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第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义






2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

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预习课本 P103~105,思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?

(2)向量 b 在 a 方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是 什么?

(3)向量数量积的性质有哪些?

(4)向量数量积的运算律有哪些?

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[新知初探]
1.向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积: 已知条件 定义 记法 向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ a 与 b 的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ

a· b=|a||b|cos θ ______________

(2)零向量与任一向量的数量积: 规定:零向量与任一向量的数量积均为 0.
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[点睛]

(1)两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,

它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹 角的余弦值来决定. (2)两个向量的数量积记作 a · b, 千万不能写成 a×b 的形式.

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2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.

[点睛]

(1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ(θ 是 a 与 b 的夹

a· b 角),也可以写成 . |a| (2)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负, 也可为零.
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3.向量数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, θ 为 a 与 b 的夹角.

b=0 . (1)a⊥b? a·
(2)当 a 与 b 同向时,a· b= |a||b| , 当 a 与 b 反向时,a· b= -|a||b| .
2 | a | (3)a· a= 或|a|= a· a= a2. a· b (4)cos θ= |a||b| . (5)|a· b| ≤ |a||b|.

[点睛]

对于性质(1),可以用来解决有关垂直的问题,即若

要证明某两个向量垂直,只需判定它们的数量积为 0;若两个非 零向量的数量积为 0,则它们互相垂直.
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4.向量数量积的运算律

a (交换律). (1)a· b= b·

b)=a· (λb)(结合律). (2)(λa)· b= λ(a·
c+b· c (分配律). (3)(a+b)· c= a·
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律:若 a,b,c 均为

非零向量,且 a· c=b· c,但得不到 a=b. (2)(a· b)· c≠a· (b· c),因为 a· b,b· c 是数量积,是实数,不 是向量,所以(a· b)· c 与向量 c 共线,a· (b· c)与向量 a 共线,因 此,(a· b)· c=a· (b· c)在一般情况下不成立.
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[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量. (2)若 a· b=b· c,则一定有 a=c. (3)若 a,b 反向,则 a· b=-|a||b|. (4)若 a· b=0,则 a⊥b. ( ×) ( ×) ( √ ) ( × )

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1 2.若|a|=2,|b|= ,a 与 b 的夹角为 60°,则 a· b= ( 2 A.2 C.1 答案:B 1 B. 2 1 D. 4

)

?1 ? ? b?=-36,则 3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)· ?5 ?

a 与 b 的夹角 ( )

为 A.60° C.135° 答案:B
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B.120° D.150°
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4.已知 a,b 的夹角为 θ,|a|=2,|b|=3. (1)若 θ=135°,则 a· b=________; (2)若 a∥b,则 a· b=________; (3)若 a⊥b,则 a· b=________.

答案:(1)-3 2

(2)6 或-6

(3)0

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向量数量积的运算
[典例] (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, 且|a|=4, |b| ②(a+b)· (a-2b).

=2,求:①a· b;

??? ? (2)如图, 正三角形 ABC 的边长为 2, AB =

??? ? ??? ? c, BC =a, CA=b,求 a· b+b· c+ c· a.

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[ 解] =-4.

(1)①由已知得 a· b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°

②(a+b)· (a-2b)=a2-a· b-2b2=16-(-4)-2×4=12. (2)∵|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b,b 与 c,c 与 a 的夹角均 为 120°, ∴a· b+b· c+c· a= 2× 2×cos 120°×3=-3.

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向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向 量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混 合运算类似于多项式的乘法运算.

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[活学活用] 已知|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,求: (1)a· b;(2)a2-b2; (3)(2a-b)· (a+3b).
? 1? 120°=3×4×?-2?=-6. ? ?

解:(1)a· b=|a||b|cos

(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7. (3)(2a-b)· (a+3b)=2a2+5a· b-3b2 =2|a|2+5|a||b|· cos 120°-3|b|2 =2×3
2

? 1? +5×3×4×?-2?-3×42=-60. ? ?

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与向量的模有关的问题

[典例]

(1)(浙江高考)已知 e1, e2 是平面单位向量, 且 e1· e2

1 = .若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b|=________. 2 (2)已知向量 a, b 的夹角为 45°, 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________.

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(1)令 e1 与 e2 的夹角为 θ, 1 ∴ e1 · e2=|e1|· |e2|cos θ=cos θ= . 2 又 0°≤θ≤180°,∴θ=60°. ∵b· (e1-e2)=0, ∴b 与 e1,e2 的夹角均为 30°, ∴b· e1=|b||e1|cos 30°=1, 1 2 3 从而|b|= = . 3 cos 30° (2)∵a,b 的夹角为 45°,|a|=1, 2 ∴a· b=|a||b|cos 45°= |b|, 2 2 2 |2a-b| =4-4× |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2 2 3 [答案] (1) (2)3 2 3 [解析]
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求向量的模的常见思路及方法 (1) 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联 系,并灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a· a=a2=|a|2 或|a|= a2, 可以实现实数运算与向量运 算的相互转化.

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[活学活用] 已知向量 a,b 满足|a|=|b|=5,且 a 与 b 的夹角为 60°,求|a +b|,|a-b|,|2a+b|. 解:∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b) =|a|2+|b|2+2a· b=25+25+2|a||b|cos 60° 1 =50+2×5×5× =75, 2 ∴|a+b|=5 3. ∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b) =|a|2+|b|2-2a· b =|a|2+|b|2-2|a||b|cos 60°=25, ∴|a-b|=5. ∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b) =4|a|2+|b|2+4a· b =4|a|2+|b|2+4|a||b|cos 60°=175, ∴|2a+b|=5 7.
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两个向量的夹角和垂直
题点一:求两向量的夹角 1.(重庆高考)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b), 则 a 与 b 的夹角为 ( ) π π A. B. 3 2 2π 5π C. D. 3 6 解析:选 C ∵a⊥(2a+b),∴a· (2a+b)=0, ∴2|a|2+a· b=0, 即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0. ∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0, 1 2π ∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉= . 2 3
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题点二:证明两向量垂直 2.已知向量 a,b 不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b) ⊥(a-b).

证明:∵|2a+b|=|a+2b|, ∴(2a+b)2=(a+2b)2. 即 4a2+4a· b+b2=a2+4a· b+4b2, ∴a2=b2. ∴(a+b)· (a-b)=a2-b2=0. 又 a 与 b 不共线, a+b≠0, a-b≠0, ∴(a+b)⊥(a-b).
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题点三:利用夹角和垂直求参数 3. 已知 a⊥b, |a|=2, |b|=3 且向量 3a+2b 与 ka-b 互相垂直, 则 k 的值为 3 3 A.- B. 2 2 3 C.± D.1 2 解析:选 B ∵3a+2b 与 ka-b 互相垂直,
∴(3a+2b)· (ka-b)=0, ∴3ka2+(2k-3)a· b-2b2=0. ∵a⊥b,∴a· b=0, 又|a|=2,|b|=3, 3 ∴12k-18=0,k= . 2
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(

)

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求向量 a 与 b 夹角的思路 (1)求向量夹角的关键是计算 a· b 及|a||b|,在此基础上 结合数量积的定义或性质计算 cos θ= [0,π],求出 θ 的值. (2)在个别含有|a|,|b|与 a· b 的等量关系式中,常利用 消元思想计算 cos θ 的值. a· b ,最后借助 θ∈ |a||b|

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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十二)”

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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

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§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

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