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烟台开发区高级中学高三12月月考试题 数学文


2013-2014 学年第一学期第二次月考
数学试题(文)2013-12-19
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.) 1. 已知全集 U ? R , 集合 M ? {x | 2 x ? 1} , 集合 N ? {x | log 2 x ? 1} , 则下列结论中成立的是 ( A. M ? N

? M C. M ? (CU N ) ? ? B. M ? N ? N D. (CU M ) ? N ? ? ) D. 4 ) )

2.已知向量 =(1,x) , =(﹣1,x) ,若 2 ﹣ 与 垂直,则| |=( C. 2 3 1 3.已知 ?、? 为锐角, cos ? ? , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan ? 的值为( 5 3 1 13 9 A. B. 3 C. D. 3 9 13 4.如图,已知三棱锥的俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一 直角边长为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( ) A. B.

2 俯视图

2 侧视图

2 1 A. 1

2 1 B. 1

2 1 C. 1

2 1

2 1 D.

5. 已 知 两 条 直 线 l1 : (a ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平 行 , 则 a ? ( ) A.-1

B.2

C.0 或-2

D.-1 或 2

? y ? x, ? 6.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1, ?
A



1

B

7.已知 f ( x) ? sin( x ?

2 ?
2

C

3

D

的是( ), g ( x) ? cos( x ? ), 则下列结论中不正确 ... 2

?

4
)

A.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 ? B.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为

1 2

C.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象关于点 ( D.将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
4

, 0) 成中心对称

? 个单位后得到函数 g ( x) 的图象 2

8.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是 (
2



A.

B.

C.

D.

9.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85? 且 A 到 C 的距离为 2km , B 船在灯塔 C 西偏北 25? 且 B 到 C 的距离为 3km ,则 A, B 两船的距离为( A. 2 3km B. )www.ks5u.com

13km

C.

15km

D. 3 2km )
5 2

10. 若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则

x ? 2y 的最小值为( xy
C.3

A. 4

B. 2

D.
2 2

11.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB 是圆 C: x ? y ? 2 y ? 0 的两条切 线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A. 2 B。 )

21 2

C。 2 2
3

D。2

12.设偶函数 f ( x) 满足:当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 8 ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} =( A . {x | x ? ?2或x ? 4} D. {x | x ? ?2或x ? 2} B . {x | x ? 0或x ? 4}



C . {x | x ? 0或x ? 6}

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)

? 2 x ? 0, ?? , 13. f ? x ? ? ? x ?3 ? log 2 x, x ? 0. ?

则 f ( f (?1)) =

14. 已 知 各 项 为 正 的 等 比 数 列 {an } 中 , a7 与 a11 是 函 数 f ( x) ? x ? 6 x ? 8 的 零 点 , 则
2

log2 a3 ? log 1 a15 =
2

15.在 ?OAB 中, ?AOB ? 120 , OA ? 2 , OB ? 1 , C 、D 分别是线段 OB 和 AB 的中点,那
?

么 OD ? AC ?

B C O D A

16.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E、F 分别是棱 AA',CC'的中点,过直 线 E、F 的平面分别与棱 BB′,DD′交于 M、N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①当且仅当 x=0 时,四边形 MENF 的周长最大;②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; ④正方体 ABCD﹣A′B′C′D′被截面 MENF 平分成等体积的两个多面体. 以上命题中正确的命题是 三.解答题: (本部分共计 6 小题,满分 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,且过点 A(1,1) 和B(2, ? 2) ; (1)求圆 C 的标准方程; (2)线段 MN 的端点 M 的坐标是(10,8) ,端点 N 是圆 C 上的动点,且 MN ? ?2PN ,求 P 点 的轨迹方程。 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

???? ?

??? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ? x ? R ? . 2 2
3, f ?C ? ? 0 ,若向量

(I)求函数 f ? x ? 的最小值和最小正周期; ( II ) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的 对边分 别为 a、b、c , 且 c ?

m ? ?1,sin A? 与向量 n ? ? 2,sin B ? 共线,求 a, b 的值. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; D F A (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

B

E

C

20. (本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ?为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 。 (I)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (II)若 cn ?

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn 。 bn

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,原点到过点 A(a,0) , B(0, ?b) 的 2 2 a b

直线的距离是

4 5 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? 1 (k ? 0) 交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆 心的圆上,求 k 的值. 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln | x | ,
2

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

18.解:(I) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? = sin(2 x ? ) ? 1 …………3 分 2 2 2 6

则 f ( x) 的最小值是-2,最小正周期是 T ? (II) f (C ) ? sin(2C ?

