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福建省漳州市龙海市程溪中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


福建省漳州市龙海市程溪中学 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)cos330°=() A.﹣ B. C.﹣ D.

2. (5 分)设全集是实数集 R,A={x|﹣1<x<2},B={x|x﹣a≥0},

且 A?(?RB) ,则实数 a 的 取值范围为() A.{a|a<﹣1} B.{a|a≤﹣1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2}

3. (5 分)设向量 =(﹣1,2) A.(1,1) 2) B.(﹣4,﹣4)

,则 C.﹣4

等于() D.(﹣2,﹣

4. (5 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣π) ,则它() A.是最小正周期为 π 的奇函数 B. 是最小正周期为 π 的偶函数 C. 是最小正周期为 2π 的奇函数 D.是最小正周期为 π 的非奇非偶函数 5. (5 分)设集合 A=R,集合 B=正实数集,则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是() A.f:x→y=|x| B. f:x→y= ﹣x C. f:x→y=3 D.f:x→y=log2(1+|x|) 6. (5 分)若方程 2ax ﹣x﹣1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是() A.a<﹣1 B.a>1 C.﹣1<a<1 D.0≤a<1 7. (5 分)要得到函数 y=2cos(2x﹣ A.向左平行移动 B. 向右平行移动 C. 向左平行移动 D.向右平行移动 个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度 )的图象,只要将函数 y=2cos2x 的图象()
2

8. (5 分)若| |=1,| |=2, = A.30° B.60°

,且

,则 与 的夹角为() C.120° D.150°

9. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则()

A.y=2sin(2x+ (x+ )



B.y=2sin(2x﹣



C.y=2sin(x+



D.y=﹣2sin

10. (5 分)在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A. B.

=2



=

,则 λ=() D.﹣
t

C.﹣
2

11. (5 分)如图是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m )与时间 t(月)的关系:y=a 的图象, 有以下叙述,其中正确的是() ①这个指数函数的底数为 2; 2 ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m ; ③浮萍每月增加的面积都相等; 2 2 2 ④若浮萍蔓延到 2m 、3m 、6m 所经过的时间分别为 t1,t2,t3,则 t1+t2=t3.

A.①②

B.①②③④

C.②③④

D.①②④

12. (5 分)已知 y=x +2(a﹣2)x+5 在(4,+∞)上是增函数,则实数 a 的范围是() A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a≤﹣6 D.a≥﹣6

2

一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡对应题号的横线上. 13. (4 分)函数 y= 的定义域为.

14. (4 分)设向量 表示“向东走 6m”, 表示“向北走 6m”,则| + |=.

15. (4 分)设点 P(x,2)是角 α 终边上的一点,且满足

,则 x 的值为.

16. (4 分)在下列结论中: ①函数 y=sin(kπ﹣x) (k∈Z)为奇函数; ②函数 ③函数 的图象关于点 的图象的一条对称轴为
2

对称; π;

④若 tan(π﹣x)=2,则 cos x= . 其中正确结论的序号为(把所有正确结论的序号都填上) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答案卡对应的区域内. 17. (12 分)已知集合 S={x|x ﹣px+q=0},T={x|x ﹣(p+3)x+6=0},且 S∩T={3} (1)求 log9(3p+q)的值; (2)求 S∪T. 18. (12 分)已知 =(7,1) , =(tan( (1)求 tana 的值; 2 (2)求 sinacosa+2cos a 的值. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+acos x 的图象经过点(0,2) (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 x∈[﹣ , ]时,求函数 f(x)的值域.
2 2 2

+a) ,1) ,且 ∥ ,

20. (12 分)已知向量 (1)当 ?

=(2,2) ,

=(﹣4,1) ,点 P 在 x 轴的非负半轴上(O 为原点) .

取得最小值时,求

的坐标;

(2)设∠APB=θ,当点 P 满足(1)时,求 cosθ 的值.

21. (12 分)已知向量 =(sinA,cosA) , =(1,﹣2)且 ⊥ . (1)求 tanA 的值; (2)求函数 f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域. 22. (14 分)设函数 f(x)的定义域是 R,对于任意的 x,y,有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 当 x>0 时,f(x)>0. (1)求 f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)用函数单调性的定义证明函数 f(x)为增函数.

