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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:8-6 双曲线


05 限时规范特训
A级 基础达标 x2 y2 1.[2014· 昆明质检]已知双曲线a2- 5 =1 的右焦点为(3,0),则该 双曲线的离心率等于( 3 14 A. 14 3 C.2 ) 3 2 B. 4 4 D.3

解析:由题意知 c=3,故 a2+5=9,解得 a=2,故该双曲线的 c 3 离心率 e=a=2. 答案:C 2.已知双曲线中心

在原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于 该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( x2 2 A. 4 -y =1 x2 y 2 C. 2 - 3 =1 y2 B.x - 4 =1
2

)

x2 y2 D. 3 - 2 =1

x2 y2 解析:设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由 PF1 的中 b2 点为(0,2)知,PF2⊥x 轴,P( 5,4),即 a =4,b2=4a,∴5-a2=4a, y2 a=1,b=2,∴双曲线方程为 x - 4 =1.
2

答案:B 3.[2014· 深圳调研]在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在 原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x-2y=0,则它的离心率为

(

) A. 5 C. 3 5 B. 2 D.2

y2 x2 解析:依题意设双曲线的方程是a2-b2=1(其中 a>0,b>0),则 a a 1 其渐近线方程是 y=± x ,由题知 b b=2,即 b=2a,因此其离心率 e= a2+b2 5a = a a = 5. 答案:A 4. [2014· 金华模拟]双曲线 x2+my2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则双曲线的渐近线方程为( A.y=± 2x C.y=± 2x
2 2 2

) 1 B.y=± 2x 2 D.y=± 2 x 1 -m=2×2,

y2 解析:由方程 x +my =1 得 x - 1 =1,所以 2 -m

1 y2 1 2 解得 m=-4,于是双曲线的方程为 x - 4 =1,令 x2-4y2=0,得渐 近线方程为 y=± 2 x. 答案:A x2 y2 5.[2014· 山西四校联考]已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心 率为 2,一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为 ( ) x2 y 2 A. 2 - 6 =1 x2 y2 B. 6 - 2 =1

x2 y 2 C.12- 4 =1

x2 y2 D. 4 -12=1 a2+b2=4 a2+b2 a =2 ,

? ? 2 解析: 抛物线 y =16x 的焦点坐标是(4,0), 于是有? ? ?
2 2

x2 y2 由此解得 a =4,b =12,故双曲线的方程是 4 -12=1,故选 D. 答案:D x2 y2 6.设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点, 若在双曲线右支上存在一点 P, 满足|PF2|=|F1F2|, 且点 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率 e 为( 4 A.5 3 C.5 5 B.4 5 D.3 )

解析:设 PF1 的中点为 M,连接 F2M,由题意知|F1F2|=|PF2|= 2c,则 F2M⊥PF1,所以|MF2|即为点 F2 到直线 PF1 的距离,故|MF2| =2a.

由双曲线的定义可知|PF1|=|PF2|+2a=2a+2c,从而|F1M|=a+ c,

c 5 故可得(2c)2=(a+c)2+(2a)2,得 e=a=3(负值舍去). 答案:D x2 y2 7. [2014· 大港模拟]在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线m- 2 m +4 =1 的离心率为 5,则 m 的值为________. 解析:由题意得 m>0,∴a= m,b= m2+4.∴c= m2+m+4, m2+m+4 c 由 e=a= 5,得 =5,解得 m=2. m 答案:2 8.[2014· 北京模拟]已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上, π π 它的一条渐近线与 x 轴的夹角为 α,且4<α<3,则双曲线的离心率的 取值范围是________. b b 解析:由题意得 tanα=a,∴1<a< 3, c ∴e=a= b2 1+a2∈( 2,2).

答案:( 2,2) y2 9.已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双
2

→ → 曲线右支上一点,则PA1· PF2的最小值为________. 解析:由题可知 A1(-1,0),F2(2,0), → → → → 设 P(x, y)(x≥1), 则PA1=(-1-x, -y), PF2=(2-x, -y), PA1· PF2 =(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x- 5. 1 ∵x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图象的对称轴为 x=8,∴当 x

→ → =1 时,PA1· PF2取得最小值-2. 答案:-2 10.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1, π F2 分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2=3,且△ PF1F2 的面积为 2 3,双曲线的离心率为 2,求该双曲线的标准方程.

