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北京市海淀区2015年高一第二学期期中考试数学试题及答案(word版)


海淀区高一年级第二学期期中练习


学校 班级



2015.4

姓名

成绩

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. cos 45 cos15 ? sin 45 sin15 = A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

1 2. 已知 tan ? ? ,则 tan 2? = 3 3 3 B. 4 8 3. 下列等式中恒成立的是 A
A. C.1 D.

1 2

A. sin ? cos(? ? ) ? cos? sin(? ? ) ? ? C. sin(? ? ) ? sin ? ? cos?
4.若数列 {an } 满足 an ? 22 n ?1 ,则

π 6

π 6

1 2

π 1 ? tan ? B. tan(? + ) ? 4 1 ? tan ?
D. sin ? cos? ? sin ?

π 4

A. 数列 {an } 不是等比数列 C. 数列 {an } 是公比为 2 的等比数列

B. 数列 {an } 是公比为 4 的等比数列 D. 数列 {an } 是公比为

1 的等比数列 2

5.在△ABC 中,∠B=60° ,c=2,b= 6 ,则∠C= A. 45° 6. ?1 ? 1 ? 3 ? 5 ? A. n 2 ? 1 B. 135° ? (2n ? 1) ? A B. (n ? 1)2 C. 45° 或 135° C. n2 D. 无解 D. (n ? 1)2

7. 已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示,则 cos ?ABC ?

3 10 3 C. 5
A.

B.

2 5 4 D. 5

C A

8.已知钝角 三角形 ABC 的三边的边长 a ,8, b ( a ? b )成等差数列, .. 则该等差数列的公差 d 的取值范围是 A. 0 ? d ? 2 B. d ? 2 C. 2 ? d ? 4 9.
3 1 ? = cos10 sin10

B

D. d ? 4

A. 2

B. ?2

C. 4

D. ?4

?a ? 10.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n2 ,数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ,则数列 ? n ? ? bn ?

A.既有最大值,也有最小值 C.既无最大值,也无最小值

B. 仅有最大值,而无最小值 D. 仅有最小值,而无最大值

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 3 分,共 18 分.
11.若等差数列 {an } 的通项公式 an ? 1 ? 2n ,则其公差 d ? _______.

12.在△ABC 中,∠B=60° ,a=2,c=3,则 b ? _________. 13.若等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a2 ? 6 ,则 a1 ? a2 ? 14.已知数列 {an } 满足

? an ? _________.

1 1 1 ? ? 2( n ? 2, n ? N ) , 且 a3 ? , 则 a1 ? ___________,数列 {an } an an ?1 3

的通项公式为___________. 15.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .若 A ? B ,给出下列四个结论: ① a ? b ;② sin A ? sin B ;③ cos A ? cos B ;④ tan A ? tan B . 其中所有正确结论的序号是_______________. 16. 已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? n ( n ? 2, n ? N ) ,且 a1 ? ?1 ,则 a10 ? ___________, 其前
2 k ? 1 (k ? N* ) 项和 S2 k ?1 ? _______________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 9 分) 已知等差数列 {an } 满足 a3 ? ?9 ,公差 d ? 3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和 Sn 是否存在最小值?若存在,求出 Sn 的最小值及此时 n 的值; 若不存在,请说明理由.

18.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2x (1 ? tan x) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域;

π (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域. 4

19. (本小题共 11 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? Sn ? 4 n ? N* . (Ⅰ)求 a1 ; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? a2 n ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

20. (本小题共 10 分) 如图所示,在山顶 P 点已测得三点 A,B,C 的俯角分别为 ? , ? , ? ,其中 A,B,C 为山 脚两侧共线的三点,现欲沿直线 AC 开通穿山隧道,为了求出隧道 DE 的长,至少还需要直 接测量出 AD, EB, BC 中的哪些线段长?把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角 度作为已知量,写出计算隧道 DE 的步骤.
P

?

?

?

A

D

EB

C

解 1: 步骤 1:还需要直接测量的线段为 步骤 2:计算线段 计算步骤: 步骤 3:计算线段 计算步骤: 步骤 4:计算线段 计算步骤:

海淀区高一年级第二学期期中练习答案


学校 班级



2015.4

姓名

成绩

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
DAABA ACCDB

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 3 分,共 18 分.
11. ?2 12. 7
n 13. 3 ? 1

14. ?1,

1 2n ? 3

15.①②③

2 16. 7, k ? 2

说明:两空的题目第一空 1 分,第二空 2 分;第 15 题对一个一分,有错误选支 0 分

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 9 分) 解: (Ⅰ)因为 {an } 是等差数列,且 a3 ? ?9 ,公差 d ? 3 , 所以由 ?9 ? a1 ? 2d 可得 a1 ? ?15 ,-----------------------------------------------------------------1 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ?15 ? 3(n ? 1) ,即 an ? 3n ? 18 .-------------------------3 分 (Ⅱ)法 1:由等差数列求和公式可得 Sn ? ?15n ? 即 Sn ? (n2 ? 11n) ? [(n ?

