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北京市昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷(理 科)


昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(理科)2014.1
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

考生须知:
1. 2. 3. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 答题卡上第 I

卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图 时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题 区域作答的均不得分。 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损。 不得在答题卡上做任何标记。 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

4. 5.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.)
(1)已知全集 U ? R ,集合 A ? {?1,0,1} , B ? {x x ? 2 x ? 0} ,则 A I ? UB ?
2

(A) {?1,0} (B) {?1, 0, 2} (C) {0} (D) {?1,1}

(2)“ cos ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的 2 3
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(3)给定函数① y ? 2 x ? 1 ,② y ? log 1 x ,③ y ? x ,④ y ? ( ) x ,其中在区间 (0,1) 上单调递增的函数的序号
2

1 2

1 2

是 (A)② ③ (B)① ③(C)① ④ (D)② ④w

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

开始

S ?0
k ?0
S?


2 3

是 输出 k 结束

k ? k ?1
1 S?S? k (k ? 1)

? x ? y ? 1 ? 0, ? (5)若实数 x, y 满足 ? x ? 2, 则 z ? y ? x 的最小值是 ? y ? 3, ?
(A) 1 (B) 5 (C) ?3 (D) ?5

(6)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2
1 2 主视图 1 左视图

2 3 1 (D) 3
(C)

俯视图

(7)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1 , ? 2) 的夹角为 ? ,则 ? 为锐角的 概率是 (A)

1 2 5 7 (B) (C) (D) 6 9 36 36

2 ? x ? 0, ? x ? 1, (8)已知函数 f ( x) ? ? 在点 (1, 2) 处的切线与 f ( x) 的图象有三个公共点,则 a 的取 2 ? x ? 4 x ? a , ? 4 ? x ? 0 ? ?

值范围是 (A) [?8, ?4 ? 2 5) (B) (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5)

(C) (?4 ? 2 5,?8]

(D) (?4 ? 2 5,?? 8]

第二卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 3 (9)已知 ? 是第二象限的角, sin ? ? ,则 tan ? 的值为___________ . 5
uur

(10)如图,在复平面内,复数 z 对应的向量为 OA ,则复数 z ? i =_______ .

(11)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a4 ? a6 ? 1 ,则 a4 ? _____ , S 7 ? _____.

(12)曲线 x ? 1, x ? 2, y ?

1 , y ? 0 所围成的图形的面积等于___________ . x

(13)在 ?ABC 中, AB ? 4, BC ? 5, BA ? AC ? 2 ,则 AC ? ________ .

uur uuu r

(14) 将含有 3n 个 正整数 的集合 M 分成元 素个数相等 且两两没 有公共元 素的 三个集合 A 、B、C , 其 中 若A 、B、C 中的元素满足条件: A = {a1 , a2 ,L , an } , B = {b1 , b2 ,L , bn } , C = {c1 , c2 ,L , cn } , c1 < c2 < L < cn ,

ak + bk = ck , (k = 1,2,3,?, n) ,则称 M 为“完并集合”.
①若 M = {1, x,3,4,5,6} 为“完并集合”,则 x 的一个可能值为.(写出一个即可) ②对于“完并集合” M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中,其元素乘积最小的集合 是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

5? ? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 12 6

(16)(本小题满分 13 分) 为了调研某校高一新生的身高(单位:厘米)数据,按 10% 的比例对 700 名高一新生按性别分别进行“身 高”抽样检查,测得“身高”的频数分布表如下表 1、表 2. 表 1:男生“身高”频数分布表 身高 频数

[160,165)
2

[165,170)
5

[170,175)
14

[175,180)
13

[180,185)
4

[185,190)
2

表 2:女生“身高”频数分布表 身高 频数

[150,155)
1

[155,160)
7

[160,165)
12

[165,170)
6

[170,175)
3

[175,180)
1

(Ⅰ)求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图; (Ⅱ)估计该校学生“身高”在 [165,180) 之间的概率; (Ⅲ)从样本中“身高”在 [180,190) 的男生中任选 2 人, 之间的概率.
0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010 0

求至少有1 人“身高”在 [185,190)
频率/组距

160 165 170 175 180 185 190

身高

(17)(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,

P

PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC, ?BCD ? 90? .

D A B

C

(Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC ?说明理由. (18)(本小题满分 13 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A( a, 0 ) ( a?