解: △PF1F2 是焦点三角形, 利用余弦定理来探索|PF1|, |PF2|, a, b,c 之间的关系,以便确定双曲线的基本量的大小. x2 y2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则 F1(-c,0),F2(c,0),在 △PF1F2 中,由余弦定理可得 π |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2 - 2|PF1|· |PF2|· cos 3 = (|PF1| - |PF2|)2 + |PF1|· |PF2|,∴4c2=4a2+|PF1|· |PF2|. 1 π 又 S△PF1F2=2 3,∴2|PF1|· |PF2|· sin3=2 3. ∴|PF1|· |PF2|=8,∴4c2=4a2+8,∴c2=a2+2,∴b2=c2-a2=2, c 2 又 e=a=2,∴c=2a,∴4a2=a2+2,∴a2=3. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 2 - 2 =1. 3

11.[2014· 潮州市模拟]已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1· MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. 解:(1)∵e= 2, ∴设双曲线方程为 x2-y2=λ. 又∵双曲线过(4,- 10)点, ∴λ=16-10=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. → (2)证明:∵MF1=(-3-2 3,-m), → MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(3+2 3)(3-2 3)+m2=-3+m2. ∵M 在双曲线上,∴9-m2=6, → → ∴m =3,∴MF1· MF2=0.
2

(3)∵在△F1MF2 中,|F1F2|=4 3,且|m|= 3, 1 ∴S△F1MF2=2· |F1F2|· |m| 1 =2×4 3× 3=6. 12.[2014· 张家界模拟]设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2 +y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程;

3 5 4 5 (2)已知点 M( 5 , 5 ),F( 5,0),且 P 为 L 上动点,求||MP| -|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 解:(1)依题意得两圆的圆心分别为 F1(- 5,0),F2( 5,0),从 而可得|CF1|+2=|CF2|-2 或|CF2|+2=|CF1|-2, 所以||CF2|-|CF1||=4=2a<|F1F2|=2 5=2c, 所以圆心 C 的轨迹是以原点为中心, 焦点在 x 轴上, 且实轴长为 4,焦距为 2 5的双曲线, 因此 a=2,c= 5,b2=c2-a2=1, x2 2 故 C 的圆心轨迹 L 的方程为 4 -y =1. x2 2 (2)过点 M,F 的直线 l 的方程为 y=-2(x- 5),将其代入 4 -y 6 5 14 5 6 5 =1 中,解得 x1= 5 ,x2= 15 ,故直线 l 与 L 的交点为 T1( 5 , 2 5 14 5 2 5 - 5 ),T2( 15 , 15 ), 因为 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 上, 所以||MT1|-|FT1||=|MF|=2,||MT2|-|FT2||<|MF|=2. 若点 P 不在 MF 上,则||MP|-|FP||<|MF|=2. 综上所述,||MP|-|FP||只在点 T1 处取得最大值, 即||MP|-|FP||的最大值为 2, 6 5 2 5 此时点 P 的坐标为( 5 ,- 5 ). B级 知能提升 x2 2 1.已知双曲线 3 -y =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双

曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2 5,则△PF1F2 的面积为( 1 A.2 C. 3 B.1 D. 5

)

解析: 由题意知 F1(-2,0), F2(2,0), |F1F2|=4, 由双曲线定义||PF1| - |PF2|| = 2 3 ,又由于 |PF1| + |PF2| = 2 5 ,两式分别平方再作差得 |PF1|· |PF2|=2,所以|PF1|2+|PF2|2=16=|F1F2|2,则△PF1F2 是直角三 1 角形,则 S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|=1,故选 B. 答案:B x2 y2 2.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2, π 过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P,且∠PF1F2=6, 则双曲线的渐近线方程为________. 2b2 b2 2b2 b2 解析:根据已知可得, |PF1|= a 且|PF2|= a ,故 a - a =2a, b2 b 所以a2=2,a= 2,双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 答案:y=± 2x x2 y2 3.[2014· 浙江调研]若点 P 在曲线 C1:16- 9 =1 上,点 Q 在曲 线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R 在曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ| -|PR|的最大值是________. 解析:依题意得,点 F1(-5,0),F2(5,0)分别为双曲线 C1 的左、 右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF2|+1)-(|PF1|-1)|≤||PF2|-|PF1||+2 =2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值是 10. 答案:10 4. [2014· 大同调研]已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),

右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, → → 且OA· OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线 C 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 由已知得 a= 3,c=2,再由 c2=a2+b2 得 b2=1, x2 2 所以双曲线 C 的方程为 3 -y =1. x2 2 (2)将 y=kx+ 2代入 3 -y =1 中,整理得(1-3k2)x2-6 2kx-9 =0, 由题意得
2 ? ?1-3k ≠0 ? , ?Δ=?6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0 ?

1 故 k2≠3且 k2<1 ①. 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB= → → 由OA· OB>2 得 xAxB+yAyB>2, xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2)=(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB) -9 3k2+7 6 2k +2=(k +1)· + 2k· +2= 2 , 1-3k2 1-3k2 3k -1
2

-9 6 2k , 2,xAxB= 1-3k 1-3k2

3k2+7 -3k2+9 1 于是 2 >2,即 2 >0,解得3<k2<3 ②. 3k -1 3k -1 1 由①②得3<k2<1,

3 3 所以 k 的取值范围为(-1,- 3 )∪( 3 ,1).


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