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广东省深圳市罗湖区翠园中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


广东省深圳市罗湖区翠园中学 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)圆(x﹣2) +(y+3) =2 的圆心和半径分别是() A.(﹣2,3) ,1 B.(2,﹣3) ,3 C.(﹣2,3) , 3) , 2. (5 分)空间中,两条直线若没有交点,则这两条直线的位置关系是() A.相交

B.平行 C.异面 面
2 2

D.(2,﹣

D.平行或异

3. (5 分)设集合 A={x| A.{x|x>﹣1} <1 或 x>1}
2 2

},B={x|lgx>0},则 A∪B=() B.{x|﹣1<x<1} C.? D.{x|﹣1<x

4. (5 分)圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的位置关系是() A.相离 B.相交 C.外切 5. (5 分)在同一坐标系中,函数 y=2
﹣x

2

2

D.内切

与 y=log2x 的图象是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正投影,则|OB|等于() A. B. C. D. 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()

A.72π

B.48π

C.30π

D.24π ,那么原△ ABC 是

8. (5 分)水平放置的△ ABC 的直观图如图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 一个()

A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 9. (5 分)关于直线 m,n 与平面 α,β,有以下四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n; ③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; 其中真命题的序号是() A.①② B.③④ C.①④

D.②③

10. (5 分)已知函数 f(x)=|log4x|,正实数 m、n 满足 m<n,且 f(m)=f(n) ,若 f(x) 5 在区间[m ,n]上的最大值为 5,则 m、n 的值分别为() A. 、2 B. 、4 C. 、 D. 、4

二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣3)的定义域为. 12. (5 分)一个球的外切正方体的体积是 8,则这个球的表面积是.

13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是. 14. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0]上是增函数,且 f(﹣2)=0, 则使得 x[f(x)+f(﹣x)]<0 的 x 的取值范围是.

2

2

三、解答题: (本大题共 6 小题.共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知直线 l1:2x﹣ay+1=0,直线 l2:4x+6y﹣7=0. (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1 与 l2 相交,交点纵坐标为正数,求 a 的范围. 16. (12 分)设函数 f(x)=1+ . (1)用定义证明函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)求函数 f(x)在 x∈[2,6]上的值域. 17. (14 分)如图,五面体 EF﹣ABCD 中,ABCD 是以点 H 为中心的正方形,EF∥AB,EH 丄平面 ABCD,AB=2,EF=EH=1. (1)证明:EH∥平面 ADF; (2)证明:平面 ADF 丄平面 ABCD; (3)求五面体 EF﹣ABCD 的体积.

18. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为线段 AD1 上的中点,Q 为线段 PC1 上的中点. (1)求证:DP⊥平面 ABC1D1; (2)求证:CQ∥平面 BDP.

19. (14 分)已知直线 l:

ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A、B 两点(其中 a,b 为实数) ,

2

2

点 Q(0, )是圆内的一定点. (1)若 a= ,b=1,求△ AOB 的面积; (2)若△ AOB 为直角三角形(O 为坐标原点) ,求点 P(a,b)与点 Q 之间距离最大时的直 线 l 方程; (3)若△ AQB 为直角三角形,且∠AQB=90°,试求 AB 中点 M 的轨迹方程. 20. (14 分)已知函数 f(x)=2 和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m 为参数,且满足 m≤5. (1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)=2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1∈[4,+∞) ,存在 x2∈(﹣∞,4],使得 f(x2)=g(x1)成立,求实数 m 的 取值范围.
|m| |x﹣m|

广东省深圳市罗湖区翠园中学 2014-2015 学年高一上学期 期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)圆(x﹣2) +(y+3) =2 的圆心和半径分别是() A.(﹣2,3) ,1 B.(2,﹣3) ,3 C.(﹣2,3) , 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据圆的标准方程,即可写出圆心坐标和半径. 解答: 解:∵圆的标准方程为(x﹣2) +(y+3) =2 ∴圆的圆心坐标和半径长分别是(2,﹣3) , 故选 D. 点评: 本题考查圆的标准方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 2. (5 分)空间中,两条直线若没有交点,则这两条直线的位置关系是() A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间两条直线的位置关系矩形判断. 解答: 解:在空间,两条直线的位置关系有:相交、平行和异面;其中两条直线平行或者 相交可以确定一个平面, 所以空间中,两条直线若没有交点,则这两条直线的位置关系是平行或者异面;
2 2 2 2

D.(2,﹣3) ,

故选:D. 点评: 本题考查了空间两条直线的位置关系;考查学生的空间想象能力.

