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2011-2013无锡中考真题-圆与二次函数(含答案)


1.(3 分) (2013?无锡)如图,A、B、C 是⊙ O 上的三点,且∠ ABC=70°,则∠ AOC 的度数是 ( )

A.35°

B.140°

C.70°

D.70°或 140°

2.(12 分) (2013?无锡)如图,直线 x=﹣4 与 x 轴交于点 E,一开口向上的抛物线过原点 交线段 OE 于点 A,交直线 x=﹣4 于点 B,过 B 且平行于 x 轴的直线与抛物线交于点 C, 直线 OC 交直线 AB 于 D,且 AD:BD=1:3. (1)求点 A 的坐标; (2)若△ OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.

考 二次函数综合题. 点: 分 (1)过点 D 作 DF⊥ x 轴于点 F,由抛物线的对称性可知 OF=AF,则 2AF+AE=4① , 析: 由 DF∥ BE,得到△ ADF∽ △ ABE,根据相似三角形对应边成比例得出 = = ,即 AE=2AF② ,① 与② 联立组成二元一次方程组,解出 AE=2,AF=1,进而得到点 A 的坐 标; (2)先由抛物线过原点(0,0) ,设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx,再根据抛物线 过原点(0,0)和 A 点(﹣2,0) ,求出对称轴为直线 x=﹣1,则由 B 点横坐标为﹣ 4 得出 C 点横坐标为 2,BC=6.再由 OB>OC,可知当△ OBC 是等腰三角形时,可分 两种情况讨论:① 当 OB=BC 时,设 B(﹣4,y1) ,列出方程,解方程求出 y1 的值, 将 A,B 两点坐标代入 y=ax2+bx,运用待定系数法求出此抛物线的解析式;② 当 OC=BC 时,设 C(2,y2) ,列出方程,解方程求出 y2 的值,将 A,C 两点坐标代入 y=ax2+bx,运用待定系数法求出此抛物线的解析式. 解 解: (1)如图,过点 D 作 DF⊥ x 轴于点 F. 答: 由题意,可知 OF=AF,则 2AF+AE=4① .

∵ DF∥ BE, ∴ △ ADF∽ △ ABE, ∴ = = ,即 AE=2AF② ,

① 与② 联立,解得 AE=2,AF=1, ∴ 点 A 的坐标为(﹣2,0) ; (2)∵ 抛物线过原点(0,0) , ∴ 可设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx. ∵ 抛物线过原点(0,0)和 A 点(﹣2,0) , ∴ 对称轴为直线 x= =﹣1,

∵ B、C 两点关于直线 x=﹣1 对称,B 点横坐标为﹣4, ∴ C 点横坐标为 2, ∴ BC=2﹣(﹣4)=6. ∵ 抛物线开口向上, ∴ ∠ OAB>90°,OB>AB=OC, ∴ 当△ OBC 是等腰三角形时,分两种情况讨论: ① 当 OB=BC 时,设 B(﹣4,y1) , 则 16+ =36,解得 y1=±2 (负值舍去) . 将 A(﹣2,0) , B(﹣4,2 得 ,解得 )代入 y=ax2+bx, .

∴ 此抛物线的解析式为 y=

x2+

x;

② 当 OC=BC 时,设 C(2,y2) , 则 4+ =36,解得 y2=±4 (负值舍去) . 将 A(﹣2,0) ,C(2,4 得 ,解得 x2+ )代入 y=ax2+bx, . x. x2+ x或

∴ 此抛物线的解析式为 y=

综上可知,若△ OBC 是等腰三角形,此抛物线的函数关系式为 y= y= x2+ x.

