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山东省实验中学2015年高考数学模拟试卷及解析(理科)


2015 年山东省实验中学高考数学模拟试卷(理科) (6 月份)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项符合题意) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩(? UB)=( A. {x|x>1} B. {x|x>0} C. {x|0<x<1} D. {x|x<0} 2.若α,β

∈R,则α+β=90°是 sinα+sinβ>1 的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分又不必要条件 3.复数 z 满足(1﹣2i)z=7+i,则复数 z 的共轭复数 z=( A. 1+3i B. 1﹣3i C. 3+i D. 3﹣i )
x





4.执行如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数 是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.下列四个命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以回到原 来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a、 b,则这两个级部的数学平均分为 ;

④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查, 现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号. 已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则初始在第 1 小组 1~16 中随机抽到的学生编号是 7. 其中真命题的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

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6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< 得到 g(x)=sin 2x 的图象,则只需将 f (x)的图象(

)的部分图象如图所示,为了 )

A. 向右平移 C. 向左平移

个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移

个长度单位 个长度单位

7.已知数列 {an}{bn}满足 a1=b1=1,an+1﹣an= 为( A. ) (4 ﹣1) B.
10

=2,n∈N ,则数列 {b

*

}的前 10 项和

(4 ﹣1) C.

10

(4 ﹣1) D.

9

(4 ﹣1)

9

8.函数 f(x)=(x ﹣2x)e 的图象大致是(

2

x



A.
2

B.
2

C.

D.

9.已知 A,B 是圆 O:x +y =1 上的两个点,P 是 AB 线段上的动点,当△AOB 的面积最大时, 则 ? ﹣ 的最大值是( D. )

A. ﹣1 B. 0 C.

10.已知 a>0,b>0,c>0,且 ab=1,a +b +c =4,则 ab+bc+ac 的最大值为( A. B. C. 3 D. 4

2

2

2



二.填空题(本题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)=|x+2|+|x﹣4|的最小值为 n,则二项式(x﹣ ) 展开式中 x 项的系数 为 .
2 2 2 n 2

12.若双曲线 C:2x ﹣y =m(m>0)与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,且|AB|=4 m 的值是 .
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13.若实数 x,y 满足条件

,则 z=3x﹣4y 的最大值是



14.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为
2



15.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x﹣[lgx]﹣2=0 的实根个数 是 .

三.解答题 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,∠DAB 为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、 F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:AB⊥平面 BEF; (Ⅱ)设 PA=k? AB,且二面角 E﹣BD﹣C 的平面角大于 45°,求 k 的取值范围.

17.一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球,其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5, 4 个白球编号分别为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (Ⅰ)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (Ⅱ)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望. 18.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=2,an+1=Sn+n,等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和 为 Tn,且 T3=9,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 n≥2 时, + +…+ < .

19.如图,椭圆

的离心率为

,x 轴被曲线

截得的线段长等于 C1 的短轴长. C2 与 y 轴的交点为 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A、B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D、E. (1)求 C1、C2 的方程; (2)求证:MA⊥MB.

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(3)记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1、S2,若

,求λ的取值范围.

20.已知函数 f(x)=ax+(1﹣a)lnx+ (a∈R) (I)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)方程 f(x)=0 的根的个数能否达到 3,若能请求出此时 a 的范围,若不能,请说明 理由.

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2015 年山东省实验中学高考数学模拟试卷(理科) (6 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项符合题意) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩(? UB)=( A. {x|x>1} B. {x|x>0} C. {x|0<x<1} D. {x|x<0} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 解指数不等式可以求出集合 A,解对数不等式可以求出集合 B,进而求出? UB,根据 集合并集运算的定义,代入可得答案. 解答: 解:∵A={x|0<2 <1}{x|x<0}, B={x|log3x>0}={x|x>1}, 所以 CUB={x|x≤1}, ∴A∩(CUB)={x|x<0}. 故选 D 点评: 本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算,其中解指数不等式和对数不等式 分别求出集合 A,B,是解答本题的关键. 2.若α,β∈R,则α+β=90°是 sinα+sinβ>1 的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分又不必要条件 )
x x



