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(专题密卷)河北省衡水中学2014届高考数学 万卷检测 统计与统计案例 文


统计与统计案例
一、选择题: 1.某工厂甲.乙.丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件。为了解 它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查, 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 2.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级 职称 的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采取分层抽样的方法,从中抽取容 量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A. 12, 24,15,9 B. 9,12,12, 7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10, 6 3.为了解某地区的中小学生视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事 先已 了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异 不大, 在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别 得到以下四个结论: ① y 与 x 负相关且 y ? 2.347 x ? 6.423 ; ③ y 与 x 正相关且 y ? 5.437 x ? 8.493 ; ② y 与 x 负相关且 y ? ?3.476x ? 5.648 ; ④ y 与 x 正相关且 y ? ?4.326x ? 4.578 .

其中一定不正确 的结论的序号是 ... A.①② B.②③ C.③④ D. ①④ 5.下列四个命题: ①线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越小; ②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好; ③用相关指数 R 2 来刻画回归效果, R 2 越小,说明模型的拟合效果越好; ④随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它满足 E (e) ? 0. 则正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下: 广告费用 x(万元) 4 销售额 y(万元) 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中 b ? 9.4 ,据此模型预报广告费用 6 万元时销售额为 ( ) A. 63.6 万元 C. 67.6 万元 二、填空题:

B. 65.5 万元 D. 72.0 万元

1

7.将某班的 60 名学生编号为:01,02, ,60 采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样 本,且随机抽得的一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是 8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池 盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸, 盆底直径为一尺二寸, 盆深一尺八寸. 若盆中积水 深九寸,则平地降雨量是 寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 9.某学校共有 2000 名学生,各年级男.女生人数如下表: 一年级 男生 女生 369 381 二年级 370 三年级

y

x

z

已知从全校学生中随机抽取 1 名学生,抽到二年级女生的概率是 0.19,现拟采用分层抽样 的方法从全校学生中抽取 80 名学生,则三年级应抽取的学生人数为 人。 10.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的 频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 。 11.为了解本市居民的生活成本,甲.乙.丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭 每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所 示) , 记甲.乙.丙所调查数据的标准差分别为 “ ? ”连接)
频率 组距
0.0008

s1 , s2 , s3 , 则它们的大小关系为

. (用

频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

0.0006 0.0006 0.0004 0.0002 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500









三、解答题 12. 从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位: 千元) 与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料,算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;zhangwlx (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

2

(附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,其中 x , y 为样本平

均值, 线性回归方程也可写为 y ? bx ? a .)

13.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中 随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(只要求写出算式即可,不 必计算出结果). (Ⅱ)随机抽出 8 位,他们的数学分数从小到大排序是:60.65.70.75.80.85.90.95,物理 分数从小到大排序是:72.77.80.84.88.90.93.95. 若这 8 位同学的数学.物理分数对应如下表: 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具 有线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果 不具有线性相关性,请说明理由. 参考公式:相关系数 r ?

? ( x ? x)( y
i ?1 n i

n

i

? y)
? ? bx ? a , ; 回归直线的方程是: y
2

? ( x ? x)
i ?1 i

2

( yi ? y )

其中 b ?

? ( x ? x)( y
i ?1 i n i ?1

n

i

? y) ?i 是与xi 对应的回归估计值. , a ? y ? bx; 其中y

? ( xi ? x)2

参考数据: x ? 77.5, y ? 85, ? ( x1 ? x)2 ? 1050, ? ( y1 ? y)2 ? 456,
i ?1 i ?1

8

8

? ( x ? x)( y ? y) ? 688,
i ?1 1 1

8

1050 ? 32.4, 456 ? 21.4, 550 ? 23.5 .

3

14.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应数据:

x
y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大?

4

统计与统计案例答案 单项选择题 1.D 2.D【解析】抽样比
200 ? 120 ? 1 ? 10 , 20 1 ? 6 .故选 D. 20 40 1 1 1 ,因此,从各层次依次抽取的人数为 160 ? ? 8 , 320 ? ? 16 , ? 800 20 20 20

3.【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题. 【解析】 因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 故最合理的抽样方 法是按学段分层抽样,故选 C. 4.D 5.B 6.B【解析】样本中心点是 (3.5, 42) ,则 a ? y ? bx ? 42 ? 9.4 ? 3.5 ? 9.1 , 所以回归直线方程是 y ? 9.4 x ? 9.1 ,把 x ? 6 代入得 y ? 65.5 填空题 7.16,28,40,52 【解析】依题意得,依据系统抽样方法的定义得,将这 60 名学生依次按编号每 12 人作为一 组,即 01 12, 13~24,49~60,当第一组抽得的号码是 04 时,剩下的四个号码依次是 16,28,40,52. 8.3 9.20 10.60 11. S1 ? S2 ? S3 解答题 12.解: (1)由题意知 n=10, x ?
n 2

20 1 n 80 1 n ?2 x ? ? 8, y ? yi ? ? ? i 10 n i ?1 10 n i ?1

lxx ? ? xi2 ? nx ? 720 ? 10 ? 82 ? 80 lxy ? ? xi yi ? nx y ? 184 ? 10 ? 8 ? 2 ? 24
i ?1 i ?1 n

由此得 b=

lxy lxx

?

24 ? 0.3, 80

a= y -b x =2-0.3 ? 8=-0.4,\故所求回归方程为 y=0.3x-0.4

(2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0) ,故 x 与 y 之间是正相关 (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 (千元) 13.解: (Ⅰ)应选女生 25×
8 8 =5(个) ,男生 15× =3(个) ,可以得到不同的样本个数 40 40
5


688 ? 0.99 .可以看出,物理与数学成绩是高度正相 32.4 ? 21.4 关.若以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标做散点图如下; 从散点图可以看出这些

(Ⅱ)变量 y 与 x 的相关系数是 ? =

点大至分布在一条直线附近, 并且在逐步上升, 故物理与数学成绩是高度正相关.设 y 与 x 线 性回归方程 y ? bx ? a . 根据所给的数据,可以计算出 77.5=34.63, ? ? 0.65x ? 34.63 . 所以 y 与 x 的回归方程是 y 14.解:(1)根据表中所列数据可得散点图如图 (2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算. 因此
b? 688 =0.65 , a ? 85 - 0.65 × 1050

i

1 2 30 60

2 4 40 160

2 5 60 300

4 6 50 300

5 8 70 560

xi yi
xi yi

x?

5 25 250 yi2 ? 13500, xi yi ? 1380 ? 5, y ? ? 50, ? xi2 ? 145 , 5 5 i ?1 i ?1 i ?1

?

5

?

5

于是可得

b?

xi yi ? 5 x y ? i ?1 xi ? i ?1
5 2

5

? 5x

2

?

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 ; 145 ? 5 ? 52

a ? y ? bx ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 ,因此所求回归直线方程是 y ? 6.5x ? 17.5

(3)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时 y ? 6.5 ?10 ? 17.5 ? 82.5 (百万 元) 即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元.

6


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