3. (5 分)设集合 A={x| A.{x|x>﹣1} 1}

},B={x|lgx>0},则 A∪B=() C. ? D.{x|﹣1<x<1 或 x>

B.{x|﹣1<x<1}

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:2 <2 <2,即﹣1<x<1,即 A=(﹣1,1) , 由 lgx>0=lg1,即 x>1,即 B=(1,+∞) , 则 A∪B={x|﹣1<x<1 或 x>1}. 故选 D 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 4. (5 分)圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的位置关系是() A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 求出半径,求出圆心,看两个圆的圆心距与半径的关系即可. 2 2 2 2 解答: 解:圆 O1:x +y ﹣2x=0,即(x﹣1) +y =1,圆心是 O1(1,0) ,半径是 r1=1 2 2 2 2 圆 O2:x +y ﹣4y=0,即 x +(y﹣2) =4,圆心是 O2(0,2) ,半径是 r2=2 ∵|O1O2|= ,故|r1﹣r2|<|O1O2|<|r1+r2| ∴两圆的位置关系是相交. 故选 B 点评: 本题考查圆与圆的位置关系,是基础题. 5. (5 分)在同一坐标系中,函数 y=2
﹣x ﹣1

x

2

2

2

2

与 y=log2x 的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数 y=2 =
﹣x

是减函数,它的图象位于 x 轴上方,y=log2x 是增函数,它的

图象位于 y 轴右侧,能得到正确答案. 解答: 解:∵函数 y=2 =
﹣x

是减函数,它的图象位于 x 轴上方,

y=log2x 是增函数,它的图象位于 y 轴右侧, 观察四个选项,只有 A 符合条件, 故选 A. 点评: 本题考查指数函数和对数函数的性质,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 6. (5 分)点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正投影,则|OB|等于() A. B. C. D. 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 根据点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正投影,得到点 B 与点 A 的纵标 和竖标相同,而横标为 0,写出点 B 的坐标,根据两点之间的距离公式,得到结果. 解答: 解:∵点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正投影, ∴点 B 与点 A 的纵标和竖标相同,而横标为 0, ∴B 的坐标是(0,2,3) ∴|OB|= = ,

故选 B. 点评: 本题考查空间两点之间的距离公式,考查点的正投影,是一个基础题,注意在运算 过程中不要出错,本题若出现是一个送分题目. 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()

A.72π

B.48π

C.30π

D.24π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何.

分析: 由题意,结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体,根据图中的数据即可计 算出组合体的体积选出正确选项 解答: 解:由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是 3,圆锥底面圆的半径 是 3,圆锥母线长为 5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为 4, 则它的体积 V=V 圆锥+V 半球体= =30π

故选 C 点评: 本题考查由三视图求体积,解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的 数据,熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键 8. (5 分)水平放置的△ ABC 的直观图如图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 一个() ,那么原△ ABC 是

A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由图形和 A′O′= 通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边 BC=B'C',

AO⊥BC,且 AO= ,故三角形为正三角形. 解答: 解:由图形知,在原△ ABC 中,AO⊥BC, ∵A′O′= ∴AO= ∵B′O′=C′O′=1∴BC=2 ∴AB=AC=2 ∴△ABC 为正三角形. 故选 A 点评: 本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质,把握好直观图与原图形的关系, 是个基础题. 9. (5 分)关于直线 m,n 与平面 α,β,有以下四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n; ③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n;