0, )圆 C 的 圆 心 在 直 线 y ? ?4 x 上 , 并 且 与 直 线

l : x? y ? 1 ? 0相切于点 P(3, ?2) .
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 M 满足 MA ? 2 MO ,求点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a ,使得 CM 的取值范围是 [1,9] ,说明理由.

(19)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(2 ? m) x . x2 ? m 1 2 1 2

(Ⅰ)当 m ? 1时,求曲线 f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

(20)(本小题满分 14 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , a3 , L , an 为 n(n ? 2,3, 4,L ) 阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 0 ,② a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 1 . (Ⅰ)若等比数列 {an } 为 2k (k ? N*) 阶“期待数列”,求公比 q ; (Ⅱ)若一个等差数列 {an } 既是 2k (k ? N*) 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3, L , n) . (1)求证: S k ?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si }(i ? 1, 2,3, L , n) 能否为 n 阶“期待数列”?若能,求 2

(2)若存在 m ?{1, 2,3,L , n} ,使 Sm ?

出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项。
题号 答案 (1) (2) (3) A B B (4) C (5) (6) (7) C A B (8) D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 3 (9) ? (10) 1 ? 2i 4 (11) 1 ; 7 (12) ln 2
(13) 5 ; (14) 7 ( 9或11 ) (写出一个即可) ; {6,10,11,12} (第一空 2 分,第二空 3 分)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 2sin(2 x ? ) , 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)因为 x ? [? 所以 2 x ?

?

? [?? , ] . 6 6 ? 1 所以 sin(2 x ? ) ? [?1, ] . 6 2
所以 2sin(2 x ?

?

5? ? , ] 12 6

2? ?? . 2

???7 分

?

?

6

) ? [?2,1] .
???13 分

所以函数 f ( x) 的取值范围为 [?2,1] .

(16)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为样本中男生人数是 40 ,由抽样比例是 10% 可得高一的男生人数是 400 .男生的频率分布直方图 如图所示.

频率 /组距 0.070 0.065 0.060 0.050 0.040 0.030 0.025 0.020 0.010 0

???4



(Ⅱ) 之间”.

160 165 170 175 180 185 190

身高

设 A 为事件 “该校学生 “身高” 在1 [ 6 1 5 , 8 0 )

由表 1 和表 2 知,样本中“身高”在 [165,180) 中人数是

5 ? 14 ? 13 ? 6 ? 3 ? 1 ? 42 ,样本的容量是 70 ,
所以样本中学生“身高”在 [165,180) 之间的频率是 f ? 由

42 3 ? . 70 5 3 估计学生“身高”在 [165,180) 之间的概率是 P( A) ? .???8 分 5
的男生中任选 2 人,至少有1 人“身高”在 [ 185,190) 之

(Ⅲ)设 B 为事件“从样本中“身高”在 [ 180,190) 间”.

样本中“身高”在 [180,185) 之间的有 4 人,设其编号是 A1 , A2 , A3 , A4 ; 样本中“身高”在 [185,190) 间的男生有 2 人,设其编号为 a1 , a2 . 从中任取 2 人的结果总数是

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1a1 , A1a2 , A2 A3 , A2 A4 , A2 a1 , A2 a2 , A3 A4 , A3a1 , A3a2 , A4 a1 , A4 a2 , a1a2 .
共 15 种. 至少有 1人“身高”在 [185,190) 间的有 9 种, 因此,所求概率是 P( B) ?

9 3 ? .???13 分 15 5

【用排列组合公式计算可酌情给分】

(17)(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)在四棱锥 P ? ABCD 中, 因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PD ? BC . 因为 ?BCD ? 90? , 所以 BC ? CD . 因为 PD ? DC ? D , 所以 BC ? 平面 PCD . 因为 PC ? 平面 PCD , 所以 BC ? PC . (Ⅱ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 不妨设 AD ? 1 ,则 PD ? CD ? BC ? 2 . 则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2) . 所以 PA ? (1, 0, ?2) , PB ? (2, 2, ?2), PC ? (0, 2, ?2) . ???4 分

uur

uur

uuu r

z
设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) .

P

uur ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PB ? 0, 所以 ? uuu .即 ? . r 2 y ? 2z ? 0 ? n ? PC ? 0 ? ?
令 y ? 1,则 x ? 0, z ? 1 . 所以 n ? (0,1,1) 所以 cos ? PA, n ??

F E D A C B y

uur

?2 10 ?? 5 5? 2

x

所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

10 . 5

???9 分

(Ⅲ)(法一)当 E 为线段 PB 的中点时, AE ? 平面 PBC . 如图:分别取 PB, PC 的中点 E , F ,连结 AE, DF , EF . 所以 EF // BC ,且 EF ?