点 本题考查了二次函数的综合题型,其中涉及到二次函数的对称性,相似三角形的判 评: 定与性质,运用待定系数法求抛物线的解析式,等腰三角形的性质,两点间的距离 公式等知识,综合性较强,难度适中.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题 的关键. 3.(2012 无锡)已知⊙ O 的半径为 2,直线 l 上有一点 P 满足 PO=2,则直线 l 与⊙ O 的位置 关系是( A. 相切 相切或相交 考点:直线与圆的位置关系。 分析:根据直线与圆的位置关系来判定.判断直线和圆的位置关系:① 直线 l 和⊙ O 相交? d <r;② 直线 l 和⊙ O 相切? d=r;③ 直线 l 和⊙ O 相离? d>r.分 OP 垂直于直线 l,OP 不垂直直 线 l 两种情况讨论. 解答:解:当 OP 垂直于直线 l 时,即圆心 O 到直线 l 的距离 d=2=r,⊙ O 与 l 相切; 当 OP 不垂直于直线 l 时,即圆心 O 到直线 l 的距离 d=2<r,⊙ O 与直线 l 相交. 故直线 l 与⊙ O 的位置关系是相切或相交. 故选 D. 点评:本题考查直线与圆的位置关系.解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半 径大小关系完成判定. 4.(2012 无锡)如图,以 M(﹣5,0)为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A.B 两点,P 是 ⊙ M 上异于 A.B 的一动点,直线 PA.PB 分别交 y 轴于 C.D,以 CD 为直径的⊙ N与x轴 交于 E、F,则 EF 的长( ) ) B. 相离 C. 相离或相切 D.

A. 等于 4 随P点

B. 等于 4

C. 等于 6

D.

考点:垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:连接 NE,设圆 N 半径为 r,ON=x,则 OD=r﹣x,OC=r+x,证△ OBD∽ △ OCA,推出 OC:OB=OD:OA,即(r+x) :1=9: (r﹣x) ,求出 r ﹣x =9,根据垂径定理和勾股定理即 可求出答案.
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解答:解:连接 NE, 设圆 N 半径为 r,ON=x,则 OD=r﹣x,OC=r+x, ∵ 以 M(﹣5,0)为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A.B 两点, ∴ OA=4+5=9,0B=5﹣4=1, ∵ AB 是⊙ M 的直径, ∴ ∠ APB=90°, ∵ ∠ BOD=90°, ∴ ∠ PAB+∠ PBA=90°,∠ ODB+∠ OBD=90°, ∵ ∠ PBA=∠ OBD, ∴ ∠ PAB=∠ ODB, ∵ ∠ APB=∠ BOD=90°, ∴ △ OBD∽ △ OCA, ∴ = 即 =
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[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

, ,

解得:r ﹣x =9, 由垂径定理得:OE=OF,OE =EN ﹣ON =r ﹣x =9, 即 OE=OF=3, ∴ EF=2OE=6, 故选 C. 点评:本题考查了勾股定理,垂径定理,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键 是求出 OE=OF 和 r ﹣x =9,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力. 5. (2012 无锡)若抛物线 y=ax +bx+c 的顶点是 A(2,1) ,且经过点 B(1,0) ,则抛物线 的函数关系式为 y=﹣x +4x﹣3 . 考点:待定系数法求二次函数解析式。 专题:计算题。
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分析:设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2) +1,将点 B(1,0)代入解析式即可求出 a 的 值,从而得到二次函数解析式. 解答:解:设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2) +1, 将 B(1,0)代入 y=a(x﹣2) +1 得, a=﹣1, 函数解析式为 y=﹣(x﹣2) +1, 展开得 y=﹣x +4x﹣3. 故答案为 y=﹣x +4x﹣3. 点评:本题考查了待定系数法求函数解析 式,知道二次函数的顶点式是解题的关键,要注 意,最后结果要化为一般式. 6. (2012 无锡)如图,在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上,剪去图中阴影部分的四个 全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒 (A.B.C.D 四个顶点正好重合于上底面上一点) .已知 E、F 在 AB 边上,是被剪去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=BF=x(cm) . (1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积 V; (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积 S 最大,试问 x 应取何值?
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2

