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福建省福州市第八中学2016届高三数学上学期第三次月考试题 文


福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第三次质量检查 数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 2015.11.9 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用

2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, ?,xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积,h 为高
球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 只有一项是符合题目要求的。
2 1.已知集合设集合 M ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , N ? x log 2 x ? 1 , 则M ? N ?

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,

?

?

?

?

A. ?1, 2?

B. ?1, 2 ?

C.

?0,3?

D.

? 0,3?

2.已知角 α 的终边经过点(3,-4),则 sin ? 4 3 3 A. B. C.- 5 5 5 3.设 i 为虚数单位,则复数

4 D.- 5

3 ? 4i = i

A. ?4 ? 3i B. ?4 ? 3i C. ? ? ?i D. ? ? ?i 4.设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比 数列,则 a1= 1 1 A.2 B.-2 C. D.- 2 2 5.奇函数 f ( x) 的定义域为 R.若 f ( x ? 2) 为偶函数,且 f (1) ? 1 ,则 f (8) ? f (5) ? A.-2 B.-1 C.0 D.1
1

b ? 1,则 a ? 2b 等于 6.平面向量 a与b 的夹角为 60 ,a ? ? 2, 0 ?,
?

A. 2 2 B. 2 3 C.12 D. 7.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) cos x ,则下列说法正确的为 A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π B. f ( x ) 的最大值为 2 C. f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? D. 将 f ( x ) 的图象向右平移

10

?
8

对称

? 1 ,再向下平移 个单位长度后会得到一个奇函数的图象 8 2

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.12 C.24 B.18 D.30

9.设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 成立的是 A. B.
x

C.
x

D.

10.下列命题正确的是: (1)已知命题 p : ?x ? R, 2 ? 1.则?p是:?x ? R, 2 ? 1 (2)设 l , m 表示不同的直线, ? 表示平面,若 m / / l , 且m / /?,则l / /? ; π (3)将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像关于点 2

?-π ,0?对称 ? 2 ? ? ?
(4)设 a,b 是实数,则“a>b”是“a >b ”的既不充分也不必要条件 A.(1) (4) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(3) (4) x ?1 ?e x ?1 11.设函数 f ( x) ? ? 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是 ? x x ? 1 ? ? A. ?1, 4? B. ? ??, 4? C. ?1,1 ? ln 2?
4
2 2

D. ? ??,1?

x x x x x ? ? ?? ? ? ,若函数 f ( x) 的零点 2 3 4 2014 2015 都在 [a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内,则 b ? a 的最小值是
12.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? A.1 B.2 C.3 第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. 若命题“? x0∈R, x0+mx0+2m-3<0” 为假命题, 则实数 m 的取值范围是__________. 14.若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是____. 15.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a8 的值是________. 16.已知函数 f ( x) ? sin x .若存在 x1 , x 2 , ? ? ? , xm 满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 4? ,
?
2

2

3

2014

2015

D.4 共 90 分)

且 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ???? ? | f ( xm?1 ) ? f ( xm ) |? 8 (m ? 2, m ? N ) ,则 m 的最小值为 .

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p ?? 4 ? x ?? 6 , q : x2 ? 2x ? 1 ? a2 ? 0? (a ? 0) ,若 ? p 是 q 的充分不必要条 件,求 a 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 ,等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? a4 ? 1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 19.(本题满分12分) 已 知 角 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的 内 角 , a, b, c 分 别 是 其 对 边 长 , 向 量

?? ? ? ? A A A m ? (2 3 sin , cos 2 ) , n ? (cos ,?2) , m ? n 。 2 2 2 (1)求角 A 的大小; 3 (2)若 a ? 2, cos B ? , 求 b 的长。 3
20.(本小题满分12分) 如 图 所 示 , 已 知 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , CD // AB , AD ? AB , BC ? PC , 且 AD ? DC ? PA ?

D

C

1 AB ? 1 2 (1)求证: BC ? 平面 PAC ;
(2)试在线段 PB 上找一点 M ,使

A

B

CM ∥平面 PAD ,并说明理由;
(3)若点 M 是由(2)中确定的,且 PA ? AB , 求四面体 MPAC 的体积。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

P

ln x ? 1 x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间,并判断是否有极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln( x ? 1) ? k ? 1 ? kx 成立,求 k 的取值范围;

(Ⅲ)证明:

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? N *, n ? 2) 22 32 n2 2(n ? 1)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1;几何证明选讲 如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是⊙O 的直径。
3

(Ⅰ)求证:AC·BC=AD·AE (Ⅱ)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F,若 AF=4,CF=6,求 AC 的长。

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 2 cos? , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ,在平面直角坐标系中,以坐标原 (? 为参数) ? y ? 2 sin?