1 BC . 2 1 因为 AD // BC, 且 AD ? BC , 2

所以 AD // EF , 且 AD ? EF .

所以四边形 AEFD 是平行四边形. 所以 AE // DF . 因为 PD ? CD , 所以三角形 PCD 是等腰三角形. 所以 DF ? PC . 因为 BC ? 平面 PCD , 所以 DF ? BC . 因为 PC I BC ? C , 所以 DF ? 平面 PBC . 所以 AE ? 平面 PBC . 即在线段 PB 上存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC . (法二)设在线段 PB 上存在点 E ,当 PE ? ? PB(0 ? ? ? 1) 时, AE ? 平面 PBC . 设 E ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PE ? ( x0 , y0 , z0 ? 2) . 所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (2, 2, ?2) . 即 x0 ? 2? , y0 ? 2? , z0 ? ?2? ? 2 . 所以 E (2? , 2? , ?2? ? 2) . 所以 AE ? (2? ? 1, 2? , ?2? ? 2) . 由(Ⅱ)可知平面 PBC 的法向量 n ? (0,1,1) . 若 AE ? 平面 PBC ,则 AE / / n . 即 AE ? ? n .

uur

uur

uur

uuu r

uuu r

uuu r

1 , ? ? 1. 2 uur 1 uur 所以当 PE ? PB ,即 E 为 PB 中点时, AE ? 平面 PBC . 2
解得 ? ? (18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设所求圆的圆心坐标为 C (a, b) ,半径为 r . 因为 圆心 C (a, b) 在直线 y ? ?4 x 上, 所以 b ? ?4a ,即圆心 C (a, ?4a) . 因为 圆 C 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3, ?2) ,

???14 分

(法一) 所以 圆心 C (a, ?4a) 到直线 l 的距离 d ? PC .



a ? 4a ? 1 2

? (a ? 3) 2 ? (?4a ? 2) 2 .

整理得: a 2 ? 2a ? 1 ? 0 . 解得: a ? 1 . (法二) 所以 PC 垂直于直线 l . 所以

4a ? 2 ? (?1) ? ?1 ,即 a ? 1 . 3? a

所以 C (1, ?4), r ? 2 2 . 所以 所求圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 8 .
2 2

???4 分

(Ⅱ)设 M ( x, y ) . 因为 MA ? 2 MO ,
2 2 2 2 所以 ( x ? a ) ? y ? 2 x ? y .

整理得 ( x ? ) ? y ?
2 2

a 3

4a 2 . 9
a 2 , 0) 为圆心, r ? a 为半径的圆 D .???8 分 3 3

即点 M 的轨迹是以 D(?

(Ⅲ)存在实数 a ,使得 CM 的取值范围是 [1,9] . (1)当圆 D 与圆 C 外离时,依题意可得:

? ? CD ? 5, ? CD ? r ? 9, ? 即? ? ? r ? 4. ? ? CD ? r ? 1. ?
由 CD ? 5 解得 a ? 6或 ? 12 . 由 r ? 4 解得 a ? 6或 ? 6 . 所以 a ? 6 . (2)当圆 C 内含于圆 D 时,依题意可得:

? ? CD ? 4, ?r ? CD ? 9, ? 即? ? ? r ? 5. ? ?r ? CD ? 1. ?

由 CD ? 此时 r ?

1 (1 ? a ) 2 ? 16 ? 4 ,解得 a ? ?3 . 3

2 ?3 ? 2 ,与 r ? 5 矛盾. 3
???13 分

综上所述,存在实数 a ? 6 ,使得 CM 的取值范围是 [1,9] . (19)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 m ? 1时, f ( x) ?

x . x ?1
2

? x2 ? 1 因为 f '( x ) ? 2 , ( x ? 1) 2
1 12 . 2 25 1 2 因为 f ( ) ? , 2 5 1 1 所以函数 f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线方程为 12 x ? 25 y ? 4 ? 0 . ??6 分 2 2
所以 k ? f '( ) ?

(2 ? m)( x 2 ? m) ? (2 ? m) x ? 2 x (m ? 2)( x 2 ? m) ? (Ⅱ) f '( x) ? ( x 2 ? m) 2 ( x 2 ? m) 2
(1)当 m ? 0 时, f ( x) ? 因为 f '( x) ? ?

