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湖南省十二校2013届高三3月第一次联考数学(文)试题


湖南十二校 2013 届高三第一次联考

数学(文)试题
由 长郡中学;衡阳八中;永州四中;岳阳县一中;湘潭县一中;湘西州民中;石门一中; 澧县一中;郴州一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中 联合命题 总分:150 分 时量:120 分钟 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目

要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知集合 A ? {x | 2x ? x2 ? 0}, B ? {x | x ? 1}, R 为实数集,则 (?R B) ? A = A.[O,1] C. (一∞,0] 2.i 是虚数单位,复数 A.2 3.若函数 f ( x) ? cos x ?
2

B. (0,1] D.以上都不对

?2i 的虚部为 1? i
B.-2 C.1 D.-1

A.最小正周期为

C.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是 2
B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 2 ? 的偶函数

4.若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S8-S4=12,则 S12 的值为 A.22 B.36 C.44 D.64

? x ? y ? 1 ? 0, ? ( a 为常数),所表示的平面区域的面积 5.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0, ? ax ? y ? 1 ? 0, ?
等于 2,则 a 的值为 A.3 B.2 C.1 D.-5

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? 6.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若 OA ? 4OB ? 3OC ? 0 ,则 ??? = | BC |
A.3 B.4 C.5 D.6 7.不等式“| | x ? 1|? 1 是”是“ 1og 2 x ? 1”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上 a 2 b2

且离心率小于

3 的椭圆的概率为 2

A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

9.在 R 上定义运算 ? :x ? y=x(l-y) .若对任意 x>2,不等式(x-a) ? x≤a+2 都成立, 则实数 a 的取值范围是 A.[一 1,7] B. (一∞,3] C. (一∞,7] D. (一∞,-1]U[7, +∞) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 10.直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程是 ?

? x ? 3 ? cos ? , ? (? 为参数) ,以原点为极点,x ? y ? 1 ? sin ? , ?
。 .

轴的正半轴为极轴建立坐标系,则圆心 C 的极坐标是 11.运行如图所示的程序框图,若输入 n=4,则输出 S 的值为

12.观察下列不等式: ①

1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;… 2 2 6 2 6 12

则第 5 个不等式为 。 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积是 。 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当

x ? (??, 0) 时不等式, f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,若

1? ? 1? ? a ? 30.3 f (30.3 ), b ? (1og? 3) f (1og? 3), c ? ?1og3 ? f ?1og3 ? 9? ? 9? ?
则 a,b,c 的大小关系(用“>”连接)是 。

??? ??? ? ? 15.设 M 是△ABC 内一点, AB · AC ? 2 3, ?BAC ? 30? ,定义 f (M ) ? (m, n, p), 其中

1 1 4 m, n, p 分别是△MBC,△MAC,△MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( , x , y ), ? ? a则 2 x y a2 ? 2 的取值范围是 a


三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C= 2A ,cos A=

3 . 4

(1)求 cos B,cos C 的值;

BC (2)若 BA · ?

? ??? ??? ?

27 ,求边 AC 的长. 2

17. (本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从批该零件中随机抽取 20 个,对其 等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n 的值; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个 零件等级不相同的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 P—ABC 的侧面 PAB 是等边三角形, D 是 AB 的中点,PC= BC=AC=2,PB=2 2 . (1)求证:AB⊥ 平面 PCD; (2)求点 C 到平面 PAB 的距离.

19. (本小题满分 13 分) 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告 费为 n 千元时比广告费为(n 一 1)千元时多卖出

b * 千克 (n ? N ) . 2n

(1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s; (2)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (3)当 a=50,b=200 时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大?

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点 F 重合,椭圆 a 2 b2

C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P,| PF|= (1)求椭圆 Cl 的方程;

5 3

(2)若过点 A(-1,0)的直线与椭圆 C1 相交于 M、N 两点,求使 FM ? FN ? FR 成立 的动点 R 的轨迹方程; (3)若点 R 满足条件(2) ,点 T 是圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 | RT | 的最大值,

???? ??? ? ?

??? ?

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ( x ? a ) 2 ? 1nx( a 为常数) . 2 1 2 1 a ? a ? 恒成立,求 a 的取值范围. 2 2

(1)若函数在 x=1 处的切线斜率为 2,求该切线的方程; (2)当 x∈(1,3)时, f ( x ) ? x ?


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