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高中数学北师大版必修五学业分层测评:第三章 不等式 19 Word版含解析


学业分层测评(十九)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 4 1.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最小值是( 7 A.2 9 C.2 【解析】 2 B.4 D.5 1 4 a+b 2a+2b 1 b 2a 5 ∵a + b = 2 , ∴y = a + b = 2a + b = 2 + 2a + b + 2≥ 2 + )

b 2a 9 b 2a 2a·b =2,当且仅当2a= b 且 a+b=2 时,取“=”. 【答案】 C )

2.如果 log3m+log3n=4,则 m+n 的最小值为( A.4 3 C.9 【解析】 B.4 D.18

∵m>0,n>0,由 log3m+log3n=log3mn=4,

∴mn=81,∴m+n≥2 mn=18,当且仅当 m=n=9 时等号成立. 【答案】 D 1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 B.1+ 3 D.4 f(x)=x+ 1 1 =x-2+ +2. x-2 x-2 )

3.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 【解析】

∵x>2,∴x-2>0, ∴f(x)=x-2+ 1 +2≥2 x-2 1 ?x-2?· +2=4, x-2

当且仅当 x-2=

1 ,即 x=3 时等号成立. x-2

又 f(x)在 x=a 处取最小值,∴a=3. 【答案】 C )

1 2 4.(2015· 湖南高考)若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值为( A. 2 C.2 2 B.2 D.4

1 2 1 2 【解析】 由a+b= ab知 a>0, b>0, 所以 ab=a+b≥2 1 2 ? ?a=b, 当且仅当? 1 2 ? ?a+b= 值为 2 2. 【答案】 C

2 即 ab≥2 2, ab,

4 4 即 a= 2,b=2 2时取“=”,所以 ab 的最小 ab,

5.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是( A.[6,+∞) C.(0,9] B.[9,+∞) D.(0,6]

)

【解析】 ∵a,b 是正数,∴ab=a+b+3≥2 ab+3(当 a=b 时取“=”), 即 ab-2 ab-3≥0, ∴ ab≥3 或 ab≤-1(舍去),∴ab≥9. 【答案】 二、填空题 6.函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1 1 1 =0(mn>0)上,则m+n的最小值为________. 【解析】 由题意知 A(1,1),∴m+n=1, B

1 1 ? 1 1? n m ∴m+n=?m+n?(m+n)=2+m+ n ≥4, ? ? 当且仅当 m=n 时“=”成立. 【答案】 4

1 4 7. (2016· 泉州高二检测)已知两个正数 x、 y 满足 x+y=4, 则使不等式 x +y ≥m

恒成立的实数 m 的取值范围是________. 【解析】 ∵x+y=4,

x y ∴4+4=1, 1 4 ?1 4? ? x y? 1 y x 5 y x 5 ?4+4? = + + + 1 = + + ≥ +2 ∴ x + y =? x + y? · 4 4x y 4 ? ?? ? 4 4x y y x ? ? = , 9 =4,当且仅当?4x y ? ?x+y=4, 4 x = ? ? 3, 即? 8 ? ?y=3 y x 5 1 · = + 2 × 4x y 4 2

时,

1 4 9 取“= ” ,要使 x + y ≥m 恒成立,只需 m≤ 4 即可,故 m 的取值范围是 9? ? ?-∞,4?. ? ? 【答案】 9? ? ?-∞,4? ? ?

8.某校要建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,池底和池壁 的造价每平方米分别为 240 元和 160 元,那么水池的最低总造价为________元. 【解析】 设底面的长为 x m,宽为 y m,水池总造价为 z 元,根据题意,

有 2xy=8,∴xy=4,且 8 z=240×2+160(2×2x+2×2y) =120×8+640(x+y) ≥120×8+1 280 xy =120×8+1 280×2 =3 520. 【答案】 三、解答题 3 8 9.(1)当 x<2时,求函数 y=x+ 的最大值; 2x-3 (2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值. 【解】 8 ? 3 ?3-2x 1 8 3 ?+ , (1)y=2(2x-3)+ +2=-? 2 + 3-2x? 2 2x-3 ? 3 520