考点:二次函数的应用。 分析: (1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a= AB=24cm,求出 x 即可得出这个包装盒的体积 V; (2)利用已知表示出包装盒的表面,进而利用函数最值求出即可. 解答:解: (1)根据题意,知这个正方体的底面边长 a= ∴ x+2x+x=24, 解得:x=6, 则 a=6 V=a =
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[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x,EF=

=2x,再利用

x,EF=

=2x,

, =432 (cm ) ; ,h=
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(2)设包装盒的底面边长为 acm,高为 hcm,则 a= ∴ S=4ah+a =4
2



x

(12﹣x)+

=﹣6x +96x=﹣6(x﹣8) +384,

2

∵ 0<x<12, ∴ 当 x=8 时,S 取得最大值 384cm . 点评:此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法,根据已知得出正方体的边 长 x+2x+x=24 是解题关键. 25. (2012 无锡)某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款: 投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁 5 年,5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中做出选择: 方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的 10%. 方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,2 年后每年可以获得的租金为商铺 标价的 10%,但要缴纳租金的 10%作为管理费用. (1)请问:投资者选择哪种购铺方案,5 年后所获得的投资收益率更高?为什么?(注: 投资收益率= ×100%)
2

(2)对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么 5 年后两人获 得的收益将相差 5 万元.问:甲、乙两人各投资了多少万元? 考点:一元一次方程的应用;列代数式。 分析: (1)利用方案的叙述,可以得到投资的收益,即可得到收益率,即可进行比较; (2)利用(1)的表示,根据二者的差是 5 万元,即可列方程求解. 解答:解: (1)设商铺标价为 x 万元,则 按方案一购买,则可获投资收益(120%﹣1)?x+x?10%×5=0.7x 投资收益率为 ×100%=70%

按方案二购买,则可获投资收益(120%﹣0.85)?x+x?10%×(1﹣10%)×3=0.62x 投资收益率为 ×100%≈72.9%

∴ 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高. (2)由题意得 0.7x﹣0.62x =5 解得 x=62.5 万元 ∴ 甲投资了 62.5 万元,乙投资了 53.125 万元. 点评:本题考查了列方程解应用题,正确表示出两种方案的收益率是解题的关键. 7. (2012 无锡)如图,菱形 ABCD 的边长为 2cm,∠ DAB=60°.点 P 从 A 点出发,以 cm/s 的速度,沿 AC 向 C 作匀速运动;与此同时,点 Q 也从 A 点出发,以 1cm/s 的速 度,沿射线 AB 作匀速运动.当 P 运动到 C 点时,P、Q 都停止运动.设点 P 运动的时间为 ts. (1)当 P 异于 A.C 时, 请说明 PQ∥ BC; (2)以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t 为怎样的值时,⊙ P与 边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点 ?

考点:直线与圆的位置关系;等边三角形的判定与性质;菱形的性质;切线的性质;相似 三角形的判定与性质。 专题:几何综合题。 分析: (1)连接 BD 交 AC 于 O,构建直角三角形 AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对 角线平分对角、邻边相等的性质推知△ PAQ∽ △ CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证 得∠ APQ=∠ ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等,两直线平行”可以证得结论; (2)如图 2,⊙ P 与 BC 切于点 M,连接 PM,构建 Rt△ CPM,在 Rt△ CPM 利用特殊角的三 角函数值求得 PM= PC= 方程即可求得 t 的值; 如图 3,⊙ P 过点 B,此时 PQ=PB,根据等边三角形的判定可以推知△ PQB 为等边三角形, 然后由等边三角形的性质以及(2)中求得 t 的值来确定此时 t 的取值范围; 如图 4,⊙ P 过点 C,此时 PC=PQ,据此等量关系列出关于 t 的方程,通过解方程求 得 t 的 值. 解答:解: (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形,且菱形 ABCD 的边长为 2cm, ∴ AB=BC=2,∠ BAC= ∠ DAB, 又∵ ∠ DAB=60°(已知) , ∴ ∠ BAC=∠ BCA=30°; ,然后根据 PM=PQ=AQ=t 列出关于 t 的方程,通过解