其中真命题的序号是() A.①② B.③④

C.①④

D.②③

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理,对四个结论逐一进行分析,易得 到答案. 解答: 解:若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m,n 可能平行也可能异面,也可以相交,故①错 误; 若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m,n 一定垂直,故②正确; 若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m,n 一定垂直,故③正确; 若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m,n 可能相交、平行也可能异面,故④错误 故选 D. 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利用 线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β) .线线垂直可由线面 垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的 重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据 已知条件去思考有关的性质定理; 根据要求证的结论去思考有关的判定定理, 往往需要将分析 与综合的思路结合起来. 10. (5 分)已知函数 f(x)=|log4x|,正实数 m、n 满足 m<n,且 f(m)=f(n) ,若 f(x) 5 在区间[m ,n]上的最大值为 5,则 m、n 的值分别为() A. 、2 B. 、4 C. 、 D. 、4

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可知 0<m<1<n,以及 mn=1,又 f(x)在区间[m ,n]上的最大值为 5,可 5 得出 f(m )=5 求出 m,故可得 m、n 的值. 解答: 解:f(x)=|log4x|,图象如图,
5

正实数 m、n 满足 m<n,且 f(m)=f(n) , ∴0<m<1<n, 再由 f(m)=f(n) ,得|log4m|=|log4n|, 即﹣log4m=log4n,∴log4mn=0,∴mn=1, 5 5 又函数在区间[m ,n]上的最大值为 5,由于 f(m)=f(n) ,f(m )=5f(m) ,

故可得 f(m )=5,即| ∴m、n 的值分别为 、4.

5

|=5,即

=﹣5,即 m =4 ,可得 m= ,∴n=4.

5

﹣5

故选:B. 点评: 本题考查对数函数的值域与最值,求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出 0 <m<1<n,以及 mn=1 及 f(x)在区间[m ,n]上的最大值的位置.根据题设条件灵活判断 对解题很重要.是中档题. 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣3)的定义域为{x|x>3}. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数类型的函数的定义域的求法即可得出. 解答: 解:∵x﹣3>0,∴x>3. ∴函数 f(x)=lg(x﹣3)的定义域为{x|x>3}. 故答案为:{x|x>3}. 点评: 熟练掌握对数函数类型的函数的定义域是解题的关键. 12. (5 分)一个球的外切正方体的体积是 8,则这个球的表面积是 4π. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;球. 分析: 先求出球的直径,再求球的表面积. 解答: 解:∵正方体的体积是 8, ∴正方体的列出为:2, ∵一个球的外切正方体的体积是 8, ∴球的直径是正方体的棱长,即为 2, 2 ∴球的表面积为 4π×1 =4π. 故答案为:4π 点评: 本题考查球的表面积,考查学生的计算能力,确定球的直径是关键. 13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2 2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 分析: 由于圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,由题意可知,只需(x﹣4) +y =1 与直线 y=kx ﹣2 有公共点即可. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0) 为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx﹣2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,

∴只需圆 C′: (x﹣4) +y =1 与直线 y=kx﹣2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx﹣2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ﹣4k≤0,
2

2

2

∴0≤k≤ . ∴k 的最大值是 . 故答案为: . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx﹣2 有公 共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题. 14. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0]上是增函数,且 f(﹣2)=0, 则使得 x[f(x)+f(﹣x)]<0 的 x 的取值范围是(﹣2,0)∪(2,+∞) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化,利用数形结合即可得 到结论. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴x[f(x)+f(﹣x)]<0 等价为 2xf(x)<0, ∵在(﹣∞,0]上是增函数,且 f(﹣2)=0, ∴在(0,+∞]上是减函数,且 f(2)=0,函数 f(x)的简图如图, 则不等式等价为 或 ,
2 2

即 x>2 或 x<﹣2, 故答案为: (﹣2,0)∪(2,+∞)

点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 三、解答题: (本大题共 6 小题.共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知直线 l1:2x﹣ay+1=0,直线 l2:4x+6y﹣7=0. (1)若 l1∥l2,求 a 的值;

(2)若 l1 与 l2 相交,交点纵坐标为正数,求 a 的范围. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)因为 l1∥l2,由 A1B2﹣A2B1=0,能求出 a 的值. (2)联立方程组 ,得 y= ,a≠﹣3,由已知得 2a+6>0,由此能求出 a 的范

围. 解答: 解: (1)因为 l1∥l2,由 A1B2﹣A2B1=0, 得 2×6﹣(﹣a)×4=0, 解得 a=﹣3. (6 分) (2)联立方程组 ,

解得 y=

,a≠﹣3. (8 分)

由已知得 2a+6>0,解得 a>﹣3. (11 分) 即 a 的范围为(﹣3,+∞) . (12 分) 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的位置关系的合 理运用.