3 ∵当 x<2时,3-2x>0, 3-2x 8 ∴ 2 + ≥2 3-2x 3-2x 8 =4, 2 · 3-2x

3-2x 8 当且仅当 2 = , 3-2x 1 即 x=-2时取等号, 3 5 5 于是 y≤-4+2=-2,故函数有最大值-2. 1 3 (2)∵x>0,y>0,∴由 x+3y=5xy 得5y+5x=1, ? 1 3 ? 9 4 3x 12y 13 ∴3x+4y=(3x+4y)?5y+5x?=5+5+5y+ 5x ≥ 5 +2 ? ? 3x 12y ? ? = , 当且仅当?5y 5x ? ?x+3y=5xy, ∴3x+4y 的最小值是 5. 10.某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写 字楼每层建筑面积为 2 000 平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元, 从第二层开始, 每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式(总开 发费用=总建筑费用+购地费用); (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建多少层? 【导学号:67940066】 【解】 (1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为: x=1, ? ? 即? 1 y= ? ? 2 3x 12y 5y·5x =5,

时等号成立,

4 000×2 000=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多: 100×2 000=200 000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数 列,所以函数表达式为: y=f(x)=800x+ x?x-1? 2 ×20+9 000

=10x2+790x+9 000(x∈N*). (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为: 5?10x2+790x+9 000? f?x? g(x)=2 000x×10 000= x ? 900 ? =50?x+ x +79?≥50×(2 900+79)=6 950(元), ? ? 900 当且仅当 x= x ,即 x=30 时等号成立, 故该写字楼应建 30 层. [能力提升] 1 1 1.已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是( A.2 C.4 【解析】 1 1 ∵a+b+2 ab≥2 B.2 2 D.5 1 ? ? ab+2 ab=2? 1 ? ?≥2×2=4, ab+ ab? )

1 1 ? ?a=b, 当且仅当? 1 ? ? ab=

ab,

即 a=b=1 时等号成立. 【答案】 C

z 2.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当xy取得最小值时,x+ 2y-z 的最大值为( A.0 C.2 【解析】 ) 9 B.8 9 D.4
2 2 z x -3xy+4y x 4y =y+ x -3≥2 xy= xy

x 4y y·x -3=1,

当且仅当 x=2y 时等号成立,因此 z=4y2-6y2+4y2=2y2, 所以 x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2. 【答案】 C

x2-y2 3.(2015· 山东高考)定义运算“?”:x?y= xy (x,y∈R,xy≠0).当 x>0, y>0 时,x?y+(2y)?x 的最小值为________. 【解析】 x2-y2 4y2-x2 因为 x?y= xy ,所以(2y)?x= 2xy .又 x>0,y>0,故 x?y

x2-y2 4y2-x2 x2+2y2 2 2xy +(2y)?x= xy + 2xy = 2xy ≥ 2xy = 2,当且仅当 x= 2y 时,等号 成立. 【答案】 2

4.已知 A、B 两地相距 200 km,一只船从 A 地逆水到 B 地,水速为 8 km/h, 船在静水中的速度为 v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速 度的平方成正比,当 v=12 km/h 时,每小时的燃料费为 720 元,为了使全程燃 料费最省,船的静水速度 v 应为多少?(v0>16) 【解】 设每小时燃料费为 y1,比例系数为 k(k>0),则 y1=kv2.

当 v=12 时,y1=720,∴720=k· 122,得 k=5. 设全程燃料费为 y,依题意得: v2-64+64 200 1 000v2 y=y1· = =1 000· v-8 v-8 v-8 64 ? 64 ? ? ? =1 000?v+8+v-8?=1 000?v-8+v-8+16? ? ? ? ? ? ≥1 000?2 ? ? 64 ?v-8?· +16?=32 000. v-8 ? 64 即 v=16 时,y 有最小值 32 000. v-8

当且仅当 v-8=

∵8<v≤v0,v0>16,∴v=16 成立,即等号成立. 所以全程燃料费最省时,船的静水速度为 16 km/h.


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