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 通过举反例说明前者推不出后者,后者推不出前者,根据充要条件的有关定义判断 出结论. 解答: 解:例如α=91°,β=﹣1°,满足“α+β=90°” ,但不满足“sinα+sinβ>1” , 反之,当α=45°,β=46°,满足 sinα+sinβ>1,但不满足α+β=90°. 所以“α+β=90°”是“sinα+sinβ>1”的既不充分也不必要条件 故选 D. 点评: 判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先判断前者成立能否推出后者成立, 后者成立能否推出前者成立,利用充要条件的有关定义进行判断. 3.复数 z 满足(1﹣2i)z=7+i,则复数 z 的共轭复数 z=( A. 1+3i B. 1﹣3i C. 3+i D. 3﹣i )

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 先将 z 利用复数除法的运算法则,化成代数形式,再求其共轭复数.
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解答: 解:∵(1﹣2i)z=7+i,∴z=

=

=

=1+3i.

共轭复数 =1﹣3i. 故选 B. 点评: 本题考查复数除法的运算法则,共轭复数的概念及求解.复数除法的关键是分子分 母同乘以分母的共轭复数,实现分母实数化. 4.执行如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数 是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据已知中的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出分段函数

y=

的函数值,分段讨论满足 y=x 的 x 值,最后综合讨论结果可得答案.

解答: 解:根据已知中的程序框图可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数

y=

的函数值

当 x≤1 时,y=x =x,解得 x=﹣1 或 x=0 或 x=1,这三个 x 值均满足条件; 当 1<x≤3 时,y=3x﹣3=x,解得 x= ,满足条件; 当 x>3 时, =x,解得 x=﹣1 或 x=1,这两个 x 值均不满足条件; 综上所述,满足条件的 x 值的个数是 4 个.
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3

故选 D 点评: 本题考查的知识点是程序框图,分析出程序的功能是解答的关键. 5.下列四个命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以回到原 来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a、 b,则这两个级部的数学平均分为 ;

④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查, 现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号. 已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则初始在第 1 小组 1~16 中随机抽到的学生编号是 7. 其中真命题的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 考点: 收集数据的方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,样本的方差是标准差的平 方,判断①正确; 根据数值为 a 的股票经历 10 个跌停(下跌 10%)后,再经过 10 个涨停(上涨 10%) ,其数值 为 a×(1﹣ ) (1+ )= a,判断②错误;

算出这两个级部的数学平均分可判断③错误; 求出分段间隔为 16,又 503=61×31+7,可得第一个抽取的号码为 007,判断④正确. 解答: 解:对于①,∵样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,样本的方差是 标准差的平方,反映了样本数据的分散程度的大小,∴①正确; 对于②,∵设股票数值为 a,股票经历 10 个跌停(下跌 10%)后,再经过 10 个涨停(上涨 10%) ,其数值为 a×(1﹣ ) (1+ )= a.∴②错误;

对于③,∵高三一级部和二级部的总分分别为:ma 和 nb,总人数为 m+n,这两个级部的数 学平均分为 ,∴③错误; =16,又从

对于④,∵用系统抽样方法,从全体 800 名学生中抽 50 名学生的分段间隔为

497~513 这 16 个数中取得的学生编号是 503, 503=16×31+7,∴在第 1 小组 1~l6 中随机抽到的学生编号是 007 号,∴④正确 故选 C. 点评: 本题考查了系统抽样方法,样本的方差的含义及在回归分析模型中残差平方和的含 义,考查了学生分析问题的能力,熟练掌握概率统计基础知识是解答本题的关键.

6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< 得到 g(x)=sin 2x 的图象,则只需将 f (x)的图象(
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)的部分图象如图所示,为了 )

A. 向右平移 C. 向左平移

个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移

个长度单位 个长度单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的最值求出 A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数 f(x) 的解析式,再利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< = ? = ﹣ ,求得ω=2. +φ=π,∴φ= ,f(x)=sin(2x+ ) . )+ ]=g )的部分图象可得 A=1,

再根据五点法作图可得 2× 故把 f(x)=sin(2x+

)的图象向右平移

个长度单位,可得 y=sin[2(x﹣

(x)的图象, 故选:A. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,y=Asin(ωx+φ)的 图象变换规律,属于基础题.

