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§4数学归纳法导学案1


学如逆水行舟,不进则退;心似平原野马,易放难收

§4 数学归纳法导学案 1
高二数学 班级_____ 学习目标: 1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题 3.培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学 生经历知识的构建

过程, 体会类比的数学思想 学习重点:归纳法意义的认识和数学归纳法证明问题的步骤 学习难点:数学归纳法中递推思想的理解 编写人 赵荣 姓名__________ 审核人 时间__________ 编号 6 组号_________

自主学习:
1.知识回顾: (1)反证法: . (2)反证法的步骤: ①作出 的假设; ②进行推理,导出 ; ③ 假设,肯定结论. 2.预习教材 P16-P18 内容回答: 数学归纳法及步骤: ①验证: ②在假设当 ; 时命题成立的前提下,推出当 时,命题成立.

注: (1) 、 “二步一结论”缺一不可。
(2) 、第 2 步证明“假设 n=k 成立则 n=k+1 也成立”时一定要用到 .

总结:递推基础不可少,归纳假设要用到. 合作探究(要有必要的解题过程)
探究一: (数学归纳法的应用 1) 1.用数学归纳法证明 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 左边所得的项为( A.1 B. 1+ a ) C. 1 ? a ? a 2

1 ? a n ?1 (n ? N * , a ? 1) 在验证 n ? 1成立时, 1? a

D. 1 ? a ? a 2 ? a3 ;
1

学如逆水行舟,不进则退;心似平原野马,易放难收 2. 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 等 差 数 列 {an } 中 , a1 为 首 项 , d 为 公 差 , 则 通 项 公 式 为

an ? a1 ? ( n ?1) d.

探究二: (数学归纳法的应用 2) 证明:首相为 a ,公差为 d 的等差数列 ?a n ?的前项和公式为 S n ? na1 ?

n(n ? 1)d . 2

效果检测
1.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x ? y 能被 x ? y 整除”第二步的归纳假设应写成
n n

( ) A.假设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 正确,再推 n ? 2k ? 3 正确; B.假设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 正确,再推 n ? 2k ? 1 正确; C.假设 n ? k (k ? N * ) 正确,再推 n ? k ? 1正确; D.假设 n ? k (k ? 1) 正确,再推 n ? k ? 2 正确 2.用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

1 n(n ? 1)(n ? N * ) 2

2

学如逆水行舟,不进则退;心似平原野马,易放难收

课堂检测
1.试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确,若不正确,请改正。 用数学归纳法证明: 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
0 1 2 n ?1

? 2n ? 1(n ? N * )

证明: (1)当 n ? 1时,左边=1,右边= 21 ? 1 ? 1 ,左边=右边,等式成立。 (2)假设当 n ? k 时,等式成立,即 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
0 1 2 k ?1

? 2k ? 1

那么当 n ? k ? 1 时,

20 ? 21 ? 22 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ?

1 ? 2k ?1 ? 2k ? 1 1? 2

这表明,当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 根据(1)和(2)可以断定,等式对任何正整数 n 都成立.

2.用数学归纳法证明:当 n ? N 时, 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) ? n .
*
2

3

学如逆水行舟,不进则退;心似平原野马,易放难收

*能力提升:
证明 1 +2 +3 +?+n =
2 2 2 2

1 n(n+1)(2n+1) 6
,右边= = ,故等式成立.

证明:① 当 n=1 时,左边=

② 假设 n=k( k ? N ,且 k≥1)时等式成立. 即 则当 n=k+1 时,左=1 +2 +3 +?+k +(k+1) = =
? 1 ?k ? 1??(k ? 1) ? 1??2 (k ? 1) ? 1?.即当 n=k+1 时等式也成 6
2 2 2 2 2

成立.

立.综合①,②,对一切 n ? N ,等式都成立.

我的收获是什么:

学后反思:

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