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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域最新(1)


3.3.1 二元一次不等式( 组)与平面区域

?x ? 3 ? 0 所表示的解集图形吗? 你知道不等式组 ? ?x ? 4 ? 0

思考:

3

0

4

x

一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 ------数轴上的区间 思考

:在直角坐标系内,二元一次不等式的解集表示什
么图形?

新课引入

问题:在平面直坐标系中,y=1 表示的点的集合表示什么图形?

y>1 呢?
o

y
y=1 x

y

y>1

(x0 , y0) (x , y)

y=1

o y<1

x x0 ? x , y0 ? 1

新知探究:

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (2)探究 二元一次不等式x – y < 6的解集所表示的图形。 作出x – y = 6的图像——一条直线, 直线把平面分成三部分:直线上、左上方区域和 右下方区域。 x–y=6 y 直线上 x O 右下方区域 左上方 区域

新知探究:
验证:设点P(x,y 1)是 直线x – y = 6上的点,选取 点A(x,y 2),使它的坐 标满足不等式x – y < 6,请 完成下面的表格,
横坐标 x
点 P 的纵坐标 y1

y O

A( x, y2 ) x – y = 6

x
P( x, y1 )

–3 –2 –1

0

1

2

3

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 6 4 0

点 A 的纵坐标 y2 - 8 - 6 - 5 - 3

新知探究:
当点A与点P有相同的横坐标 时,它们的纵坐标有什么关 系? ( A点纵坐标大于P点纵坐标) 直线x – y = 6左上方点的坐标 与不等式x – y < 6有什么关系? (左上方点的坐标满足不等式) 直线x – y = 6右下方点的坐标 呢? (右下方点的坐标不满足不等式) y O
P( x, y1 )

A( x, y2 )

x–y=6 x

新知探究:
结论 在平面直角坐标系中,以二 y O

元一次不等式x – y < 6的解为
坐标的点都在直线x – y = 6的 左上方;反过来,直线x – y = 6左上方的点的坐标都满足不 等式x – y < 6。

x–y=6 x

新知探究:
结论

不等式x – y < 6表示 直线x – y = 6左上方 的平面区域;

不等式x – y > 6表示 直线x – y = 6右下方 的平面区域;

直线叫做这两个区域的边界

新知探究:
(3)从特殊到一般情况: 二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐
标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点 组成的平面区域。(虚线表示区域不包括边界 直线) 结论一: 二元一次不等式表示相 应直线的某一侧区域 y O Ax + By + C = 0 x

若不等式中可以取等号,则边界应画成实线, 否则应画成虚线。

新知探究:
4、如何判断二元一次不等式表示直线的哪一侧 平面区域? 判断方法 直线定界,特殊点定域。 由于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代 入Ax+By+C所得实数的符号都相同(同侧同号), 所以只需在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),根 据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线 的哪一侧区域。 一般地 C≠0时,常把原点作为特殊点 C=0时,可取其他特殊点。

新知形成 2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域 的判断方法:

直线定界,特殊点定域。
C≠0时,常把原点(0,0)作为特殊点; C=0时,可取其他特殊点。

例题分析

例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解:(1) 先画直线x + 4y – 4 = 0 直线定界 (画成虚线)
(2) 取原点(0,0), 代入x + 4y – 4, ∵ 0 + 4× 0 – 4 = – 4 < 0 ∴原点在x + 4y – 4 < 0表示的平 面区域内,不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。 特殊点定域
y 1

4 x x+4y―4=0

课堂练习1 分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域 (1) x-y+5≥0
y 5

(2) x+y≥0
y

(3) x<3
y

x-y+5=0

x=3

-5
0 x 0 x 0 x

x+y=0

例题分析 例2:画出不等式组

y

x+y=0
5

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
表示的平面区域.
x-y+5=0

-5 O

x

x=3

注:不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。

课堂练习2

课本P86

T 1 、2、3

1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线 x – 2y + 6 = 0的( A.右上方

B)
C.左上方 D.左下方

B.右下方

2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是( D )

?x ? 3y ? 6 ? 0 3、不等式组 ? ?x ? y ? 2 ? 0

表示的平面区域是(

B)

? y ? ?3 x ? 12 例2.用平面区域表示不等式组 ? 的解集; ? x ? 2y
此区域为 所求 y 12 8 4 0 4 8 x y=-3x+12 x=2y

小结
1、二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点 组成的平面区域。 2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的 判断方法: C≠0时,取原点作特殊点; 直线定界,特殊点定域。 C=0时,取其他特殊点。 注意:(1)画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 (2) 若区域包括边界, 则把边界画成实线;
若区域不包括边界,则把边界画成虚线。

课后作业 P93 A组1(1)(3);2


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