7.已知数列 {an}{bn}满足 a1=b1=1,an+1﹣an= 为( A. ) (4 ﹣1) B.
10

=2,n∈N ,则数列 {b

*

}的前 10 项和

(4 ﹣1) C.

10

(4 ﹣1) D.

9

(4 ﹣1)

9

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公式, 进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列,再利用等比数列前 n 项和的 公式计算出答案即可. 解答: 解:由 an+1﹣an= =2,

所以数列{an}是等差数列,且公差是 2,{bn}是等比数列,且公比是 2.
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又因为 a1=1,所以 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1. 所以 b 设 cn=b =b2n﹣1=b1? 2
2n﹣2

=2

2n﹣2



,所以 cn=2

2n﹣2



所以

=4,所以数列{cn}是等比数列,且公比为 4,首项为 1.

由等比数列的前 n 项和的公式得: 其前 10 项的和为 = (4 ﹣1) .
10

故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义,以及它们的通项公式 与前 n 项和的表示式. 8.函数 f(x)=(x ﹣2x)e 的图象大致是(
2 x



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 用函数图象的取值,函数的零点,以及利用导数判断函数的图象. 解答: 解:由 f(x)=0,解得 x ﹣2x=0,即 x=0 或 x=2, ∴函数 f(x)有两个零点,∴A,C 不正确. ∴f'(x)=(x ﹣2)e , 2 x 由 f'(x)=(x ﹣2)e >0,解得 x> 或 x<﹣ . 2 x 由 f'(x)=(x ﹣2)e <0,解得,﹣ <x< 即 x=﹣ 是函数的一个极大值点, ∴D 不成立,排除 D. 故选:B 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,充分利用函数的性质,本题使用特殊值法是 判断的关键,本题的难度比较大,综合性较强. 9.已知 A,B 是圆 O:x +y =1 上的两个点,P 是 AB 线段上的动点,当△AOB 的面积最大时, 则 ? ﹣ 的最大值是( D. )
2 2 2 x 2

A. ﹣1 B. 0 C.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.
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分析: 由题意知当∠AOB= 坐标,可得 ? ﹣

时,S 取最大值 ,此时



,建立坐标系可得 A、B、P 的

为关于 x 的二次函数,由二次函数的最值可得. || |sin∠AOB

解答: 解:由题意知:△AOB 的面积 S= | = ×1×1×sin∠AOB= sin∠AOB, 当∠AOB= 时,S 取最大值 ,此时 ⊥



如图所示,不妨取 A(1,0) ,B(0,1) ,设 P(x,1﹣x) ∴ ? ﹣ = ?( ﹣ )=

=(x﹣1,1﹣x) ? (﹣x,x﹣1) =﹣x(x﹣1)+(1﹣x) (x﹣1) =(x﹣1) (1﹣2x)=﹣2x +3x﹣1,x∈[0,1] 当 x= 故选:C = 时,上式取最大值
2

点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,涉及三角形的面积公式和二次函数的最值,属 中档题. 10.已知 a>0,b>0,c>0,且 ab=1,a +b +c =4,则 ab+bc+ac 的最大值为( A. B. C. 3 D. 4 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由基本不等式 a +b =4﹣c ≥2ab=2 可求 c 的范围,运用二次函数的值域求法,从而 可求 ab+ac+bc 的最大值. 解答: 解:∵a +b +c =4,ab=1 2 2 2 ∴a +b =4﹣c ≥2ab=2 当且仅当 a=b=1 时取等号 2 ∴c ≤2 ∵c>0
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2 2 2 2 2 2 2 2 2



∴0 , 2 2 2 2 2 a +b +c =4,可得(a+b) +c =6, 则 ab+bc+ac=1+(a+b)c=1+c =1+ 当 c= 时,

取得最大值 1+2 , ∴ab+ac+bc 的最大值为 1+2 故选 A. 点评: 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用,注意由已知分离出 c 是求解的关 键 二.填空题(本题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)=|x+2|+|x﹣4|的最小值为 n,则二项式(x﹣ ) 展开式中 x 项的系数为 15 . 考点: 二项式系数的性质;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 由绝对值的意义求得 n=6,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 2,求出 r 的值, 即可求得 x 项的系数. 解答: 解: 由于 f (x) =|x+2|+|x﹣4|表示数轴上的 x 对应点到﹣2 和 4 对应点的距离之和, 它的最小值为 6,故 n=6. 二项式(x﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=
n n 2 n 2