2 . x

2 , x2

当 f '( x) ? 0 时, x ? 0, 或x ? 0 . 所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??,0),(0, ??) ,无单调增区间. (2)当 m ? 0 时, f ( x) 的定义域为 {x x ? ? ? m } . 当 f '( x) ? 0 时, x ? ? ?m或 ? ?m ? x ?

?m或x ? ?m ,

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?m ), (? ?m , ?m ),( ?m , ??) ,无单调增区间. (3)当 m ? 0 时, f '( x) ? ① 当 0 ? m ? 2 时, 若 f '( x) ? 0 ,则 x ? ? m或x ?

(m ? 2)( x ? m )( x ? m ) . ( x 2 ? m) 2

m,

若 f '( x) ? 0 ,则 ? m ? x ?

m,

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? m ), ( m , ??) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (? m , m ) . ② 当 m ? 2 时, f ( x) ? 0 ,为常数函数,无单调区间. ③当 m ? 2 时, 若 f '( x) ? 0 ,则 ? m ? x ? 若 f '( x) ? 0 ,则 x ? ? m或x ?

m, m,

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (? m , m ) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? m ), ( m , ??) . 综上所述, 当 m ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (??,0),(0, ??) ,无单调增区间; 当 m ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?m ), (? ?m , ?m ),( ?m , ??) ,无单调增区间; 当 m ? 0 时, ① 当 0 ? m ? 2 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? m ), ( m , ??) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (? m , m ) ; ② 当 m ? 2 时, f ( x) ? 0 ,为常数函数,无单调区间; ③当 m ? 2 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (? m , m ) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? m ), ( m , ??) ???13 分

(20)(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)若 q ? 1 ,则 由① a1 ? a2 ? a3 ? L ? a2 k ? 由②得 a1 ?

a1 (1 ? q 2 k ) ? 0 得 q ? ?1 , 1? q

1 1 或 a1 ? ? . 2k 2k

若 q ? 1 ,由①得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能. 综上所述 q ? ?1 .???4 分 (Ⅱ)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,L , a2 k (k ? 1) 的公差为 d (d ? 0) . 因为 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a2 k ? 0 , 所以

2k (a1 ? a2 k ) ?0. 2

所以 a1 ? a2 k ? ak ? ak ?1 ? 0 . 因为 d ? 0 , 所以由 ak ? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0, ak ?1 ? 0 . 由题中的①、②得

1 a1 ? a2 ? a3 ? L ? ak ? ? , 2 1 ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?3 L ? a2 k ? , 2 1 两式相减得 k 2 ? d ? 1 ,即 d ? 2 . k k (k ? 1) 1 1 ? 2k 又 a1k ? . d ? ? ,得 a1 ? 2 2 2k 2 1 ? 2k 1 2n ? 2k ? 1 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? .???9 分 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 2k k 2k 2
(Ⅲ)记 a1 , a2 , a3 , L , an 中非负项和为 A ,负项和为 B . 则 A ? B ? 0, A ? B ? 1 , 得 A ? (1) 因为 ?

1 1 ,B ? ? . 2 2

1 1 ? B ? Sk ? A ? , 2 2 1 所以 S k ? . 2 1 ,由前面的证明过程知: 2

(2) 若存在 m ?{1, 2,3,L , n} ,使 Sm ?

a1 ? 0, a2 ? 0,L , am ? 0, am?1 ? 0, am? 2 ? 0,L , an ? 0 ,
且 am?1 ? am? 2 ? L ? an ? ?

1 . 2

记数列 {Si }(i ? 1, 2,3, L , n) 的前 k 项和为 Tk .

则由(1)知, Tk ?

1 . 2 1 2

所以 Tm ? S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sm ? 因为 Sm ?

1 , 2

所以 S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sm?1 ? 0 . 所以 a1 ? a2 ? a3 ? L ? am?1 ? 0 , am ? 又 am?1 ? am? 2 ? L ? an ? ? 则 Sm?1 , Sm ? 2 ,L , Sn ? 0 . 所以 S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sn ? S1 ? S 2 ? S3 ? L ? S n . 所以 S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sn ? 0 与 S1 ? S 2 ? S3 ? L ? S n ? 1 不能同时成立. 所以对于有穷数列 a1 , a2 , a3 ,L , an (n ? 2,3, 4,L ) , 若存在 m ?{1, 2,3,L , n} ,使 Sm ?

1 . 2

1 , 2

1 , 2

则数列 {Si }(i ? 1, 2,3, L , n) 不能为 n 阶“期待数列”.???14 分

【各题若有其它解法,请酌情给分】


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