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2015-2016学年高中数学 1.2 排列课件 北师大版选修2-3


§2 排 列

1.通过实例正确理解排列的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式,掌握排列数公式,能用排列数公式进行 计算与证明,解决简单的实际问题. 3.掌握用直接法和间接法解决排列应用题的方法,从而培养学生一题多解 和一题多变的能力,培养学生从反面解决问题的意识.

1.一般地,从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤n)个元素,按

照一定顺序排成 一列,叫作从 n 个不同的元素中任意取出 m 个元素的一个排列.我们把有关 求排列的个数的问题叫作排列问题. 【做一做 1 】 给出下列问题 : ①有 10 个车站,共需准备多少种车票? ②有 10 个车站,共有多少种不同的票价 ? ③平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段? ④有 10 位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话多少 次? ⑤从 10 名学生中任选 2 名分别参加数学和物理竞赛,有多少种选派方 法? 其中,属于排列问题的有 答案:①③⑤ .

2.我们把从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列的个数,叫 作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 A .
0 A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).规定A =1.

【做一做 2 】 设 m∈N+,且 m<15,则(15-m)· (16-m)· …· (20-m)可记为 ( ) A. A6 15 - B.A20- C.A6 20- D.A5 20- 答案: C
15 -

3.我们把 n· (n-1)· (n-2)· …· 2· 1 记作 n!,读作 :n 的阶乘,规定 0!=1,利用阶乘
表示排列数 A 为 :A =

! . (-)!

【做一做 3 】 A3 7 可用阶乘符号表示为 答案:
7! 4!

.

1.如何理解排列的定义 ? 剖析:排列的定义包含两个方面 :一是 “取出元素”,二是“按照一定顺序 排列”.因此,当两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也完全相同 时,它们才是同一个排列,元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同 而顺序不同的排列,都不是同一个排列. 定义中规定给出的 n 个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各 不相同的情况,也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不能再取了, 否则就变成了取出两个相同元素. 定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题,对有些具体情况,如取出数 字 1,2,3 组成三位数,就与位置有关,因为 123 和 132 是不同的三位数; 但如取 出数字 1,2,3,考虑它们的和,则与位置无关.

2.解答有关排列问题的应用题时应注意什么? 剖析:(1)注意排列的有序性,分清全排列与选排列,防止重复与遗漏. (2)对受条件限制的位置与元素应首先排列,并适当选用直接法或排除 法(间接法). (3)同一个问题,有时从位置分析较为简便,有时从元素分析较为简便, 应注意灵活运用. (4)从位置分析的 “填空法 ”及对不相邻问题采用的 “插空法 ”,是解答排 列应用题中常用的有效方法,应注意培养运用这些方法的意识,同时要注意 方法的积累. (5)要通过解答排列应用题,深化对分类加法计数原理和分步乘法计数 原理的认识,培养 “全局分类”和“局部分步”的意识,并在具体操作中确 保 :①分类要使得各类的并集等于全集,任意两类的交集等于空集,这样才能 “不重不漏 ”;②分步要使得各步具有连续性和独立性,保证 “不重不漏 ”.

题型一

题型二

题型三

题型一

有关排列数的计算

2 2 【例 1】 解方程 :3 A3 =2A +1 +6A .

分析:先把式中的排列数转化为关于 x 的表达式,注意 A 中 m≤n 且 m,n 为正整数的限制条件,再求解关于 x 的方程.
2 2 解:由 3 A3 x≥3, =2A +1 +6A ,得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).∵

∴ 3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即 3x2-17x+10=0. 解得 x=5 或 x= (舍),∴ x=5.
2 3

题型一

题型二

题型三

注意:(1)排列数公式 A =n·(n-1)·…·(n-m+1)中最后一项为 n-m+1,而不是 n-m;
(2)排列数与阶乘的对应关系为 :A =n!,A =

! . (-)!

题型一

题型二

题型三

题型二

解无约束条件的排列问题

【例 2】 写出从 4 个不同元素 a, b,c,d 中任取 3 个元素的所有排列,并指出 有多少种不同的排列. 解:abc,acb,bca, bac,cab,cba,abd,adb, bad, bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,da c,dca,bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb 共 24 种,即 A3 4 =24 种.

题型一

题型二

题型三

只有当元素完全相同,并且排列顺序也完全相同时,才是同一排列,元 素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同 一排列.

题型一

题型二

题型三

题型三

解有约束条件的排列问题

【例 3】 由 A,B,C,…等 7 人担任班级的 7 个班委. (1)若正、 副班长两职只能由 A,B,C 这三人中选两人担任,则有多少种分 工方案 ? (2)若正、 副班长两职至少要选 A,B,C 这三人中的 1 人担任,有多少种分 工方案 ? 分析:显然这是一道排列应用题,问题(1)可分两步进行,优先安排受限 制的正、副班长,然后再排其余 5 名班委职务.问题(2) 的反面情形比较简单, 可采用排除法求解.