16. (12 分)设函数 f(x)=1+ . (1)用定义证明函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)求函数 f(x)在 x∈[2,6]上的值域. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)设 0<x1<x2,然后通过作差判断 f(x1)和 f(x2)的大小关系即可. (2)函数在 x∈[2,6]上也为减函数,即可求函数 f(x)在 x∈[2,6]上的值域. 解答: 解: (1)设 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

∵0<x1<x2 ∴x1x2>0,x2﹣x1>0, ∴f(x1)>f(x2) , ∴函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) (2)由(1)知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴在 x∈[2,6]上也为减函数.﹣﹣﹣﹣(10 分) ∵f(2)= ,f(6)= ,

∴函数 f(x)在 x∈[2,6]上的值域是[ , ].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 此题主要考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题. 17. (14 分)如图,五面体 EF﹣ABCD 中,ABCD 是以点 H 为中心的正方形,EF∥AB,EH 丄平面 ABCD,AB=2,EF=EH=1. (1)证明:EH∥平面 ADF; (2)证明:平面 ADF 丄平面 ABCD; (3)求五面体 EF﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 由已知得 EF∥AB 且 EF= AB, 取 AD 的中点 G, 连结 GH, GF, 证明 FG∥EH, 利用直线与平面平行的判定定理证明 EH∥平面 ADF. (2)证明 FG⊥平面 ABCD,利用直线与平面垂直的判定定理证明平面 ADF⊥平面 ABCD. (2)说明 GH 为该柱体的高,利用 VABCD﹣EF=VADF﹣RTE+VE﹣BCTR 求解即可. 解答: 证明: (1)由已知得 EF∥AB 且 EF= AB 取 AD 的中点 G,连结 GH,GF…..(1 分) 则 GH∥AB 且 GH= AB…(2 分) EF∥GH 且 EF=GH,即 EFGH 为平行四边形 ∴FG∥EH,FG?平面 ADF,EH?平面 ADF ∴EH∥平面 ADF; (2)∵EH⊥平面 ABCD,且 FG∥EH,…(7 分) ∴FG⊥平面 ABCD,且 FG?平面 ADF,…(9 分) ∴平面 ADF⊥平面 ABCD;…. (10 分) (2)解:在面 ABCD 内过 H 作 RT∥AD, 如图,则面 RTE∥面 ADF,ADF﹣RTE 为三棱柱, 由(1)及 HG⊥AD 得 GH 为该柱体的高,…. (12 分) ∴VABCD﹣EF=VADF﹣RTE+VE﹣BCTR =( ×2×1)×1+ ×(2×1)×1= . (不排除其它方法,酌情分布给分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理,几何体的体 积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 18. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为线段 AD1 上的中点,Q 为线段 PC1 上的中点. (1)求证:DP⊥平面 ABC1D1; (2)求证:CQ∥平面 BDP.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用正方体的性质得到 AB⊥平面 AA1D1D,得到 DP⊥AB,又 P 为 AD1 的中 点,所以 DP⊥AD1,由线面垂直的判定定理证明; (2)连 BC1,与 B1C 相交于 H,则 QH∥PB,又 CH∥PD,QH∩CH=H,利用线面平行的判 定定理证明. 解答: 证明(1)因为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB⊥平面 AA1D1D,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2 分) DP?平面 AA1D1D,所以 DP⊥AB,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) 又 P 为 AD1 的中点,所以 DP⊥AD1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) AB∩AD1=A,所以 DP⊥平面 ABC1D1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)证明:连 BC1,与 B1C 相交于 H,则 QH∥PB,又 CH∥PD,QH∩CH=H, 所以平面 QHC∥平面 PBD,所以 CQ∥平面 BDP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题考查了线面垂直和线面平行的性质定理和判定定理的运用;关键是熟练运用定 理. 19. (14 分)已知直线 l: ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A、B 两点(其中 a,b 为实数) ,
2 2