n(n ? 1) ? 3 --------------------------5 分 2

3 2

3 2

11 2 121 ) ? ] 2 4

----------------------------------------------------6 分 -------------------------------------------------9 分

所以,当 n ? 5 或 6 时, Sn 取得最小值 ?45 . 法 2:因为 an ? 3n ? 18 ,

所以,当 n ? 6 时, an ? 0 ;当 n ? 6 时, an ? 0 ;当 n ? 6 时, an ? 0 , 即当 1 ? n ? 6 时, Sn ? Sn ?1 ;当 n ? 6 时, Sn ? Sn ?1 ;当 n ? 6 时, Sn ? Sn ?1 ,--------6 分 所以,当 n ? 5 或 6 时, Sn 取得最小值 ?45 . 18.(本小题共 12 分) --------------------------------------------------9 分

π 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z} .-------------------------------------2 分 2

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 2cos2x (1 ? tan x)

? 2cos 2x ? 2sin x cos x -------------------------------------------------------4 分 ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ------------------------------------------------------------8 分

π ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) -----------------------------------------------------------10 分 4 π π π 3π 因为 x ?[0, ] ,所以 2x ? ?[ , ] ,--------------------------------------------------------11 分 4 4 4 4 π 所以 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域为 [2,1 ? 2] .------------------------------------------------12 分 4
19. (本小题共 11 分) 解: (Ⅰ)由 2an ? Sn ? 4 n ? N* 可得 2a1 ? S1 ? 4 ,即 2a1 ? a1 ? 4 ,-------------------1 分 解得 a1 ? ?4 . ----------------------------------------------------------------2 分

?

?

(Ⅱ)由 2an ? Sn ? 4 n ? N* 可得 2an?1 ? Sn?1 ? 4, n ? 1, n ? N ,--------------------------3 分 所以 2an ? 2an?1 ? Sn ? Sn?1 , n ? 1, n ? N ,即 2an ? 2an?1 ? an , n ? 1, n ? N ,----------------4 分 整理得 an ? 2an?1 , n ? 1, n ? N , 因为 a1 ? ?4 ? 0 , 所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列. ----------------------------------------------------------6 分 --------------------------------------5 分

?

?

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)可得数列 ?an ? 是以 ?4 为首项且公比为 2 的等比数列, 所以 an ? ?4 ? 2n?1 ? ?2n?1 , 所以 bn ? a2n ? 2n ? ?22n?1 ? 2n , ----------------------------------------------------------------7 分 ---------------------------------------------------------------8 分

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 是一个等比数列与等差数列的前 n 项和的和-----------------9 分 由等比数列和等差数列的前 n 项和公式可得

?8(1 ? 4 n ) (2 ? 2n) n ? 1? 4 2 8 n ? n2 ? n ? ? ( 4 ? 1.) 3 20. (本小题共 10 分) Tn ?

----------------------------------------------------------11 分

P

?

?

?

A

D

EB

C

解 1: 步骤 1:还需要直接测量的线段为 AD, EB, BC -------------------------------------------2 分 步骤 2:计算线段 PC 的长. 计算步骤:在 ?PBC 中 ?BPC ? ? ? ? , ?PBC ? π ? ? , ?PCB ? ? ;---------------3 分

BC PC , --------------------------------5 分 ? sin ?BPC sin ?PBC BC sin ? 整理可得 PC ? ; ---------------------------------------------------6 分 sin( ? ? ? )
由正弦定理可得 步骤 3:计算线段 AC 的长. 计算步骤:在 ?PAC 中, ?PAC ? ? , ?APC ? π ? ? ? ? ,

AC PC , ---------------------------------------8 分 ? sin ?APC sin ?PAC PC sin(? ? ? ) 整理可得 AC ? ; -----------------------------------------------9 分 sin ? 步骤 4:计算线段 DE 的长. BC sin ? sin(? ? ? ) DE ? AC ? AD ? EB ? BC ? ? AD ? EB ? BC .-----------10 分 sin ? sin( ? ? ? )
由正弦定理 解 2: 步骤 1:还需要直接测量的线段为 AD, BE , BC --------------------------------------------2 分 步骤 2:计算线段 PB 的长. 计算步骤:在 ?PBC 中 ?BPC ? ? ? ? , ?PBC ? π ? ? , ?PCB ? ? ;----------------3 分

BC PB , ---------------------------------5 分 ? sin ?BPC sin ?PCB BC sin ? 整理可得 PB ? ;-----------------------------------------------------6 分 sin( ? ? ? )
由正弦定理可得 步骤 3:计算线段 AB 的长. 计算步骤:在 ?PAB 中, ?PAB ? ? , ?APB ? π ? ? ? ? ,

AB PB , ---------------------------------------8 分 ? sin ?APB sin ?PAB PB sin(? ? ? ) 整理可得 AB ? ;------------------------------------------------9 分 sin ? 步骤 4:计算线段 DE 的长.
由正弦定理


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