题型一

题型二

题型三

5 解:(1)先安排正、 副班长有 A2 3 种方法,再安排其余职务有 A 5 种方法,依分

5 步乘法计数原理,共有 A2 3 A 5 =720 种分工方案.

(2)7 人的任意分工方案有 A7 7 种,A,B,C 三人中无一人任正、副班长的分
5 工方案有 A2 4 A 5 种, 因此 A,B,C 三人中至少有 1 人任正、副班长的方案有

2 5 A7 7 ? A 4 A 5 =3 600 种.

题型一

题型二

题型三

排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置,并非一定要排成 “一行 ”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用,在处理“至多 ” 或“至少 ”等问题时非常有效.当然问题(2)也可以逐一分类,算式为
1 5 1 1 5 2 5 A1 3 A 4 A 5 + A 3 A 4 A 5 + A 3 A 5 =3 600 种.

1

2

3

4

5

6

2 1 已知 A2 =7A -4 ,则 n 的值为(

) C.8 D.2

A.6

B.7

解析:由排列数公式,得 n(n-1)=7(n-4)(n-5), 2 ∴ 3n -31n+70=0, 解得 n=7 或 n= (舍). 答案:B
10 3

1

2

3

4

5

6

2 电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的产品广告和 2 个不同的 公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则不同的播放方式有( A.48 种 C.720 种 B.24 种 D.120 种 )

解析:分两步 :第一步先排首尾,第二步再排中间 4 个位置,则
4 N=A2 2 · A 4 =2×24=48.

答案:A

1

2

3

4

5

6

3 将五辆车停在 5 个车位上,其中 A 车不停在 1 号车位上,不同的停车方 案有( A.24 种 ) B.78 种 C.96 种 D.120 种

解析:∵ A 车不停在 1 号车位上,∴ 可先将 A 车停在其他四个车位中的任何一 个车位上,有 4 种可能,然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列,
4 有A4 4 种停法,由分步乘法计数原理,得共有 4×A 4 =4×24=96 种停车方案.

答案:C

1

2

3

4

5

6

3 4A3 6 + A7 =

.

答案:330

1

2

3

4

5

6

5 有 5 名男生和 3 名女生,从中选出 5 人分别担任语文、数学、英语、 物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任语文科代表,则不同的选法共 有 种.(用数字作答)

解析:从剩余 7 人中选出 4 人担任其他 4 个学科的科代表,共有 A4 7 =840 种. 答案:840

1

2

3

4

5

6

6 五个人排成一排,按下列要求分别有多少种排法? (1)其中甲不站排头; (2)其中甲不站排头,乙不站排尾; (3)其中甲、乙两人必须相邻; (4)其中甲、乙两人必须不相邻; (5)其中甲、乙中间有且只有一人; (6)其中甲必须排在乙的右边.

1

2

3

4

5

6

4 解:(1)方法一 :先排甲,有 4 种排法,然后排其余 4 人,有 A4 种排法 , 故有 4 A 4 4 =96

种排法;方法二 :先排排头,有 4 种排法,然后其余 4 个位置有 A4 4 种排法,故有
5 4A4 4 =96 种排法; 方法三 :先不考虑排头,则 5 个人排成一排有 A 5 种排法,其中

5 4 甲在排头有 A4 4 种排法, 所以甲不站排头有 A 5 ? A 4 =96 种排法.

1

2

3

4

5

6

(2)方法一:若甲在排尾,其余四人有 A4 4 种排法,若甲排在中间三个位置
1 3 4 中的一个,而乙不在排尾,则有 A1 3 × A 3 × A 3 =54 种排法,共有 A 4 +54=78 种排

法;方法二 :先不考虑排头、 排尾,则五个人排一排有 A5 5 种排法,其中甲在排头
4 3 有A4 4 种排法,乙在排尾有 A 4 种排法,甲在排头且乙在排尾共有 A 3 种排法.故

4 3 共有 A5 5 -2A 4 + A 3 =78 种排法.

1

2

3

4

5

6

(3)将甲、 乙两人看作一个元素,与其他 3 个元素作全排列有 A4 4 种排法,
4 2 然后甲、乙再作全排列有 A2 2 种排法,故有 A 4 A 2 =48 种排法.

(4)方法一 :五个人排成一排有 A5 5 种排法,由(3) 知甲、乙两人相邻的排法
3 有 48 种,故共有 A5 5 -48=72 种排法 ;方法二 :先排甲、乙以外的三个人,则有 A 3

种排法,这三个人之间及两端留出 4 个空位去排甲、乙两人有 A2 4 种排法, 故
2 共有 A3 3 A 4 =72 种排法.

1

2

3

4

5

6

(5)甲、乙两人有 A2 2 种排法,从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间,
3 有A1 3 种,然后再将三人看作一个元素,和其他两个元素作全排列,有 A 3 种排

1 3 法,故共有 A2 2 · A 3 ·A 3 =36 种排法.

(6)五个人全排列有 A5 5 种排法,甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右 边的排法种数各占一半,故共有 A5 5 =60 种排法.
1 2


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