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2015高考数学二轮复习热点题型专题二十五 平面向量的概念及其线性运算


专题二十五 平面向量的概念及其线性运算 【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【热点题型】 题型一 向量的有关概念

例 1、设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行, 则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D .3 )

【提分秘籍】 1.向量与有向线段 向量常用有向线段表示,它们是两个不同概念,有向线段由起点、终点方向唯一确定, 而向量是由大小和方向来确定的. 2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定,在解题时注意 它们的特殊性.如若 a∥b、b∥c 则 a∥c 是假命题,因为当 b 为零向量时,b 与 c 为任意向量, 两者不一定平行. 3.共线向量也叫平行向量,两向量所在的直线可以共线也可以平行. 4.相等向量一定是平行向量. 【举一反三】 下列说法中正确的是( )

A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为零

C.长度相等的两个向量是相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量

【热点题型】 题型二 向量的线性运算 )

→ 例 2、D 是△ABC 的边 BA 上的中点,则向量CD等于( → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ C.BC- BA 2 → 1→ B.-BC- BA 2 → 1→ D.BC+ BA 2

【提分秘籍】 1.两个向量的和仍是一个向量. 2.利用三角形法则进行加法运算时,两向量要首尾相连,和向量由第一个向量的起点指 向第二个向量的终点(可结合物理中位移的合成来认识);利用平行四边形法则进行加法运算 时,两向量要有相同的起点(可结合物理中力的合成来认识.) 3.当两个向量共线时,三角形法则仍适用,而平行四边形法则不适用. 4.利用三角形法则进行减法运算时,两个向量要有相同的起点,然后连接两向量的终点, 并指向被减向量即为差向量. 5.实数和向量可以求积,但不能求和或求差. 6.λ=0 或 a=0?λa=0. 【举一反三】

→ → → → → 在? ABCD 中,A B =a,A D =b,A N =3N C , M 为 BC 的中点,则 M N =________.(用 a,b 表示)

【热点题型】 题型三 共线向量定理

例 3、设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

【提分秘籍】

1.一般地,解决向量 a,b 共线问题,可用两个不共线向量(如 e1,e2)表示向量 a,b, 设 b=λa(a≠0),化成关于 e1,e2 的方程 解方程组即可. 2.注意充要条件中 a≠0,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. 3.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线 的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 4.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 【举一反三】 设 a,b 是两个非零向量,则下列选项正确的是( A.若|a-b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a-b|=|a|+|b| C.若|a-b|=|a|-|b|,则 a,b 共线 D.若 a,b 平行,则|a+b|=|a|+|b| )
? λ=0 ? λ)e1+φ(λ)e2=0,由于 e1,e2 不共线,则? , ? ?φλ=0

【热点题型】 题型四 向量为背景的新定义问题

→ → → 例 4、 设 A1, A2, A3, A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若A1A3=λA1A2(λ∈R), A1A4 → 1 1 =μA1A2(μ∈R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面上的点 C,D 调和分割点 λ μ A,B,则下面说法正确的是( A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 )

→ → → → 【解析】由题意及A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R)知:A1,A2,A3,A4 四点在同 一条直线上,且互不重合.因为点 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直 → → → → 1 1 1 线上,设AC=cAB,AD=dAB,则 + =2,选项 A 中,若 c= ,此时 d 不存在,故 A 不正 c d 2 1 1 确;同理 B 也不正确;选项 C 中,若 0<c<1 且 0<d<1,则 + >2,故 C 也不正确.故 D 正确. c d 【答案】D 【提分秘籍】 向量具有几何和代数的双重特征,因此它具有很强的延伸性,在各种考题中常常会出现 以向量为背景的新定义问题.此类问题一般结合向量知识给出一些新定义、新信息,然后让 考生利用这些新定义、新信息以及所学的知识来解题. 本题以共线向量为背景,结合不等式,通过创新情境,考查化归与转化思想,在整个解 题过程中所给的定义是解题的重要依据和方法. 【举一反三】 α· β 对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β= .若两个非零的平面向量 a,b 满足 a 与 β· β π π? ?n ? ? ? b 的夹角 θ∈? ?4,2?,且 a?b 和 b?a 都在集合 2|n∈Z 中,则 a?b=(
? ?