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) =1, 6 6 ? ? 11 ? 0 ? C ? ? ,? 0 ? 2C ? 2? ,?? ? 2C ? ? ? , 6 6 6 ? ? ? ………………………………………………8 分 ? 2C ? ? , C ? , 3 6 2

?

2? ?? . 2

……………………6 分

?

?向量 m ? ?1,sin A? 与向量 n ? ? 2,sin B ? 共线
1 sin A , ? ? 2 sin B
由正弦定理得, ……………………………………………………10 分

a 1 ? b 2
2 2 2



由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 19.解:

?
3

,即 3= a ? b ? ab
2 2



……………………………………………………12 分

(Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形, ……………2 分 所以 NC ∥ MD , ………………3 分 因为 NC ? 平面 MFD , 所以 NC ∥平面 MFD . ………………4 分 (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED ? FC ? O . 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平面 ECDF , ……5 分 所以 FC ? NE . ………6 分 又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . …………7 分 所以 FC ? 平面 NED , ………8 分 所以 ND ? FC . ………9 分 (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ? 20.

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2 当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

………10 分

…………12 分

21.解(Ⅰ) 因为

c 3 2 2 2 ? , a ?b ? c , a 2

所以 a ? 2b . 因为原点到直线 AB : 解得 a ? 4 , b ? 2 .

ab 4 5 x y ? , ? ? 1 的距离 d ? 2 2 5 a b a ?b

x2 y 故所求椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . ……………………………6 分 16 4
(Ⅱ) 由题意

2

? y ? kx ? 1, ? 2 消去 y ,整理得 ?x y2 ? ?1 ? ?16 4
(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 .
可知 ? ? 0 . 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) , 则 xM ?

x1 ? x2 ?4k 1 , yM ? kxM ? 1 ? . ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

所以 k BM ?

yM ? 2 1 ?? . xM k

所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 .

?4k k ? ? 2k ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 又因为 k ? 0 ,
即 所以 k 2 ?

2 1 .所以 k ? ? . 4 8

………………………………13 分

22. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为{ x | x ? R 且 x ? 0 } 且 f (? x) ? (? x) ln | ? x |? x ln x ? f ( x) ∴ f ( x) 为偶函数
2 2

………………… 1 分 ………………… 3 分

(Ⅱ)当 x ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 若0 ? x ? e
1 ? 2 ? 1 2

1 ? x ? (2 ln x ? 1) x

,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减; ………………… 5 分

若 x ? e , 则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增. 再由 f ( x) 是偶函数,得 f ( x) 的 递增区间是 (?? , ? e
1 ? 2
? 1 2

) 和 (e

?

1 2

, ? ?) ;

递减区间是 ( ? e , 0) 和 (0 , e ) . ………………… 7 分 (Ⅲ)方法一: 要使方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,即要使函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? kx ? 1 有公共点. 函数 f ( x) 的图象如图.………………… 8分 先求当直线 y ? kx ? 1 与 f ( x) 的图象相切时 k 的值. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? x ? (2 ln x ? 1) 设切点为 P(a, f (a)) ,则切线方程为 y ? f (a) ? f ?(a)( x ? a) ,将 x ? 0, y ? ?1 代入,得
O

1 ? 2

y

y ? f ( x)
-1 11

? 1 ? f (a) ? f ?(a)( ?a)
即 a 2 ln a ? a 2 ? 1 ? 0 (*) ……………… 9 分 显然, a ? 1 满足(*) 而当 0 ? a ? 1时, a 2 ln a ? a 2 ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, a 2 ln a ? a 2 ? 1 ? 0 ∴(*)有唯一解 a ? 1 此时 k ? f ?(1) ? 1


-1 11

1 x

………………… 11 分

再由对称性, k ? ?1 时, y ? kx ? 1 也与 f ( x) 的图象相切,………………… 12 分 ∴若方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,则实数 k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞) . ………………… 13 分 方法二: 由 f ( x) ? kx ? 1 ,得: x ln | x | ?

1 ?k x

………………… 8 分

令 g ( x) ? x ln | x | ?

1 x

1 x2 ?1 当 x ? 0 , g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 ? ln x ? …………………9 分 x x2 显然 g ?(1) ? 0 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 递减 x ? 1时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 递增 ∴ x ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1 ………………… 10 分 又 g (? x) ? ? g ( x) , ? g ( x) 为奇函数 ∴ x ? 0 时, g ( x) max ? g (?1) ? ?1 ∴ g ( x) 的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞) ………………… 12 分 ∴若方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,则实数 k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞) .
………………… 13 分


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