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级高二(文数)试题及答案


北师大附中 2010度第二学期第 北师大附中 2010-2011 学年度第二学期第二学段 数学( 高二数学(文)试题
命题人: 王术江 本试卷共 4 页,21 个小题,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将 自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在

答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(共有 10 个小题,每题 5 分)

? 1+ i ? 1、 i 为虚数单位,则 ? ? ? 1? i ?
(A)- i (B) -1

2011

=(

) (C) i (D)1

2、一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级职 称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量 为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) (A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6 3、 ρ = 4 cos θ 表示的图形是( (A)一条射线 (B)一条直线

) (C)一条线段 (D)圆 )

4、 半径为 R 的圆内有一个内接正方形, 现在向圆内任意投小镖, 则镖落在正方形内的概率 ( (A)

2

π

(B)

π
2

(C)

2

π

(D) 1 ?

2

π


5、已知 U = { y | y > 0} , P = { y | y =

1 , x > 2} ,则 CU P =( x

(A) [ , +∞ )

1 2

(B) ? 0,

? ?

1? ? 2?

(C)

( 0, +∞ )

(D) ( ?∞, 0] ∪ [ , +∞ )

1 2

高二 数学(文) 试题 第 1 页(共 4 页)

6、若 f ( x) =

1 ,则 f ( x ) 的定义域为( log 1 (2 x + 1)
2

)

(A) ( ?

1 , 0) 2

(B) ( ?

1 , +∞) 2

(C) ( ?

1 , 0) ∪ (0, +∞ ) 2

(D) ( ?

1 , 2) 2

7、已知 a = log 2 3.6, b = log 4 3.2, c = log 4 3.6 则 (A) a > b > c (B) a > c > b (C) b > a > c (D) c > a > b

2 8、若抛物线 x = 4y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为 (



(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

9、不等式 x x ? 4 > 0 的解集为( (A) ( ?2, 0) (B) (?2, +∞)

) (C) (2, +∞ ) (D) ( ?2, 0) ∪ (2, +∞)

10、已知命题“非空集合 M 中至少有一个元素是集合 N 中的元素”是假命题,则有下列命题: (1) M 中的元素都不是集合 N 中的元素 (2) M 中的元素都是 N 中的元素 (3) M 中的元素至多有一个元素是集合 N 中的元素 (4) N 中的元素都不是集合 M 中的元素 其中,正确命题的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(共有 6 个小题,每题 5 分) 11、已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是______________。 12、函数 f ( x ) = log 2

1+ x 为___________函数(填“奇”“偶”“非奇非偶”。 、 、 ) 1? x
3

13、如果质点 A 按规律 s = 2t 运动,则在 t = 3 时的瞬时速度为________________。

14、函数 y = 16 ? 4 x 的值域是________________。 15、 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? f ( x + 2 ) = 13 , f (1) = 2 , f ( 99 ) = ________。 若 则
高二 数学(文) 试题 第 2 页(共 4 页)

16、观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为__________________. 三、解答题(共有 5 个小题,每题 14 分) 17、设函数 f ( x) = log 1 (1 ? x ) 。
2 2

(1)用定义证明: f ( x ) 是在区间 ( ?1, 0) 上为单调减函数; (2)求不等式 f ( x ) > 1 的解集,

18、编号为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

[来源:学科网 ZXXK] (1)将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格;

区间 人数

[10, 20 )

[ 20,30 )

[30, 40]

(2)从得分在区间 [ 20,30 ) 内的运动员中随 机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 分的概率。

高二 数学(文) 试题 第 3 页(共 4 页)

? x 2 ? 4 x + 6, x ≥ 0 19、设函数 f ( x) = ? ? x + 6, x < 0
(1)求不等式 f ( x ) > f (1) 的解集 (2)当 x ∈ [?1, +∞ ) 时,有 f ( x ) ≥

1 恒成立,求 m 的取值范围。 m ?1

20、已知函数 f ( x ) =

1 3 x + ax 2 + bx, 且 f '(?1) = 0 3 (1)试用含 a 的代数式表示 b ;

(2)求 f ( x ) 的单调区间;

21、已知椭圆 G :

x2 + y 2 = 1 .过点( m ,0)作圆 x 2 + y 2 = 1 的切线 l ,l 交椭圆 G 于 A,B 两点。 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)设切线 l 的斜率为 k ,求 k 与 m 的关系式; (3)若 AB 的中点横坐标为

8 ,求 m 的值。 13

高二 数学(文) 试题 第 4 页(共 4 页)

010北师大附中 2010-2011 学年度第二学期第二学段 高二数学 数学( 试题答案 高二数学(文)试题答案
命题人: 王术江 一、选择题(共有 10 个小题,每题 5 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 A 5 A 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C

二、填空题(共有 6 个小题,每题 5 分) 11、 y = x5 12、奇 13、54

14、[0,4)

15、

13 2

16、5+6+7+8+9+10+11++12+13=81

三、解答题(共有 5 个小题,每题 14 分) 17、设函数 f ( x) = log 1 (1 ? x ) 。
2 2

(1)用定义证明: f ( x ) 是在区间 ( ?1, 0) 上为单调减函数; (2)求不等式 f ( x ) > 1 的解集, 解: (1)设 t = 1 ? x , y = log 1 t
2

2

设 ?1 < x1 < x2 < 0 由于二次函数 t = 1 ? x 在区间 ( ?1, 0) 为增函数。
2

所以有 0 < t1 < t2 以由于 y = log 1 t 在定义域上为减函数。
2

可知 f ( x ) 是在区间 ( ?1, 0) 上为单调减函数; (本题也可以直接作差) (2) f ( x ) > 1 得 log 1 (1 ? x ) > 1 即 log 1 (1 ? x ) > log 1
2 2 2 2 2

