kl800.com省心范文网

辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 数学理试题 Word版含答案


沈阳二中 2013-2014 学年度上学期 12 月小班化学习成果 阶段验收高三(14 届)数学(理科)试题
命题人:高三数学组
说明:1、测试时间:120 分钟

审校人:高三数学组

总分:150 分;

2、客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的对应位置上

第Ⅰ卷(60 分

)
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.)
错误!未指定书签。 .设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则

2 ? z2 ? z
D. 1 ? i





A. ? 1 ? i 的所有 a 的集合是 A.{a|1?a?9}

B. ? 1 ? i

C. 1 ? i

错误!未指定书签。 .若非空集合 A={x| 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5 },B={x|3?x?22},则能使 A?B,成立

( B.{a|6?a?9} C.{a|a?9} D.? (



错误!未指定书签。 .函数

f ( x) ? ( x ?1) 2 ?1( x ? 0) 的反函数为
B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 2)



A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 2)
错误!未指定书签。 .等比数列

{an } 的 前 n 项 和 为 S n , S 5 ? 2, S10 ? 6 , 则
( C.32 D.16 )

a16 ? a17 ? a18 ? a19 ? a20 ?
A.54 B.48

错误!未指定书签。 .已知: a , b 均为正数,

1 4 ? ? 2 ,则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范 a b
( ( ) )

围是

9? ? A. ? ??, ? 2? ?

B. ?0,1?

C. ?? ?,9?

D. ?? ?,8?

错误!未指定书签。 .若 tan ?

? 3 ,则 sin ? cos ? ?
C.





A. ?

3 4

B. 3

3 3

D.

3 4

错 误 ! 未 指 定 书 签 。

. 对 于 任 意 非 零 实 数

a 、 b 、 c 、 d, 命 题



若a ? b, 则ac ? bc

;②

若a ? b, 则ac2 ? bc2

③ 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则 确的个数是 A.1

1 1 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd . 其 中正 a b
( ) C.3 D.4 ( )

B.2

错误!未指定书签。 .已知平面 ?、?、? ,则下列命题中正确的是

A. ? ? ?,? ? ? ? a,a ? b,则b ? ? B. ? ? ?,? ? ?,则? ∥ ? C. ? ? ? ? a,? ? ? ? b,? ? ?,则a ? b D. ? ∥ ?,? ? ?,则? ? ?
错误!未指定书签。 .已知双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为

60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 , 则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) ( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+ ? ) D.(2,+ ? ) 2 错误!未指定书签。 .若抛物线 y =x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标 为 ( ) A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4


错误!未指定书签。 .函数 f ( x) ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | sin x ? cos x | 的值域是 ( 2 2
B. [ ?

A.[-1,1]

2 ,1] 2 2 ] 2

C. [ ?

1 1 , ] 2 2

D. [ ?1,

错误!未指定书签。 .设函数 f n ( x) ? 1 ? x ?

x2 x3 xn ,其中 n 为正整数,则集 ? ? ? ? ? ? (?1) n 2 3 n
( D.4 个 )

合 M ? x丨f 4 ( x) ? 0, x ? R 中元素个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个

?

?

第Ⅱ 卷(90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
错误!未指定书签。 .在等差数列
2009 ? 2007 ? 2 ,则数 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项的和,且 a1 ? 2 , 2009 2007

S

S

列?

?1? ? 的前 n 项的和是__________? ? Sn ?

错 误 ! 未 指 定 书 签 。. 已 知 点 O 为 ?ABC 的 外 心 , 且 AC ? 4, AB ? 2 , 则

AO ? BC ? ____________.
错误! 未指定书签。 . 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C

相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为___________. 错误!未指定书签。 .连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的 长度分别等于 2 7 、 4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大 值为___________. 三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
错误! 未指定书签。 . (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A ?

1 3

(1)求 sin 2

B?C ? cos 2 A 的值 2

(2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值
错误!未指定书签。 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 {an } 的 前

n 项 和 为 Sn , 已 知

a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2
(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式.
错误!未指定书签。 . (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1

的 菱形 , ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为

OA 的中点?
(Ⅰ )求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ )求点 B 到平面 OCD 的距离?

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 D 的顶点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右 4 3

焦点重合 (1) 求抛物线 D 的方程 (2) 已知动直线 l 过点 P ? 4,0? ,交抛物线 D 于 A, B 两点,坐标原点 O 为 PQ 中点,求证

?AQP ? ?BQP ;
(3) 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存 在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 单调区间; (2)当 x ? ? 0, e? 时,求函数 f ? x ? 的最小值;

1 ? a ln x ( a 为参数) x

( 1? ) ? e ? ( 1? ) (3)求证:
n

1 n

1 n

n ?1

? e ? 2.718 ??????, n ? N ?
*

请考生在第 22—24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
22. (本小题满分 10 分)如图,AB 是⊙ O 的直径,弦 BD、CA 的延长线

相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证:(1) ?DEA ? ?DFA; (2)AB2=BE?BD-AE?AC.

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 23. 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ?y ? 2 t ? ? 2

??

sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1, 0) ,直线 l 与 1 ? sin 2 ?