如图 1,连接 BD 交 AC 于 O. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥ BD,OA= AC, ∴ OB= AB=1(30°角所对的直角边是斜边的一半) , ∴ OA= ,AC=2OA=2 , ,

运动 ts 后, ∴

又∵ ∠ PAQ=∠ CAB, ∴ △ PAQ∽ △ CAB, ∴ ∠ APQ=∠ ACB(相似三角形的对应角相等) ,

∴ PQ∥ BC(同位角相等,两直线平行)…5 分 (2)如图 2,⊙ P 与 BC 切于点 M,连接 PM,则 PM⊥ BC. 在 Rt△ CPM 中,∵ ∠ PCM=30°,∴ PM= PC= 由 PM=PQ=AQ=t,即 解得 t=4 =t

﹣6,此时⊙ P 与边 BC 有一个公共点;

如图 3,⊙ P 过点 B,此时 PQ=PB, ∵ ∠ PQB=∠ PAQ+∠ APQ=60° ∴ △ PQB 为等边三角形,∴ QB=PQ=AQ=t,∴ t=1 ∴ ∴ 当 1≤t≤3﹣ ∴ 当 t=4 当4 时,⊙ P 与边 BC 有 2 个公共点. t=t,∴ t=3﹣ . 时,⊙ P 与边 BC 有一个公共点, 或 t=2 时,⊙ P 与菱形 ABCD 的边 BC 有 1 个公共点; 如图 4,⊙ P 过点 C,此时 PC=PQ,即 2

当点 P 运动到点 C,即 t=2 时,⊙ P 过点 B,此时,⊙ P 与边 BC 有一个公共点, ﹣6 或 1<t≤3﹣ ﹣6<t≤1 时,⊙ P 与边 BC 有 2 个公共点.

点评:本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性

质.解答(2)题时,根据⊙ P 的运动过程来确定 t 的值,以防漏解. 8.(11·无锡)如图,抛物线 y=x2+1 与双曲线 y= 等式

k 的交点 A 的横坐标是 1,则关于 x 的不 x

k 2 + x +1<0 的解集是 x

( ▲ )

A.x>1 B.x<-1 C.0<x<1 D.-1<x<0 【答案】D

9. (11·无锡)如图,以原点 O 为圆心的圆交 X 轴于 A、B 两点,交 y 轴的正半轴于点 C, D 为第一象限内⊙O 上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD= ▲ °. 【答案】65°
y C D A O B x

10. (11·无锡)( 本题满分 10 分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商 定:张经理的采购价 y(元/吨)与采购量 x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段 ABC 所 示(不包含端点 A,但包含端点 C). (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知老王种植水果的成本是 2 800 元/吨,那么张经理的采购量为多少时,老王在这次 买卖中所获的利润 w 最大?最大利润是多少?
y 8000 A 4000 O 20 B C 40 x

【答案】 (1)当 0<x≤20 时,y=8000;
?20x+b=8000 ? ;……2 分 ?40x+b=4000

…………………………………1 分

当 20 < x ≤ 40 时 , 设 BC 满 足 的 函 数 关 系 式 为 y = kx + b , 则

解 得 1200; ( 2 ) 当

k = - 200 , b = 1200 , 0 < x ≤ 20

y = - 200x + W = (8000 -

………………………………4 分 时 , 老 王 获 得 的 利 润

2800)·x …………………………5 分

= 5200 ≤ 104000 , 此 时 老 王 获 得 的 最 大 利 润 为 元 …………………………6 分

104000

当 20 < x ≤ 40 时 , 老 王 获 得 的 利 润 W = ( - 200x + 1200 - 2800)·x ………………7 分 =-200(x2-46x)=-200 (x-23) 2+105800 分 ∴当 x=23 时,利润取得最大值,最大值为 105800 元 ………………………… 9分 ∵105800>104000,∴当张经理的采购量为 23 吨时,老王在这次买卖中所获 的利润最大,最大利润为 105800 元 10 分 11. ……………………………… ………………………………8


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