所以有 y1 > y2

1 2

?1 ? x > 0 ? ? 1 解得 2 ?1 ? x < ? 2 ? 2 ? 2 ? < x < 1 或 ?1 < x < ? ? ?x | 2 ? 2 ? ?
2

高二 数学(文) 试题 第 5 页(共 4 页)

18、编号为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

[来源:学科网 ZXXK] (1)将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格;

区间 人数

[10, 20 )
4

[ 20,30 )
6

[30, 40]
6

(2)从得分在区间 [ 20,30 ) 内的运动员中随 机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 分的概率。

解:从得分在区间 [ 20,30 ) 内的运动员中随 机抽取 2 人,所有等可能的结果有 ( A3 , A4 ) A3 , A5 ) A3 , A10 ) A3 , A11 )( A3 , A13 ) ( ( ( ( A4 , A5 )( A4 , A10 )( A4 , A11 ) A4 , A13 ) ( ( A5 , A10 )( A5 , A11 ) A5 , A13 ) ( ( ( A10 , A11 ) A10 , A13 ) ( A11 , A13 ) 共有 15 种。 其中两人得分之和大于 50 的共有 5 种。 则 2 人得分之和大于 50 分的概率 p =

5 1 = 15 3

? x 2 ? 4 x + 6, x ≥ 0 19、设函数 f ( x) = ? ? x + 6, x < 0
(1)求不等式 f ( x ) > f (1) 的解集

高二 数学(文) 试题 第 6 页(共 4 页)

(2)当 x ∈ [?1, +∞ ) 时,有 f ( x ) ≥

1 恒成立,求 m 的取值范围。 m ?1

解: (1)由 f ( x ) > f (1) 及 f (1) = 3 得:

?x ≥ 0 ?x < 0 ? 或? ? 2 ?x ? 4x + 6 > 3 ?x + 6 > 3 ?
解得 x | ?3 < x < 1或x > 3

{

}

(2)当 x ∈ [?1, 0) 时 f ( x ) 的最小值为 f ( ?1) = 5 当 x ∈ [0, +∞) 时 f ( x ) 的最小值为 f ( 2) = 2 可知 x ∈ [?1, +∞ ) 时, f ( x ) 的最小值为 2 要使 f ( x ) ≥

1 恒成立,则有 m ?1

2≥

1 解得: m ?1

3 ? ?m | m ≥ 或m < 1 2 ?

}

20、已知函数 f ( x ) =

1 3 x + ax 2 + bx, 且 f '(?1) = 0 3 (1)试用含 a 的代数式表示 b ;

(2)求 f ( x ) 的单调区间; 解: (1) f '( x ) = x 2 + 2ax + b , f '( ?1) = 1 ? 2a + b = 0 所以: b = 2a ? 1 (2)由(1)得 f '( x ) = x 2 + 2ax + 2a ? 1 即: f '( x ) = ( x + 1)( x + 2a ? 1)

f '( x) = 0 得 x = ?1或x = 1 ? 2a ①当 a < 1 时,有 ?1 < 1 ? 2a f '( x) > 0 得 x > 1 ? 2a 或 x < ?1 f '( x) < 0 得 ?1 < x < 1 ? 2a ②当 a > 1 时,有 ?1 > 1 ? 2a
高二 数学(文) 试题 第 7 页(共 4 页)

f '( x) > 0 得 x < 1 ? 2a 或 x > ?1 f '( x) < 0 得 ?1 > x > 1 ? 2a ③当 a = 1 时,有 ?1 = 1 ? 2a f '( x) > 0 得 x ≠ ?1 所以:当 a < 1 时 f ( x ) 的单调增区间为 (1 ? 2a, +∞) 和 ( ?∞, ?1) ;单调减区间为 ( ?1,1 ? 2a ) 当 a > 1 时 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?1, +∞ ) 和 ( ?∞,1 ? 2a ) ;单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 当 a = 1 时 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?∞, +∞ ) 。

21、已知椭圆 G :

x2 + y 2 = 1 .过点( m ,0)作圆 x 2 + y 2 = 1 的切线 l ,l 交椭圆 G 于 A,B 两点。 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)设切线 l 的斜率为 k ,求 k 与 m 的关系式; (3)若 AB 的中点横坐标为

8 ,求 m 的值。 13

解: (1)由 G :

x2 + y 2 = 1 得 a = 2 : b = 1: c = 3 4
3 2

椭圆 G 的焦点坐标为 ( 3, 0) 和 (? 3, 0) ,离心率 e =

(2)设圆 x 2 + y 2 = 1 的切线 l 方程为 y = k ( x ? m) 即 kx ? y ? km = 0

d=

km 1+ k
2

= 1 得 k 2 m2 = 1 + k 2

(或写成其它形式,只要正确同样得分) (3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y = k ( x ? m) 得 ? 2 x + 4 y2 = 4 ?
x 2 + 4k 2 ( x ? m)2 = 4 即 (1 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx + 4k 2 m2 ? 4 = 0
上韦达定理得 x1 + x2 =

8k 2 m 1 + 4k 2

若 AB 的中点横坐标为

8 13
高二 数学(文) 试题 第 8 页(共 4 页)



8k 2 m 16 = ① 1 + 4k 2 13
2 2 2

又由(2)得 k m = 1 + k ② 联立①②得 m = 经检验 m = 所以 m = 6

1 或m = 6 2

1 不成立。 2

高二 数学(文) 试题 第 9 页(共 4 页)


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