曲线 C 交于 A、B 两点. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2) 线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值.

24. (本小题满分 10 分)设关于 x 的不等式 log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? a

(1)当 a ? 3 时,解这个不等式; (2)若不等式解集为 R ,求 a 的取值范围;

沈阳二中 2013-2014 学年度上学期 12 月小班化学习成果 阶段验收高三(14 届)数学(理科)答案
DBCDA DBDCB BA
填空题 13.

n n ?1

14. 6

15. x ? ( y ? 1) ? 18.
2 2

16.

5

解答题 17 . 解: (1)在?ABC中? cos A ?

1 3

? sin 2

B?C 1 ? cos 2 A ? ?1 ? cos( B ? C ) ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2

?

1 1 ?1 ? cos A? ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ---------------------6 分 2 9

(2)由余弦定理知a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
2 2 4 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 3 3 3

b?c?


9 3 2 时,bc 的最大值是 4 ---------------------------12 分

18 解:(I)由 a1

? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有

a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,...① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 .....② ② -① 得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又? bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为 2 的等比数列.----6 分 (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ------------------12 分 2 2 4 4 4

? 数列 {

19 解:方法一(综合法) (1)? CD‖ AB, ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角 (或其补角) 作 AP ? CD于P,

∴CD ? MP 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D ,
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2

∵MD ? MA2 ? AD2 ? 2

,

∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3 ? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 -----------------------6 分 3

∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等 , 连接 OP, 过点 A 作 (2) ∵ AB‖ 平面OCD,
AQ ? OP 于点 Q, ∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,

∵ AQ ? 平面OAP,∴ AQ ? CD 又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长
就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 ? , AP ? DP ? 2 2 2

2 OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 --------------------12 分 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2 2?
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) , 2 2 2

(1)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,

??? ? ???? ? 2 2 ∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ? ???? ? AB?MD 1 ? , ∴cos ? ? ??? ? ???? ? ? ,∴? ? 3 AB ? MD 2
∴ AB 与 MD 所成角的大小为
(2) ∵OP ? (0,

? ---------------------------6 分 3

??? ?

???? 2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) 2 2 2

∴ 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? OD ? 0

??? ?

????

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2) 2 2 ?? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2 ??? ? 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? OB ? n 2 ??? ? 2 ? . 所 以 点 B 到 平 面 OCD 的 距 离 为 ∵OB ? (1,0, ?2) , ∴ d ? 3 n 3
-----------------------------12 分 20. 解: (1)抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? p ? 2 。所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x -----------3 分 (2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由于 O 为 PQ 中点,则 Q 点坐标为(-4,0) 当 l 垂直于 x 轴时,由抛物线的对称性知 ?AQP ? ?BQP 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l : y ? k ? x ? 4? ,

? 4 ? 2k 2 ? 1? ? y ? k x ? 4 ? ? ? ?x ? x ? ? k 2 x 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1? x ? 16k 2 ? 0 ? ? 1 2 由? k2 2 y ? 4 x ? ? x x ? 16 ? ? 1 2

? k AQ ?

k ? x1 ? 4 ? k ? x2 ? 4 ? y1 y ? , kBQ ? 2 ? x1 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 4

? k AQ ? kBQ ?

k ? 2 x1 x2 ? 32 ? k ? 2 ?16 ? 32 ? ? ?0 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? x1 ? 4?? x2 ? 4?

所以 ?AQP ? ?BQP --------------------------------------------------------------8 分 (3) 设存在直线 m: x ? a 满足题意,则圆心 M ?

? x1 ? 4 y1 ? , ? ,过 M 作直线 x=a 的垂线,垂足 2? ? 2
2 2 2

为 E。设直线 m 与圆的一个交点为 G,则 EG ? MG ? ME .即

EG ? MG ? ME
2

2

2

2

? x ? 4? ? 1
4
2

2

? y12

? x ?4 ? ?? 1 ?a? ? 2 ?

2

? x ? 4 ? ? ? x1 ? 4 ? ? a x ? 4 ? a 2 ? x ? 4 x ? a x ? 4 ? a 2 ? a ? 3 x ? 4a ? a 2 1 ? y12 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? 1 1 1 4 4
当 a=3 时, EG ? 3, 此时直线 m 被以 AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值 2 3 。因此存在 直线 m:x=3 满足题意。-----------------------------------------------------------12 分
2

1 a ax ? 1 ? ? 2 ,定义域为 ? 0, ??? x2 x x x ?1 当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 x
21.解: (1) f ? ? x ? ? ? 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,1? ------------------------4 分 (2) f ? ? x ? ? ?

1 a ax ? 1 ? ? 2 x2 x x

① 当 a ? 0 时,f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 成立, 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, 所以 f ? x ?

1 1 ? a ln e ? ? a e e 1 1 ② 当 x ? ? 0 ? a ? 0 时, ;令 f ? ? x ? ? 0 ? x ? a a 1 1 (ⅰ )若 e ? ,即 a ? 时,则 f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, e? 成立,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调 a e 1 1 递减,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a e e
在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ? e ? ? (ⅱ )若 0 ?