福建省漳州市龙海市程溪中学 2014-2015 学年高一上学期 期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)cos330°=() A.﹣ B. C. ﹣ D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值. 解答: 解:cos330°=cos(270°+60°)=sin60°= .

故选 B 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 2. (5 分)设全集是实数集 R,A={x|﹣1<x<2},B={x|x﹣a≥0},且 A?(?RB) ,则实数 a 的 取值范围为() A.{a|a<﹣1} B.{a|a≤﹣1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集确定出 B,进而表示出 B 的补集,由 A 为 B 补集的子集,求 出 a 的范围即可. 解答: 解:由 B 中不等式解得:x≥a,即 B={x|x≥a},

∵全集为 R, ∴?RB={x|x<a}, ∵A={x|﹣1<x<2},且 A?(?RB) , ∴a 的范围为{a|a≥2}, 故选:C. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

3. (5 分)设向量 =(﹣1,2) A.(1,1) B.(﹣4,﹣4)

,则 C . ﹣4

等于() D.(﹣2,﹣2)

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算,即可得到. 解答: 解:向量 =(﹣1,2) 则 则有 =﹣2﹣2=﹣4, =﹣4(1,1) ,

=(﹣4,﹣4) . 故选 B. 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算,属于基础题. 4. (5 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣π) ,则它() A.是最小正周期为 π 的奇函数 B. 是最小正周期为 π 的偶函数 C. 是最小正周期为 2π 的奇函数 D.是最小正周期为 π 的非奇非偶函数 考点: 专题: 分析: 解答: 三角函数的周期性及其求法;诱导公式的作用. 三角函数的图像与性质. 由诱导公式化简函数解析式可得 f(x)=﹣2x,从而可求周期和奇偶性. 解:∵f(x)=sin(2x﹣π)=﹣sin(π﹣2x)=﹣sin2x, =π.

∴由周期公式可得:T=

∵f(﹣x)=﹣sin2(﹣x)=sin2x=﹣f(x) , ∴f(x)是奇函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,诱导公式的应用,三角函数奇偶性的 证明,属于基础题. 5. (5 分)设集合 A=R,集合 B=正实数集,则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是() A.f:x→y=|x| B. f:x→y=

C. f:x→y=3 考点: 专题: 分析: 解答:

﹣x

D.f:x→y=log2(1+|x|)

映射. 阅读型. 逐一分析答案,找函数的定义域为 R,值域为正实数集的映射即可. 解:指数函数的定义域是 R,值域是(0,+∞) ,
﹣x

所以 f 是 x→y=3 . 答案:C 点评: 考查映射的概念、映射与函数的关系. 6. (5 分)若方程 2ax ﹣x﹣1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是() A.a<﹣1 B.a>1 C.﹣1<a<1 D.0≤a<1 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

一元二次方程的根的分布与系数的关系. 计算题. 法一:选用特殊值 a=0,a=﹣2,验证排除即可.法二:用根的存在定理 解:法一:当 a=0 时,x=﹣1,不合题意,故排除 C、D.当 a=﹣2 时,方程可化为

4x +x+1=0, 而△ =1﹣16<0,无实根,故 a=﹣2 不适合,排除 A. 故选 B 法二:f(0)?f(1)<0,即﹣1×(2a﹣2)<0,解得 a>1 故选 B 点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,是基础题.

7. (5 分)要得到函数 y=2cos(2x﹣ A.向左平行移动 B. 向右平行移动 C. 向左平行移动 D.向右平行移动 个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

)的图象,只要将函数 y=2cos2x 的图象()

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: y=2cos[2(x﹣ )]=2cos(2x﹣ ) ,根据平移规律:左加右减可得答案. 个单位长度得到的函数解析式为:

解答: 解:将函数 y=2cos2x 的图象向右平行移动 y=2cos[2(x﹣ 故选:D. )]=2cos(2x﹣ ) .

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于基础题.

