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高三数学第一轮复习-第五十八课时 独立性检验与线性回归方程


江 苏 省 沙 溪 高 级 中 学 高 三 数 学 复 习 学 案

第 58 课时

独立性检验与线性回归方程

【重点难点】 散点图的画法,回归直线方程的求解方法,回归直线方程在现实生活与生产中的应用 【考点概述】 1.作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系; 2.了解最小二乘法的思想,能根据

给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 【知识要点】 1.变量与变量之间的关系常见有两类:一类是___________的函数关系;另一类是变量间 确实存在的关系,但是又不具备函数关系所要求的__________,它们的关系是带有 _________的; 2.如果一个变量的值由小变大,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为________,如 果一个变量的值由小变大,另一个变量的值由大小大,这种相关称为 ; 3.散点图:在平面直角坐标系中,用___ ____的方法得到具有相关关系的两个变量的 图形叫做散点图; 4.回归直线方程 y ? b x ? a 中, b 叫做回归系数,通常用最小二乘法求回归直线系数 b, , a
? ? ?

?

? ?

从而确定回归直线方程,计算公式为 b ?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ?b x

?

?

2 i

5.求线性回归方程的步骤 (1)先把数据制成表, 从表中计算出 x, y, x12 ? x2 2 ? ...... ? xn 2,x1 y1 ? x2 y 2 ? ...... ? xn y n的值 (2)计算回归系数 b, ; a (3)写出线性回归方程 y ? b x ? a . 【基础训练】 1.设一个线性回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则自变量 x 增加一个单位时,y 平均减少___个单位 2. 已 知 某 车 间 加 工 零 件 的 个 数 x 与 所 花 费 的 时 间 y(h) 之 间 的 线 性 回 归 方 程 是
? ? ? ? ?

? ?

y ? 0.01x ? 0.5, 则加工 600 个零件大约需要_______(h);

3.在独立性检验中,选用 ? 2 统计量,用其取值大小来推断独立性是否成立。当 ? 2 ? 6.635 时,我们有__ _的把握说事件 A 与 B 有关; 4.在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”
1

江 苏 省 沙 溪 高 级 中 学 高 三 数 学 复 习 学 案 的结论,并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法: (1)100 个吸烟 者中至少有 99 人患肺癌; (2)某人吸烟,那么这个人有 99%的概率患肺癌; (3)在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人都没有;其中说法正确的序号为___ ___ 5.对相关系数 r 进行显著性检验的基本步骤如下: (1)提出统计假设 H 0 :变量 x,y 具有线性相关关系 (2)如果以 95%的把握作出推断, 那么可以根据 1—0.95=0.05 与 n—2 查出一个 r 的临界 值 r0.05 (其中 1—0.95=0.05 称为检验水平) (3)计算样本相关系数 r (4)做出统计推断:若__________,则否定 H 0 ,表明有_______的把握认为 x 与 y 之间具 有线性相关关系;若_______,则没有理由拒绝原来的假设 H 0 . 【例题精讲】 例 1.某班 5 名学生的数学和物理成绩如下: A 数学 物理 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

画出散点图,并判断她们是否有相关关系

例 2.为了分析某个高三学生的学习状态,对某下一阶段的学习提供指导性建议, 先对他前 7 次考试的数学成绩、物理成绩进行分析。下面是该生 7 次考试的成绩。 数学 (x) 88 物理 (y) 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出 该生在学习数学、物理上的合理建议.

2

江 苏 省 沙 溪 高 级 中 学 高 三 数 学 复 习 学 案 例 3.已知 x,y 之间的一组数据如下表: 1 X y 1 2 3 4 5 (1)从 x,y 中各取一个数,求 x ? y ? 10 的概率; (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y ? 小二乘法思想判断哪条直线拟合程度更好?
1 1 1 x ? 1与y ? x ? ,是利用最 3 2 2

3

6

7

8

【巩固练习】 1.对一质点的运动过程观测了 4 次,得到如表所示的数据,则刻画 y 与 x 的线性回归方程 为___________ x y 1 1 2 3 3 5 4 6

2.某饮料店的日销售收入 y(单位:百元与当天平均气温 x(单位: ? C )之间有下列数据: x y -2 5 -1 4 0 2 1 2 2 1

甲、 乙、 丙三位同学对上述数据进行研究, 分别得到了 x 与 y 之间的三个线性回归方程: (1) y ? ? x ? 2.8 ; (2) y ? ? x ? 3 ; (3) y ? ?1.2 x ? 2.6 ,其中正确的是_____(填序号) 3.一般来说,一个人脚越长,他的身体就越高,现对 10 名成年人的脚长 x 与身高 y 进行 测量,得如下数据(单位:cm) : x y 20 141 21 146 22 154 23 160 24 169 25 176 26 181 27 188 28 197 29 203
? ? ?

作出散点图后,发现散点在一条直线附近。经计算得到一些数据:

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x ? 24.5, y ? 171.5,

? (x
i ?1

10

i

? x)( y i ? y) ? 577.5,

? (x
i ?1

10

i

某刑侦人员在某案发现场发 ? x) ? 82.5 , ___

现一对裸脚印,量得脚印长 26.5cm,请你估计案发嫌疑人的身高为____

4.期中考试后,某班对 50 名学生的成绩进行分析,得到数学成绩 y 对总成绩 x 的回归直 线方程为 y ? 6 ? 0.4 x ,由此可以估计,若两个同学的总成绩相差 50 分,则他们的数学 成绩大约相差______分 5.对过度看电视与近视之间关系的一项调查,根据样本数据计算得 ? 2 的值大于 3.841,则 我们至少有_____的把握认为过度看电视与近视有关。 6.如果发现散点图中所有的点都在同一条直线上,则这组数据的线性相关系数是____ 7.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间由下表所示的样本数据: x y 2 30 4 40 5 55 6 50 8 70
?

若 y 与 x 之间是线性相关关系,若销售额不低于 81.5 万元,则估计广告费支出至少为 ____ _万元

8.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢 水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料融化完毕时,钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据,如下表所示: x (0.01%) y(min) 100 200 210 185 155 185 170 205 235 125 104 180 190 177 147 134 450 191 204 121

(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗? (2)求回归直线方程; (3)预测当钢水含碳量为 160 时,应冶炼多少分钟?

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