? x

6﹣r

? (﹣1) ? x =(﹣1) ?
r ﹣r r 2

? x

6﹣2r



令 6﹣2r=2,解得 r=2,故二项式(x﹣ ) 展开式中 x 项的系数为

=15,

故答案为 15. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属 于中档题. 12.若双曲线 C:2x ﹣y =m(m>0)与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,且|AB|=4 m 的值是 20 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出 y =16x 的准线 l: x=﹣4, 由 C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A, B 两点, 且|AB|=4 即可求出 m 的值. 解答: 解:y =16x 的准线 l:x=﹣4, 2 ∵C 与抛物线 y =16x 的准线 l:x=﹣4 交于 A,B 两点,|AB|=4 ∴A(﹣4,2 ) ,B(﹣4,﹣2 ) , 2 2 将 A 点坐标代入双曲线方程得 2(﹣4) ﹣(2 ) =m, ∴m=20,
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2 2 2 2 2 2







故答案为:20. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,考查学生的计算能力,属于中档题.

13.若实数 x,y 满足条件

,则 z=3x﹣4y 的最大值是 ﹣1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,求出最大值. 解:不等式组对应的平面区域如图: , ,则由图象可知当直线 y= ,当经过点 A 时,直线的截距最小,

由 z=3x﹣4y 得 y= 平移直线 y= 此时 z 最大. 由 ,解得

,即 A(1,1) ,

此时最大值 z=3×1﹣4×1=﹣1, 故答案为:﹣1

点评: 本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关 键. 14.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 8:27 . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设球半径为 R,其内接圆锥的底半径为 r,高为 h,作轴截面,则 r =h(2R﹣h) ,求 出球的内接圆锥的最大体积,即可求得结论. 解答: 解:设球半径为 R,其内接圆锥的底半径为 r,高为 h,作轴截面,则 r =h(2R﹣h) .
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2 2

V 锥= πr h= ∵V 球= πR
3

2

h (2R﹣h)=

2

h? h(4R﹣2h)≤

=

?

πR .

3

∴球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 8:27. 故答案为 8:27.

点评: 本题考查球的内接圆锥的最大体积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 15.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x﹣[lgx]﹣2=0 的实根个数是 3 个 . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先进行换元,令 lgx=t,则得 t ﹣2=[t],作 y=t ﹣2 与 y=[t]的图象可得解的个数. 2 解答: 解:令 lgx=t,则得 t ﹣2=[t]. 2 作 y=t ﹣2 与 y=[t]的图象,知 t=﹣1,t=2,及 1<t<2 内有一解. 当 1<t<2 时,[t]=1,t= . 故得:x= ,x=100,x= ,即共有 3 个实根
2 2 2

故答案为:3

点评: 本题主要考查了根的个数的判定,以及图象法的运用,同时考查了分析问题的能力, 属于中档题. 三.解答题 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,∠DAB 为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、 F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:AB⊥平面 BEF; (Ⅱ)设 PA=k? AB,且二面角 E﹣BD﹣C 的平面角大于 45°,求 k 的取值范围.

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考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)欲证 AB⊥平面 BEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AB 与平面 BEF 内两相交直线垂直,而 AB⊥BF. 根据面面垂直的性质可知 AB⊥EF,满足定理所需条件; (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB、AD、AP 为 OX、OY、OZ 正向建立空间直角坐标系,设 AB 的长为 1,求出平面 CDB 的法向量和平面 EDB 的法向量,然后利用向量的夹角公式建立关系,解之 即可. 解答: 解: (Ⅰ)证:由已知 DF∥AB 且∠DAB 为直角, 故 ABFD 是矩形,从而 AB⊥BF. 又 PA⊥底面 ABCD, 所以平面 PAD⊥平面 ABCD, 因为 AB⊥AD,故 AB⊥平面 PAD, 所以 AB⊥PD, 在△PDC 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点,EF∥PD,所以 AB⊥EF. 由此得 AB⊥平面 BEF. (6 分) (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB、AD、AP 为 OX、OY、OZ 正向建立空间直角坐标系, 设 AB 的长为 1,则 =(﹣1,2,0) , =(0,1 ) ,平面 EDB 的法向量为 ,