8. (5 分)若| |=1,| |=2, = A.30° B.60°

,且

,则 与 的夹角为() C.120° D.150°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 与 的夹角为 θ,0≤θ≤π,由 定义求得 cosθ=﹣ ,由此可得 θ 的值. 解答: 解:设 与 的夹角为 θ,则 0≤θ≤π,∵ 再由 ∴θ= =( )? = + ,∴ =0. ,可得 =0,再利用两个向量的数量积的

=1+1×2×cosθ=0,可得 cosθ=﹣ ,

,即 θ=120°,

故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于中档题. 9. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则()

A.y=2sin(2x+

) B.y=2sin(2x﹣

) C.y=2sin(x+



D.y=﹣2sin(x+



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数图象可求得 A,T 的值,从而 可解得:φ﹣ =2,由点(﹣ ,0)在函数图象上,

=kπ,k∈Z,即可求得 φ 的值,从而得解. =π,

解答: 解:∵由函数图象可知:A=2,T= ∴ =2,

∴y=2sin(2x+φ) ,

∵点(﹣ ∴有 2sin[2×

,0)在函数图象上, +φ]=0, =kπ,k∈Z,

∴可解得:φ﹣ ∵|φ|<π, ∴φ= ,

∴y=2sin(2x+

) .

故选:A. 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,属于常考题型,属于 基础题. 10. (5 分)在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A. B. C. ﹣

=2



= D.﹣

,则 λ=()

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 分析: 本题要求字母系数,办法是把 致,即用 和 表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的一

表示,画图观察,从要求向量的起点出发,沿着三角形的边走到终点,把求

出的结果和给的条件比较,写出 λ. 解答: 解:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点 ∵ ∴ ∴λ= , 故选 A. 点评: 经历平面向量分解定理的探求过程,培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想, 基底给定时,分解形式唯一,字母系数是被基底唯一确定的数量. 11. (5 分)如图是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m )与时间 t(月)的关系:y=a 的图象, 有以下叙述,其中正确的是() ①这个指数函数的底数为 2; 2 ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m ; ③浮萍每月增加的面积都相等; 2 2 2 ④若浮萍蔓延到 2m 、3m 、6m 所经过的时间分别为 t1,t2,t3,则 t1+t2=t3.
2 t

=2



=

, = ,

A.①②

B.①②③④

C.②③④

D.①②④

考点: 指数函数的实际应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题考查的是函数模型的选择和应用问题.在解答时,首先应该仔细观察图形,结 合图形读出过的定点进而确定函数解析式, 结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积 进而对问题作出判断,至于第③要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证. 解答: 解:由题意可知:浮萍蔓延的面积(m )与时间(月)的关系:y=a (a>0 且 a≠1) , 且由函数图象可知函数过点(1,2) , ∴a =2,∴a=2,∴这个指数函数的底数是 2 正确; x ∴函数的解析式为:y=2 , 5 2 所以当 x=5 时,y=2 =32>30,故第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 成立; 对于③:浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等,故错; 对④由于:2=2t1,3=2t2,6=2t3, ∴t1=1,t2=log2 ,t3=log2 , 3 2 3 2×3 6 又因为 1+log2 =log2 +log2 =log2 =log2 , 2 2 2 ∴若浮萍蔓延到 2m 、3m 、6m 所经过的时间分别为 t1、t2、t3,则 t1+t2=t3 成立. 正确为:①②④. 故选:D 点评: 本题考查的是函数模型的选择和应用问题.在解答的过程当中充分体现了观察图形、 分析图形和利用图形的能力, 同时对数求值和对数运算的能力也得到了体现, 值得同学们体会 与反思. 12. (5 分)已知 y=x +2(a﹣2)x+5 在(4,+∞)上是增函数,则实数 a 的范围是() A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a≤﹣6 D.a≥﹣6 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出对称轴方程,利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减,比较 区间端点和对称轴的大小即可. 解答: 解:因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减;
2 3 6 1 2 x

而其对称轴为 x=2﹣a,又在(4,+∞)上是增函数 故须 2﹣a≤4, ∴a≥﹣2, 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的单调性.二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决 定.开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减;开口向下的二次函数在对称轴左边递 增,右边递减. 一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡对应题号的横线上. 13. (4 分)函数 y= 的定义域为[2,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 计算题;函数的性质及应用. 由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解指数不等式. x x 解:由 2 ﹣4≥0,得 2 ≥4,则 x≥2. 的定义域为[2,+∞) .

∴函数 y=

故答案为:[2,+∞) . 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题.