1 1 1 ? 1? ?1 ? ? e ? a ? 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , e ? 单调递增,在 x ? 处 a a e ? a? ?a ?

有极小值。所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ?

1 ?1? ? ? a ? a ln a ?a?

综上,得 f ? x ?min

? ?f ? ?? ?f ? ?

?e? ?

1 1? ? ? a?a ? ? e e? ?

1? 1? ?1? ? ? ? a ? a ln ? a ? ? a? e? ?a?
n ?1

------------------------------------------8 分

? 1? ? 1? (3)对 ?1 ? ? ? e ? ?1 ? ? ? n? ? n?


n

两边取对数,得 n ln n ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? 1 ? ? n ? 1? ln ?1 ? ? n? ? n?

1 1 1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? 。令 x ? 1 ? ,只要证 1 ? ? ln x ? x ? 1?1 ? x ? 2 ? n x n ?1 ? n? n

1 ? x ? 0 ? 的最小值为 f ?1? x 1 1 所以 f ? x ? ? ln x ? ? f ?1? ? 1? x ? 0 ? ? 1 ? ? ln x x x 又因为当 1 ? x ? 2 时,上式等号取不到, 1 所以 1 ? ? ln x ?1 ? x ? 2 ? ------------------------------------① x
证明如下:由(1)知 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? 令 g ? x ? ? x ? ln x ?1?1 ? x ? 2? , 则 g?? x? ? 1?

1 x ?1 ? ? 0 ? g ? x ? 在 ?1, 2? 上是增函数 x x

? g ? x ? ? g ?1? ? 0 ? ln x ? x ?1-----------------------------------------②
所以综合① ② ,得 令 x ? 1?
22 证明:

x ? ln ? x ? 1? ? x, ?1 ? x ? 2 ? x ?1

1 1 ? 1? 1 ,则 ? ln ?1 ? ? ? ,所以原不等式成立-----------------------------------12 分 n n ?1 ? n? n

(1)连结 AD 因为 AB 为圆的直径,所以∠ ADB=90° ,又 EF⊥ AB,∠ EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆 ∴ ∠ DEA=∠ DFA-------------------------------5 分 (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF 又△ ABC∽ △ AEF AB AC ∴ ? AE AF 即:AB?AF=AE?AC ∴BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB2 -------------10 分 23.解(1)直线 l 的极坐标方程 2 ? cos(? ?

?
4

) ? ?1 ,

……3 分

曲线 C 普通方程 y ? x 2

……5 分

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 代入 y ? x 2 得 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 ,……8 分 (2)将 ? ?y ? 2 t ? ? 2
| MA | ? | MB |?| t1t 2 |? 2
……10 分

24 解:(1) a ? 3,log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? 3 ? log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? log 2 8

| x | ? | x ? 4 |? 8
当x ? 4 x? x?4?8 得: x ? 6 当0 ? x ? 4 x? 4? x ? 8 不成立 当 x ? 0 ?x ? 4 ? x ? 8 得: x ? ?2 ∴ 不等式解集为 {x | x ? ?2或x ? 6} (2) | x | ? | x ? 4 |?| x ? 4 ? x |? 4 ∴log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? log 2 4 ? 2 ∴ 若原不等式解集为 R ,则 a ? 2 -------------------------10 分 -----------------------5 分


辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 历史试题 Word版含答案

辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 历史试题 Word版含答案_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。沈阳二中 2013——2014 学年度上学期 12 月份小班化学习...

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案[考]

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案[考]_高二数学_数学_高中教育_教育专区。沈阳二中 2015—2016 学年度上学期 12 月...

辽宁省沈阳二中2016届高三上学期12月月考试题 物理 Word版含答案

辽宁省沈阳二中2016届高三上学期12月月考试题 物理 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳二中2016届高三上学期12月月考试题 物理 Word版含答案 ...

辽宁省沈阳二中2016届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案

辽宁省沈阳二中2016届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。沈阳二中 2015-2016 学年度上学期 10 月份小班化学习...

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期12月月考试题 历史 Word版含答案

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期12月月考试题 历史 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。沈阳二中 2014——2015 学年度上学期 12 月份小班化学习成果...

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期12月月考试题 化学 Word版含答案

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期12月月考试题 化学 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。沈阳二中 2014——2015 学年度上学期 12 月份小班化学习成果...

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期12月月考试题 历史 Word版含解析

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期12月月考试题 历史 Word版含解析_高二政史地_政史地_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期12月月考...

2016届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考试题 地理 word版

2016届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考试题 地理 word版_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。2016届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考试题 地理 word版 ...

【恒心】2015届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考政治试题及参考答案【纯word首发精品版】

【恒心】2015届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考政治试题及参考答案【纯word首发精品版】_政史地_高中教育_教育专区。2015届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考政治...

沈阳二中高三期中2017 | 辽宁省沈阳市 | 辽宁省沈阳市 邮编 | 辽宁省沈阳市和平区 | 辽宁省沈阳市区号 | 辽宁省沈阳市天气预报 | 辽宁省沈阳市浑南新区 | 辽宁省沈阳市铁西区 |