设平面 CDB 的法向量为





,取 y=1,可得

设二面角 E﹣BD﹣C 的大小为θ,

则 cosθ=|cos<m1,m2>|═

化简得

,则

. (12 分)

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点评: 本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间 想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力. 17.一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球,其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5, 4 个白球编号分别为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (Ⅰ)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (Ⅱ)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (I)设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A,先求出其对立事件“取出的 3 个 球恰有两个编号相同”的概率.由古典概型公式,计算可得答案. (II)X 的取值为 1,2,3,4,分别求出 P(X=1) ,P(X=3) ,P(X=4)的值,由此能求出 X 的分布列和 X 的数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A,设“取出的 3 个球恰有两个 编号相同”为事件 B, 则 P(B)= = = ,

∴P(A)=1﹣P(B)= . 答:取出的 3 个球编号都不相同的概率为 . (Ⅱ)X 的取值为 1,2,3,4.

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



P(X=3)=

=



P(X=4)=

=



所以 X 的分布列为:
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X 1 2 3 4 P X 的数学期望 EX=1× +2× +3× +4× = .

点评: 本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与 方差,属于基础题. 18.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=2,an+1=Sn+n,等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和 为 Tn,且 T3=9,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 n≥2 时, + +…+ < .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 an+1=Sn+n,得 an=Sn﹣1+(n﹣1) (n≥2) ,两式相减,结合等比数列的定义 和通项,即可得到{an}的通项;再由等比数列的性质,求得等差数列{bn}的首项和公差,即 可得到所求通项; (Ⅱ) = < = = ( ﹣ ) ,再由裂项相

消求和,结合不等式的性质,即可得证. 解答: 解: (Ⅰ)由 an+1=Sn+n,得 an=Sn﹣1+(n﹣1) (n≥2) ,两式相减得 an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1+1=an+1,所以 an+1=2an+1, 所以 an+1+1=2(an+1) (n≥2) , n﹣2 n﹣1 又 a2=3 所以 an+1=2 (a2+1) ,从而 an=2 (n≥2) , 而 a1=2,不符合上式,所以 an= ;

因为{bn}为等差数列,且前三项的和 T3=9,所以 b2=3, 可设 b1=3﹣d,b3=3+d,由于 a1=2,a2=3,a3=7, 于是 a1+b1=5﹣d,a2+b2=6,a3+b3=10﹣d, 因为 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. 所以(5﹣d) (10+d)=36,d=2 或 d=﹣7(舍) , 所以 bn=b1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (Ⅱ)证明:因为 = < = = ( ﹣ )

所以,当 n≥2 时,

+

+…+

=

+

+…+

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<1+ [(1﹣ )+(

)+…+(

﹣ )]

=1+ (1﹣ )<1+ < . 则有当 n≥2 时, + +…+ < .

点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查不等式的放缩法 和裂项相消求和的运用,考查运算能力,属于中档题.

19.如图,椭圆

的离心率为

,x 轴被曲线

截得的线段长等于 C1 的短轴长. C2 与 y 轴的交点为 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A、B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D、E. (1)求 C1、C2 的方程; (2)求证:MA⊥MB. (3)记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1、S2,若 ,求λ的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据抛物线 C2 被 x 轴截得弦长,建立关于 b 的等式,解出 b=1;再由椭圆离心 率为 ,建立 a、c 的关系式,算出 a =2,由此即可得到椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程;
2 2

(2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,且直线 AB 方程为 y=kx,与抛物线方程水运 y,得 x ﹣kx ﹣1=0.利用根与系数的关系,结合向量的坐标运算,化简得 =0,从而得到 MA⊥MB;

(3)设直线 MA 方程为 y=k1x﹣1,直线 MB 方程为 y=k2x﹣1,且满足 k1k2=﹣1.由直线 MA 方 程与抛物线 C2 方程联解,得到点 A 的坐标为 ,同理可得

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,从而得到

=

.然后用类似的方法得



=

,从而得到

关于 k1、k2 的

表达式,化成关于 k1 的表达式再用基本不等式即可求出 范围. 解答: 解: (1)椭圆 C1 的离心率 e= 又∵x 轴被曲线 ∴
2

,由此即可得到λ的取值

,∴a =2b (1 分)

2

2

截得的线段长等于 C1 的短轴长.

