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高一数学必修一课件--1.3.1《函数单调性的概念》课件


1.3.1

单调性与最大(小)值

第一课时

函数单调性的概念

问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得 到了以下一些数据:
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后

忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)

以上数据表明,记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.

y
100 80

60 40
20

o

1

2

3

t

思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势?通过这个 60 试验,你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?

1

2

3

t

知识探究(一)

考察下列两个函数:

(1)

f ( x) ? x ; (2) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

y

y

o

x o x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的 变化情况如何?

思考3:如图为函数 f ( x) 在定义域 I内某个区间D上的图象,对于该 区间上任意两个自变量x1和x2, f 当 x1 ? x2时, ( x1 )与 f ( x2 ) 的大小 关系如何?

y

y ? f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )

o

x1

x2

x

思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数f ( x) 在区间D上是增函数”?
f (x)

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是增函数.

知识探究(二)

考察下列两个函数:

(1)

f ( x) ? ? x ; (2) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

y
f ( x1 ) f ( x2 ) y ? f ( x)

y

o

x

o

x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征?

思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数,那么怎样定 义“函数 f ( x) 在区间D上是减 函数”?
f (x)

y

y ? f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x

o

x1

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.

f ( x1 ) ? f ( x2 )

思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 ? x2 时,都有
,则函数 f ( x)在区间D上是增函数还是

减函数?

思考4:如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数,则称函数 f ( x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间D叫做函数 f ( x) 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗? 2 函数 f ( x) ? ( x ?1) 的单调区间如何?

理论迁移

例1 如图是定义在闭区间 [-5,6]上的函数y ? f ( x) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x)的单调区间,以 及在每一单调区间上, 函数 y ? f ( x)是增函数还 是减函数.

y

-3 -5 o 1 3 6

x

k 例2 物理学中的玻意耳定律 P ? (k为正常数) V

告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.

上的单调性.

x ?1 例3 试确定函数 f ( x ) ? 在区间 (0, ??) x

小结

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤:
1.取数:任取x1,x2∈D,且x1<x2; 2.作差:f(x1)-f(x2); 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)-f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.