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函数y=Asin(wx+h)+k的图像与性质


函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质
一、要求: 本节内容高考要求为 B 级 二、 基础扫描 1.一弹簧振子的位移 y 与时间 t 的函数关系为 y ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) ,若已知此 振动的振幅为 3,最小正周期为 2.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 小正周期 T 和初相 ? 分别为


?

2? ? ,初相为 ,则这个函数的表达式为 7 6 x ? ? )( ? ?



?

3

2

,则该简谐运动的最 ) 的图像经过点(0,1) 。

3. 将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) , 所得图像关于 y 轴 对称,则 a 的最小值为 。

4. (2008。全国卷)为得到 y ? cos(2 x ? 平移 三、 例题研究 个长度单位。

?
3

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像向

例 1:用五点法作出 y ? 2sin( x ? 值及单调减区间。

?
3

) ? 3 的图像,并求出它的周期、频率、相位、初相、最

例 2:指出将函数 y ? sin x 的图像变换为 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像两种方法。

例 3:已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点

M(

3? ? ?? , 0) 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 4 ? 2?

例 4:已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 。 3 4 4

?

?

(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期和图像的对称轴方程;

(2) 求函数 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的值域。 , ? 12 2 ? ?

四、

巩固练习

1.为了得到函数 y ? sin(2 x ? 个单位长度。

?
6

) 的图像,可以将函数 y ? cos 2 x 的图像向

平移

2.若函数 y ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ?0,

? ?? 上单调递增,且在该区间上函数的最大值为 ? 4? ?

3 ,则 ? ?
3. 将函数 y ? sin(2 x ?



?
2

) 的图像上的所有点向右平移

? 个单位,再将图像上的所有点的 4

横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数 f ( x) 的图像,则函数 f ( x) 的解析式为 。 4.若函数的周期为 ? ,其图像的一条对称轴为 x ? 。 5.函数 f ( x) ? lg(sin 2 x) 的增区间为 。

?
3

,则满足此条件的一个函数解析式为

6.把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位,所得的图像关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是 。

7.要得到函数 y ? sin x 的图像,只需将函数 y ? cos( x ? 。 8.已知函数 y ? sin(? x ?

?
3

) 的图像

?
6

) 的最小正周期为

? ,则正数 ? ? 2



9.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意的 x 都有 f ( 。

?

? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) ? 6 6 6

?

?

10.若将函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像按向量 a ? (? 图所示,则平移前的函数解析式可以为

?
6

, 0) 平移,平移后的图像如


11.指出经过怎样的图形变换,可将正弦曲线变换成函数 y ? 3sin(2 x ?

?
6

) 的图像。

12 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上 的 偶 函 数 , 其 图 像 关 于 点

M(

3? ? ?? , 0) 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 4 ? 2?

五、反思总结


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