,得 b=1,a =2,可得椭圆 C1 的方程为
2

而抛物线 C2 的方程为 y=x ﹣1; (3 分) (2)设直线 AB 方程为 y=kx,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则由 消去 y,得 x ﹣kx﹣1=0(4 分)
2 2 2 2

∴x1+x2=k,x1x2=﹣1,可得 y1+y2=k(x1+x2)=k ,y1y2=kx1? kx2=k x1x2=﹣k ∵M 坐标为(0, ﹣1) ,可得 ∴ 因此, ,即 MA⊥MB(7 分) , =x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k +k +1=0
2 2

(3)设直线 MA 方程为 y=k1x﹣1,直线 MB 方程为 y=k2x﹣1,且满足 k1k2=﹣1 ∴ ,解得 ,同理可得

因此,

=

(10 分)

再由

,解得



同理可得

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=

(13 分)

,即λ=

的取值范围为[

,+∞)

(15 分) 点评: 本题给出椭圆与抛物线满足的条件,求它们的方程并依此讨论直线截曲线形成三角 形的面积之比的取值范围,着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质,直线与圆 锥曲线的位置关系等知识点,属于中档题.

20.已知函数 f(x)=ax+(1﹣a)lnx+ (a∈R) (I)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)方程 f(x)=0 的根的个数能否达到 3,若能请求出此时 a 的范围,若不能,请说明 理由. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)代入 a 的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值. (Ⅱ)直接对 f(x)求导,根据 a 的不同取值,讨论 f(x)的单调区间. (Ⅲ)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论 f(x)的零点个数. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)其定义域为(0,+∞) .…(1 分) 当 a=0 时,f(x)= ,f'(x)= .

令 f'(x)=0,解得 x=1, 当 0<x<1 时,f'(x)<0;当 x>1 时,f'(x)>0. 所以 f(x)的单调递减区间是(0,1) ,单调递增区间是(1,+∞) ; 所以 x=1 时,f(x)有极小值为 f(1)=1,无极大值 …(3 分) (Ⅱ) f'(x)=a﹣ (4 分) 令 f'(x)=0,得 x=1 或 x=﹣ 当﹣1<a<0 时,1<﹣ ,令 f'(x)<0,得 0<x<1 或 x>﹣ , (x>0)…

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令 f'(x)>0,得 1<x<﹣ ;

当 a=﹣1 时,f'(x)=﹣



当 a<﹣1 时,0<﹣ <1,令 f'(x)<0,得 0<x<﹣ 或 x>1, 令 f'(x)>0,得﹣ <a<1; 综上所述: 当﹣1<a<0 时,f(x)的单调递减区间是(0,1) , (﹣ 单调递增区间是(1,﹣ ) ; 当 a=﹣1 时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞) ; 当 a<﹣1 时, f (x) 的单调递减区间是 (0, ﹣ ) , (1, +∞) , 单调递增区间是 …(10 分) (Ⅲ)a≥0∴ f'(x)=0(x>0)仅有 1 解,方程 f(x)=0 至多有两个不同的解. (注:也可用 fmin(x)=f(1)=a+1>0 说明. ) 由(Ⅱ)知﹣1<a<0 时,极小值 f(1)a+1>0,方程 f(x)=0 至多在区间(﹣ 上有 1 个解. a=﹣1 时 f(x)单调,方程 f(x)=0 至多有 1 个解. ; a<﹣1 时, ,方程 ) ) ,

f(x)=0 仅在区间内(0,﹣ )有 1 个解; 故方程 f(x)=0 的根的个数不能达到 3.…(14 分) 点评: 本题主要考查利用导数求函数极值和单调区间的方法,考查考生化归思想的应用能 力,属于中档题.

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