)

5 A. 2 C .1

3 B. 2 1 D. 2

【高考风向标】 1. (2014· 辽宁卷)设 a,b, c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c=0, 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c,则下列命题中真命题是( A.p∨q B.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨(綈 q) )

→ 1 → → → → 2. (2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的 2 夹角为________.

3. (2014· 四川卷)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=( A.-2 B.-1 C .1 D.2 )

1 2 → 4. (2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE= 2 3 → → λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

5. (2013· 陕西卷)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由已知中|a· b|=|a|· |b|可得,a 与 b 同向或反向,所以 a∥b.又因为由 a∥b,可得|cos〈a,b〉|=1,故|a· b|=|a|· |b||cos〈a,b〉|=|a|· |b|,故|a· b|=|a|· |b|是 a∥b 的充 分必要条件. 6. (2013· 四川卷) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2 3 B-sin (A-B)sin B+cos(A+C)=- . 5 (1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 → → 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影. A-B cos 2

→ → → 7. (2013· 四川卷) 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD=λAO, 则 λ=________. → → → → 【答案】2 【解析】根据向量运算法则,AB+AD=AC=2AO,故 λ=2. → → → → → → → 1 8. (2013· 重庆卷)在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|< , 2 → 则|OA|的取值范围是( )

A.?0,

?

5? 2?

B.?

5 7? ?2,2?

C.?

5 ? D.? 7, 2? ? 2 , 2? ?2 ?

【随堂巩固】 → → → → → 1.如图所示,已知AB=2BC,OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式中成立的是( )

3 1 A.c= b- a 2 2 C.c=2a-b

B.c=2b-a 3 1 D.c= a- b 2 2

→ → → 1→ → 2.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=( 3 1 A.- 3 2 B.- 3 1 C. 3 2 D. 3

)

→ 3.如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么EF=(

)

1→ 1 → A. AB+ AD 2 2 1→ 1 → B.- AB- AD 2 2

1→ 1 → C.- AB+ AD 2 2 1→ 1 → D. AB- AD 2 2

→ → → → 4.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若PA+PB+PC=AB,则( A.点 P 在△ABC 外部 C.点 P 在线段 BC 上 B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AC 上

)

→ → → → 5.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD 为平行四边形,则( A.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 B.a-b+c+d=0 D.a+b+c+d=0

)

→ 1→ → → 2→ 6.在△ABC 中,N 为边 AC 上一点,且AN= NC,P 是 BN 上一点,若AP=mAB+ AC,则 3 11 实数 m 的值为( )

9 5 4 3 A. B. C. D. 11 11 11 11

→ → → → → → CA CB 7.已知在△ABC 中,D 是 AB 边上的一点,CD=λ( + ),|CA|=2,|CB|=1,若CA=b, → → |CA| |CB| → → CB=a,则用 a,b 表示CD为( 2 1 A. a+ b 3 3 1 1 C. a+ b 3 3 1 2 B. a+ b 3 3 2 2 D. a+ b 3 3 )

8.O 是锐角三角形 ABC 的外心,由 O 向边 BC,CA,AB 引垂线,垂足分别是 D,E,F 给出 下列命题: → → → ①OA+OB+OC=0; → → → ②OD+OE+OF=0; → → → ③|OD|∶|OE|∶|OF|=cos A∶cos B∶cos C; → ? ? → → AB AC ? ? + ④?λ∈R,使得AD=λ → → ? ?. ?|AB|sin B |AC|sin C? 以上命题正确的个数是( A.1 C .3 B.2 D.4 )

9.下列四个命题:①若|a|=0,则 a 为零向量;②若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;③若 a∥b, 则|a|=|b|;④若 a=0,则-a=0.其中正确个数有________个.

10.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 解析:因为 8a+kb 与 ka+2b 共线,所以存在实数 λ,使 8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a
? ?8-λk=0, +(k-2λ)b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? 解得 k=± 4. ?k-2λ=0, ?

答案:± 4 → → → → → → 11.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立, 则 m=________.

→ → → → → 12.已知 P 为△ABC 内一点,且 3AP+4BP+5CP=0.延长 AP 交 BC 于点 D,若AB=a,AC= → → b,用 a,b 表示向量AP、AD.

→ → → 13.设点 O 在△ABC 内部,且有 4OA+OB+OC=0,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之 比.

→ → → → → 14.已知 a,b 不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a= c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的 值,若不存在,请说明理由.

15.如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相 交于点 P,求 AP∶PM 的值.


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