14. (4 分)设向量 表示“向东走 6m”, 表示“向北走 6m”,则| + |=6 考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,求出| + |的大小. 解答: 解:根据题意,画出图形,如图所示;



∵|

|=| |=6,|

|=| |=6,

且 ⊥ ; ∴ = + = + , =6 . .

∴| + |= 故答案为:6

点评: 本题考查了平面向量的线性表示以及求向量模长的应用问题,是基础题目.

15. (4 分)设点 P(x,2)是角 α 终边上的一点,且满足

,则 x 的值为



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 计算|OP|,利用正弦函数的定义,即可求得 x 的值 解答: 解:设原点为 O,则|OP|= ∵ ,

∴ ∴x +4=9 ∴ 故答案为: 点评: 本题重点考查三角函数的定义,正确运用三角函数的定义是关键,属于基础题. 16. (4 分)在下列结论中: ①函数 y=sin(kπ﹣x) (k∈Z)为奇函数; ②函数 ③函数 的图象关于点 的图象的一条对称轴为
2 2

对称; π;

④若 tan(π﹣x)=2,则 cos x= . 其中正确结论的序号为①③④(把所有正确结论的序号都填上) . 考点: 正切函数的奇偶性与对称性;余弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式、分类讨论可得 y=sinx 为奇函数,故①正确. 由于当 x= 当 x= 时,函数 y=tan = ≠0,故( ,0)不是函数的对称中心,故②不正确. 对称,故③正确.
2

时,函数 y 取得最小值﹣1,故③的图象关于直线 x=

若 tan(π﹣x)=2,则 tanx=2,由同脚三角函数的基本关系可得 cos x= ,

,故④

正确. 解答: 解:对于①函数 y=sin(kπ﹣x) (k∈Z) ,当 k 为奇数时,函数即 y=sinx,为奇函数. 当 k 为偶数时,函数即 y=﹣sinx,为奇函数.故①正确.

对于②,当 x=

时,函数 y=tan

=

≠0,故 y=tan(2x+

)的图象不关于点(

,0)

对称,故②不正确. 对于③,当 x= ③的图象关于直线 x= 时,函数 y=cos(2x+ 对称.
2 2

)=cos(﹣π)=﹣1,是函数 y 的最小值,故

对于④,若 tan(π﹣x)=2,则 tanx=2,tan x=4,cos x= ,

,故④正确.

故答案为:①③④. 点评: 本题主要考查三角函数图象和性质,三角函数的对称性和奇偶性,掌握三角函数的 图象和性质,是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答案卡对应的区域内. 2 2 17. (12 分)已知集合 S={x|x ﹣px+q=0},T={x|x ﹣(p+3)x+6=0},且 S∩T={3} (1)求 log9(3p+q)的值; (2)求 S∪T. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)根据交集的定义,由 S∩T={3}得到 3∈S,3∈T,代入集合即可求出 p,q,问题 得以解决. (2)两个集合的并集为属于集合 A 或属于集合 B 的元素,欲求 S∪T,只须结合集合中元素 的互异性得到 S∪T 即可. 解答: 解: (1)∵S∩T={3} ∴3∈S,3∈T, 即将 3 代入 x ﹣px+q=0 可得 9﹣3p+q=0, 2 将 3 代入 x ﹣(p+3)x+6=0 可得 p=2, ∴q=﹣3 那么 log9(3p+q)=log93= , (2)由(1)得 S={3,﹣1},T={3,2} S∪T={﹣1,2,3}. 点评: 本题主要考查了交集并集的运算,属于基础题,也是高考常会考的题型.
2

18. (12 分)已知 =(7,1) , =(tan( (1)求 tana 的值; 2 (2)求 sinacosa+2cos a 的值.

+a) ,1) ,且 ∥ ,

考点: 两角和与差的正切函数;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用.