点为极点,x 轴的非负半轴极轴建立极坐标系, 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? cos(? ? 求 C1 与 C 2 交点的极坐标,其中 ? ? 0,0 ? ? ? 2? . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (I)证明: ?3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式: f ( x) ? x2 ? 8x ? 14 的解集.

?
4

)?2 2,

4

福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第三次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准 一、选择题 DDADD BDCAD BA 二、填空题 (13)2≤m≤6_ (14)(e,e)_ (15)8 (16)6 三、解答题 17、解析: ?p ?? 4 ? x ?? 6? 解得x ? 10或x ? ?2? 记 A={x|x>10 或 x<-2},---------2 分 q: x2 ? 2 x ? 1 ? a2 ? 0? 解得 x ? 1 ? a 或 x ? 1-a,记 B={x| x ? 1+a 或 x ? 1 ? a }. -----4 分 而 ? p ? q? q ? / ? p ? ---------------------------------------------------6 分 ∴A ? ? B,-----------------------8 分

?1 ? a ? ?2? ? 即 ?1 ? a ? 10? --------------11 分 ? a ? 0? ?
∴ 0 ? a ? 3 .------------------12 分 18、 (Ⅰ)an=2n-1,---------------2 分 b1=1, b4=8, ∴q=2
n-1

----------5 分

∴bn=2 ---------------------6 分 (Ⅱ)Cn=(2n-1)2
n-1,

------7 分 -

Sn ? 1?1? 3? 2 ? 5 ? 22 ??? (2n ?1)2n?1

2Sn ?

1? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ??? (2n ? 3) ? 2
2 3

n?1

? (2n ?1)2 -------8 分
n

上述两式作差得

?Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ??? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1)2n -----------------9 分
? 2(1 ? 2n ?1 ) ? n ? Sn ? 1 ? 2 ? ? ? (2n ? 1)2 ? 1? 2 ? ---------------------------------------11 分

Sn ? 3 ? 2n (3 ? 2n) .-----------------------------------------------------------12 分 19、解:(1)? m ? n

??

?

?? ? ? A A? ? A ? ? m ? n ? ? 2 3 sin ,cos 2 ? ? ? cos , ?2 ? ? 3 sin A ? ? cos A ? 1? ? 0 2 2? ? 2 ? ? ? 3 sin A ? cos A ? 1 ??????????????3 分 ?? 1 ? ??????????????????5 分 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ?
∵ 0 ? A ? ? ,? ? ? ? A ? ? ? 5? ,? A ? ? ? ? , ??????????7 分 6 6 6 6 6

高三数学(文)第三次质检试卷答案 第 1 页 共 4 页

5

?A?

?
3



????????????????????8 分

(2)在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 2 , cos B ?

3 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
由正弦定理知:

1 6 ? ????????????10 分 3 3

a b ? , ????????????????11 分 sin A sin B 6 2? a sin B 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ??????????12 分 =? ?b ? sin A 3 3 3 2 20、 【解析】 (1)连接 AC ,过 C 作 CE ? AB ,垂足为 E ,又已知在四边形 ABCD 中, AD ? AB , CD ∥ AB , AD ? DC ,四边形 ADCE 是正方形. 1 分 ? ∴ ?ACD ? ?ACE ? 45 . C D 1 又 ∵ AE ? CD ? AB ,∴ BE ? AE ? CE . 2 ? ? ∴ ?BCE ? 45 .∴ ∠ ACB ? 90 .∴ A AC ? BC . 2分 B 又∵ BC ? PC , AC ? PC ? C , ∴ BC ? 平面 PAC . 4分 (2)当 M 为 PB 中点时,CM // 平面 PAD . 5 分 证明:取 AP 中点为 F ,连接 CM , FM , DF . P 1 则 FM ∥ AB ,且 FM ? AB ∵ CD ∥ 2 1 AB , CD ? AB ,∴ FM ∥ CD , FM ? CD . 2 ∴ 四边形 CDFM 为平行四边形,∴ CM ∥ DF . ∵ DF ? 平面 PAD , CM ? 平面 PAD ,∴ CM ∥平面 PAD . 8分 (3)由(1)知, BC ? 平面 PAC , M 为 PB 中点,所以点 M 到平面 PAC 的距离等于 1 1 BC , VM ? PAC ? VB ? PAC . 9 分, 2 2 在三角形 BPA 中,? PA ? AB,? PB ? 5 所以在三角形 BCP 中, PC ? 3 ----10 分,
在 ?PAC 中 PC ? 3, AC ? 2, PA ? 1,??PAC 是 Rt ?, S ?

