因为 A(?2,0), B(2,0) ,不妨记 C (2, 2), D(?2, 2) , 设 P( x0 , y0 ) , 所以: DP 直线方程为 y ? 2 ?

y0 ? 2 ( x ? 2) , x0 ? 2
……4 分

则 E(

?2( x0 ? 2) ? 2,0) y0 ? 2

同理, CP 直线方程为 y ? 2 ?

y0 ? 2 ( x ? 2) , x0 ? 2
……5 分

则 F(

?2( x0 ? 2) ? 2,0) y0 ? 2

| AE |?|

?2( x0 ? 2) ?2( x0 ? 2) | , | BF |?| |, y0 ? 2 y0 ? 2

所以 | AE | ? | BF |?

4(4 ? x02 ) 16 y02 ;………6 分 ? ( y0 ? 2)2 ( y0 ? 2)2

而 | EF |?|

?2( x0 ? 2) ?2( x0 ? 2) ?2? ?2| y0 ? 2 y0 ? 2 4 y0 8 ? 4 |?| |, y0 ? 2 y0 ? 2
……8 分

?|

所以

| AE | ? | BF | ? 1. | EF |2

………………9 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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