分析: (1)通过向量平移的充要条件,列出方程,利用两角和的正切函数,即可求 tana 的 值; (2)表达式 sinacosa+2cos a 的分母利用“1”的代换,转化为正切函数的形式,然后求解即可. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ =(7,1) , =(tan( ∴ +a) ,1) ,且 ∥ ,
2

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∴ ,解得 tanα= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(2)由(1)知 tanα= ,
2

sinαcosα+2cos α= 分)

=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9

=

=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查两角和的正切函数的应用,向量共线的充要条件,考查计算能力. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+acos x 的图象经过点(0,2) (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 x∈[﹣ , ]时,求函数 f(x)的值域.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ 由已知可求 a,由 2k (2)由 x∈[﹣ , ≤2x+ ],可求﹣ ≤2k ≤2x+ ≤ )+1,

,k∈Z 得函数 f(x)的单调递减区间. ,解得 sin(2x+ )的范围,即可求出函数

f(x)的值域. 解答: (本小题满分 12 分) 2 解: (1)∵函数 f(x)=2 sinxcosx+acos x 的图象经过点(0 2) , ∴f(0)=2, ∴a=2,…(2 分) ∴f(x)= sin2x+2cos x=
2

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

)+1,…(6 分)

∴由 2k

≤2x+

≤2k

,k∈Z 得 k

≤x≤

+kπ,k∈Z, , +kπ],k∈Z,…

∴函数 f(x)的单调递减区间函数 f(x)的单调递减区间为:[k (8 分) (2)由(1)知 f(x)=2sin(2x+ ∵x∈[﹣ ∴﹣ ∴ , ], ≤ , )≤1,…(10 分) )+1,

≤2x+

sin(2x+

∴0≤f(x)≤3,即函数 f(x)的值域为 [0,3].…(12 分) 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,复合函数的单调性,属于基本知识的 考查.

20. (12 分)已知向量 (1)当 ?

=(2,2) ,

=(﹣4,1) ,点 P 在 x 轴的非负半轴上(O 为原点) .

取得最小值时,求

的坐标;

(2)设∠APB=θ,当点 P 满足(1)时,求 cosθ 的值. 考点: 平面向量的综合题. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用数量积运算、二次函数的单调性即可得出; (2)利用向量的夹角公式即可得出. 解答: 解: (1)设 则 ∴ =(2﹣x,2) , ?
2

=(x,0) (x≥0) , =(﹣4﹣x,1) .
2

=x +2x﹣6=(x+1) ﹣7 ? 取得最小值﹣6,此时, =(0,0) , , = =﹣ . ? =﹣6, =(0,0) .

∴当 x=0 时, (2)由(1)知 , ∴

点评: 本题考查了向量的数量积运算、二次函数的单调性、向量的夹角公式,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题.

21. (12 分)已知向量 =(sinA,cosA) , =(1,﹣2)且 ⊥ . (1)求 tanA 的值; (2)求函数 f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域. 考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) ⊥ 故有∵ ? =sinA﹣2cosA=0 可解得 tanA 的值; (2)由二倍角的余弦将函数 f(x)化简,由三角函数的最值即可求函数 f(x)的值域. 解答: 解: (1)∵ ? =sinA﹣2cosA=0 ∴tanA=2 (2)f(x)=cos2x+2sinx 2 =1﹣2sin x+2sinx = ∵﹣1≤sinx≤1 ∴当 时,f(x)有最大值 ;

当 sinx=﹣1 时,f(x)有最小值﹣3. 所以 f(x)的值域是 .

点评: 本题主要考察平面向量数量积的运算、三角函数的最值,属于基础题. 22. (14 分)设函数 f(x)的定义域是 R,对于任意的 x,y,有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 当 x>0 时,f(x)>0. (1)求 f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)用函数单调性的定义证明函数 f(x)为增函数. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)取 x=y=0 即可求得 f(0)的值; (2)令 y=﹣x,易得 f(x)+f(﹣x)=0,从而可判断其奇偶性; (3)设 x1,x2∈R 且 x1<x2,作差 f(x2)﹣f(x1)后判断其符号即可证得 f(x)为 R 上的增 函数; 解答: 解: (1)取 x=y=0 得,则 f(0+0)=f(0)+f(0) ,即 f(0)=0; (2)函数 f(x)为奇函数, 证明:已知函数的定义域为 R, 取 y=﹣x 代入,得 f(0)=f(x)+f(﹣x) , 又 f(0)=0,于是 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数;

(3)证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1) , 由 x2﹣x1>0 知,f(x2﹣x1)>0, ∴f(x2)>f(x1) , ∴函数 f(x)为 R 上的增函数. 点评: 本题考查抽象函数及其应用,以及函数奇偶性和单调性的判断,利用赋值法以及函 数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键.


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