1 2 , ? 2? 2 2

1 1 1 2 1 VM ? PAC ? VB ? PAC ? ? BC ? S?PAC ? ? 2 ? ? 2 6 6 2 6

--------12 分

解答: (Ⅰ)解:

, (x>0) ,

,----------------1

分 即 x∈(0, 1) ,f'(x)>0,当 x∈(1,+∞) ,f'(x)<0, ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,--------------3 分
6

在 x=1 处取得极大值, 极大值为 f (1) =1, 无极小值. ---------------------------------4 分 (Ⅱ)解:方法 1:∵ln(x﹣1)+k+1≤kx, , 则 k≥f(x﹣1)max 对任意的 x>1 恒成立,---------6 分 由(1)知 f(x)max=f(1)=1, 则有 f(x﹣1)max=1,∴k≥1.----------------------8 分 方法 2:记 g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, , 当 k≤0 时,g'(x)≥0; 当 k>0 时,由 g'(x)>0 得 ,

即当 k≤0 时,g(x)在(1,+∞)上为增函数; 当 k>0 时, 上为增函数;在 上为减函数.

∵对任意的 x>1,恒有 ln(x﹣1)+k+1≤kx 成立, 即要求 g(x)≤0 恒成立, ∴k>0 符合,且 (Ⅲ)证明: 则 令 x=n (n∈N ,n≥2) ,即
2 *

,得 k≥1. ,由(Ⅰ)知 (当且仅当 x=1 取等号) .-----------9 分 ,则有---------10 分 ,

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 ? 2 ?? 2 ? (n ? N *, n ? 2) ---------12 分 22 3 n 2(n ? 1) 22、 【解析】 (Ⅰ)连接 BE ,则 ?ABE 为直角三角形????????????1 分
∴ 所以 ?ABE ? ?ADC ? 90? .又 ?AEB ? ?ACB ????????????2 分 所以 ?ABE ? ?ADC ,所以

即 AB ? AC ? AD ? AE ,又 AB ? BC ??????????4 分 故 AC ? BC ? AD ? AE ????????????????5 分 (Ⅱ)因为 FC 是 ? O 的切线,所以 FC 2 ? FA ? FB ???6 分 又 AF ? 4 , CF ? 6 ,从而解得 BF ? 9 , AB ? BF ? AF ? 5 ??????????7 分 因为 ?ACF ? ?CBF , ?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ? ?CFB ?????????8 分

AB AE ??????????3 分 ? AD AC

AF AC ?????????????????????????? 9分 ? 高三数学(文)第三次质检试卷答案 第3页 共4页 CF CB AF ? CB 10 即 AC ? ? ???????????????????????10 分 CF 3
所以
? x ? 2 ? 2 cos ? , 2 23、 【解析】解法一:将 ? 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , ? y ? 2sin ?
7

所以 C1 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .

???????4 分

将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得: x ? y ? 4 ? 0 .?????6 分

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? 4, ? x ? 2, 由? 解得 ? 或? ????8 分 ?y ? 0 ? y ? ?2. ? x ? y ? 4 ? 0, 7π ? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2, ???????10 分 ?. 4 ? ?
? x ? 2 ? 2 cos ? , 2 解法二:将 ? 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , ? y ? 2sin ?

所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? .

所以 C1 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .

???????4 分 ??????6 分 ????????8 分

? 2 π? ? 代入 ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ,得 cos(2? ? ) ? , 4 2 4? ?
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2,

7π ? ? ???????10 分 ?. 4 ? ? 24、 【解析】 (I) | f ( x) |? | x ? 2 | ? | x ? 5| ? ( x ? 2) ? ( x ? 5) ? 3
--------2 分 ∴ ?3 ? f ( x) ? 3 --------------------------------------------------------------3 分 (II)①当 x ? 2 时, f ( x) ? ?3 ,而 x2 ? 8x ? 14 ? ( x ? 4)2 ? 2 ? ?2 ∴ f ( x) ? x2 ? 8x ? 14 无解------------------------------------------------5 分 ②当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? 2 x ? 7 ,原不等式等价于:

?2 x ? 7 ? x2 ? 8x ? 14 ? 3 ? x ? 5 -----------------------------------7 分 ? ?2 ? x ? 5 ? x2 ? 8x ? 14 ? 3 ③当 x ? 5 时, f ( x) ? 3 ,原不等式等价于: ? ? 5 ? x ? 4 ? 5 ---9 分 x ? 5 ? 综上,不等式的解集为 [3, 4 ? 5] .----------------------------------10 分

8


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