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【优化方案】2014年高中数学 第2章2.4.2等比数列的性质配套课件 新人教A版必修5


2.4.2 等比数列的性质

学习目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式. 2.掌握等比数列的性质,会用性质灵活解决问 题.

课前自主学案

温故夯基

an+1 1.若数列{an}为等比数列,则_______=q(常数). an
2.通项公式:等比数列{an}的公比为q,则an

= a1qn-1. ________

知新盖能 等比数列的常用性质 q 通项公式的推广:an=am· n-m (n, ______ 性质 m∈N*) 1 且 性质 若{an}为等比数列, k+l=m+n(k, am·n a l,m,n∈N*),则 ak·l=________ a 2 若{an},{bn}(项数相同)是等比数列, 1 an 性质 2 则{λan}(λ≠0), }, n}, n·n}, } { {a {a b { an bn 3 仍是等比数列

在等比数列{an}中距首、末两 性质 端等距离的两项的积相等,即 4 a1an=a2an-1=a3an-2=… 性质 在等比数列{an}中,序号成等 差数列的项仍成等比数列 5

课堂互动讲练

考点突破
等比数列的性质

在解有关等比数列的问题时,要注意利用等比数
列的性质,可以使问题变得简单、明了.
例1

(1)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+

2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于________. (2)等比数列{an}中,若a9=-2,则此数列前17项之 积为________.

(3)在等比数列中,若a2=2,a6=162,则a10= ________. (4)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数 的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( )

A.5 2 C.6

B.7 D.4 2

【思路点拨】 ①利用等比数列性质,若m+n=p +q,则aman=apaq. ②若{an}成等比数列,则am,am+n,am+2n,…仍 成等比数列.

【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4=a2, 3 a4a6=a2, 5 把 a2a4+2a3a5+a4a6=25 化为 a2+2a3a5+a2=25 3 5 ?(a3+a5)2=25(an>0) ?a3+a5=5.

(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 =(a1a17)· 2a16)· 3a15)· a9 (a (a …· =a17=(-2)17=-217. 9 (3)∵{an}为等比数列,∴a2,a6,a10 仍 成等比数列, ∴a2=a2a10, 6 a2 1622 6 ∴a10= = =13122. a2 2

(4)∵{an}成等比数列且 an>0, ∴a2=a1a7,a2=a2a8,a2=a3a9. 4 5 6 ∴a2a2a2=a1a7a2a8a3a9=a1a2a3·7a8a9=50. a 4 5 6 ∴a4a5a6=5 2.
【答案】 (1)5 (2)-217 (3)13122 (4)A

等比数列的设法及求解

三个数成等比数列时,常设这三个数分别为 a, a aq,aq 或 ,a,aq; q
2

四个数成等比数列时,常设这四个数分别为 a, a a aq,aq ,aq 或 3, ,aq,aq3(公比为 q2). q q
2 3

例2

有四个实数,前三个数成等比数列,且它

们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们
之和为12,求这四个数.

【思路点拨】

根据三个数成等比数列,可以设

a 三个数为q,a,aq;根据三个数成等差数列且它 们之和为 12,可以设三个数为 4-d,4,4+d.

a a 【解】 法一: 设前三个数为q, aq, q· aq=216, a, 则 a· 6 3 ∴a =216.∴a=6.因此前三个数为q,6,6q. 由题意第 4 个数为 12q-6. 2 ∴6+6q+12q-6=12,解得 q= . 3 故所求的四个数为 9,6,4,2.

法二:设后三个数为 4-d,4,4+d,则第一个数为 1 1 2 2 (4-d) ,由题意 (4-d) · (4-d)· 4=216,解得 4 4 4 -d=6.∴d=-2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.

变式训练1

已知三个数成等比数列,它们的积为

27,它们的平方和为91,求这三个数.

解:设三个数依次为 a,aq,aq2, ?a· aq2=27 aq· 由题意知? 2 , 2 2 2 4 ?a +a q +a q =91
??aq?3=27 ∴? 2 , 2 4 ?a ?1+q +q ?=91 ?aq=3 即? 2 , 2 4 ?a ?1+q +q ?=91

q2 9 解得 ,得 9q4-82q2+9=0, 2 4= 1+q +q 91 1 2 2 即得 q =9 或 q = , 9 1 ∴q=± 或 q=± , 3 3 若 q=3,则 a1=1;

1 若 q=-3,则 a1=-1;若 q= ,则 a1=9; 3 1 若 q=- ,则 a1=-9.故这三个数为:1,3,9 或- 3 1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3,-1.

等比数列的实际应用
某工厂三年的生产计划中,从第二年起每 一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值 为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别 比原计划产值多10万元、10万元、11万元,那么 每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求 原计划中每年的产值. 【思路点拨】 审清题意,抽象出数学模型.“ 从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同” 说明原计划三年产值成等差数列;“每一年比上 一年的产值增长的百分数都相同”说明新产值构 成等比数列.
例3

【解】 由题意得,原计划三年中每年的产值组 成等差数列,设为a-d,a,a+d(d>0), 则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100. 又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成 等比数列,∴(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+ 11]. 将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d), 即d2+d-110=0.解得d=10或d=-11(舍去). ∴原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万 元和110万元.

【名师点评】

本题首先归结到等差数列和等

比数列两个数学模型,其次在设公差时,根据

题意知d>0,这是题中的隐含条件.

变式训练2

某工厂2010年生产某种机器零件100

万件,计划到2012年把产量提高到每年生产121万 件.如果每一年比上一年增长的百分率相同,这 个百分率是多少?2011年生产这种零件多少万件? 解:设每一年比上一年增长的百分率为x,则从 2010年起,连续3年的产量依次为a1=100,a2= a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+ x),a3=100(1+x)2成等比数列.

由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21, ∴1+x=1.1或1+x=-1.1, ∴x=0.1或x=-2.1(舍去), a2=100(1+x)=110(万件), 所以每年增长的百分率为10%,2011年生产这种零 件110万件.

方法感悟
等比数列的性质 等比数列{an}的首项为a1,公比为q. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列为递 增数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列为递减 数列; 当q=1时,数列为常数列; 当q<0时,数列为摆动数列.

(2)an=amqn-m(m,n∈N*).
(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=

apaq.
(4)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,则

am,an,ap成等比数列.


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