点 Q(0, )是圆内的一定点. (1)若 a= ,b=1,求△ AOB 的面积; (2)若△ AOB 为直角三角形(O 为坐标原点) ,求点 P(a,b)与点 Q 之间距离最大时的直 线 l 方程; (3)若△ AQB 为直角三角形,且∠AQB=90°,试求 AB 中点 M 的轨迹方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离,进一步求得|AB|,然后代入三 角形的面积公式得答案; (2)在直角三角形 AOB 中,求得|AB|,再由点到直线的距离公式得到 a,b 的关系,把|PQ| 用含有 b 的代数式表示,通过配方法求得点 P(a,b)与点 Q 之间距离最大时的 a,b 的值, 则直线 l 的方程可求; (3)设出 M 的坐标,利用圆中的垂径定理列式求得 AB 中点 M 的轨迹方程. 解答: 解: (1)由已知直线方程为 2x+y=1,圆心到直线的距离 , ∴ ; , ,即 2a +b =2, , = 当 时可取最大值,此时 a=0, ∴直线 l 方程为 ; (3)设 M(x,y) ,连 OB,OM,OQ,则由“垂径定理”知: M 是 AB 的中点,则 OM⊥AB,∴|OM| +|MB| =|OB| , 又在直角三角形 AQB 中, ∴|OM| +|QM| =|OB| , 即 ∴M 点的轨迹方程为: , .
2 2 2 2 2 2 2 2



(2)∵△AOB 为直角三角形,∴|AB|= ∴圆心到直线的距离为 ∵2﹣b =2a ≥0,∴
2 2





点评: 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了点到直线的距离公式,训练了平面几何中 垂径定理的应用,考查了计算能力,是中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=2 和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m 为参数,且满足 m≤5. (1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)=2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1∈[4,+∞) ,存在 x2∈(﹣∞,4],使得 f(x2)=g(x1)成立,求实数 m 的 取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由二次函数性质可知函数 g(x)的单调增区间为(﹣∞,1) , (2,+∞) ,单调 减区间为(1,2) ; |m| 2 2 (2)方程 f(x)=2 可化为(x﹣m) =m ,解得 x=0 或 x=2m,根据题意可得 2m=0 或 2m <﹣2,从而可知实数 m 的取值范围; (3)由题意可知 g(x)的值域应是 f(x)的值域的子集.分情况讨论 f(x)和 g(x)的值 域,即可确定实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)m=2 时, ∴函数 g(x)的单调增区间为(﹣∞,1) , (2,+∞) , 单调减区间为(1,2) . |m| (2)由 f(x)=2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解, 得|x﹣m|=|m|在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解. 即(x﹣m) =m ,解得 x=0 或 x=2m, 由题意知 2m=0 或 2m<﹣2, 即 m<﹣1 或 m=0. 综上,m 的取值范围是 m<﹣1 或 m=0. (3)由题意可知 g(x)的值域应是 f(x)的值域的子集. ∵ ①m≤4 时,f(x)在(﹣∞,m)上单调递减,[m,4]上单调递增, ∴f(x)≥f(m)=1. g(x)在[4,+∞)上单调递增, ∴g(x)≥g(4)=8﹣2m, ∴8﹣2m≥1,即 .
2 2 |m| |x﹣m|



②当 4<m≤5 时,f(x)在(﹣∞,4]上单调递减, 故 f(x)≥f(4)=2 ,g(x)在[4,m]上单调递减, [m,+∞)上单调递增, 故 g(x)≥g(m)=2m﹣8 ∴2
m﹣4 m﹣4

≤2m﹣8,

解得 5≤m≤6. 又 4<m≤5, ∴m=5 综上,m 的取值范围是 点评: 本题考查导数在函数单调性中的应用,方程根的存在定理,以及存在性问题的转化, 属于难题.


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