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2015年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第57课 立体几何中的翻折问题 文(含解析)


第 57 课 立体几何中的翻折问题
【例 1】 (2014 越秀质检)如图,菱形 ABCD 的边长为 4 , ?BAD ? 60? , AC ? BD ? O . 将 菱 形 A B C D沿 对 角 线 AC 折 起 , 得 到 三 棱 锥 B ? ACD , 点 M 是 棱 BC 的 中 点 ,

DM ? 2 2 .
(1)求 证 :

OM ∥ 平 面 ABD ; (2)求 证 : 平 面 DOM ? 平 面 ABC ; (3)求 三 棱 锥 B ? D O M的 体 积 .
B B M A O C A O C

D D 【解析】 (1)证明:∵ O 为 AC 的中点, M 为 BC 的中点,∴ OM ∥ AB .

∵ OM ? 平 面 ABD , AB ? 平面 ABD ,∴ OM ∥平面 ABD . (2)∵在菱形 ABCD 中, OD ? AC , ∴在三棱锥 B ? ACD 中, OD ? AC . 在菱形 ABCD 中, AB ? AD ? 4 , ?BAD ? 60? ,∴ BD ? 4 . ∵ O 为 BD 的中点,∴ OD ?

1 BD ? 2 . 2 1 AB ? 2 . 2

∵ O 为 AC 的中点, M 为 BC 的中点,∴ OM ?

∵ OD2 ? OM 2 ? DM 2 ,∴ ?DOM ? 90? ,即 OD ? OM . ∵ AC ? OM ? O ,∴ OD ? 平面 ABC . ∵ OD ? 平面 DOM ,∴平面 DOM ? 平面 ABC . (3)由(2)得, OD ? 平面 BOM , ∴ OD 是三棱锥 D ? BOM 的高. ∵ OD ? 2 , S ?BOM ? ∴ VB ? DOM ? VD ? BOM ?

1 OB ? BM ? sin 60? ? 3 , 2

1 1 2 3 . S?BOM ? OD ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3

【例 2】 (2014 珠海质检)在边长为 4 的正方形 ABCD 中, E 、 F 分别为 BC 、 CD 的中 点, M 、 N 分别为 AB 、 CF 的中点,现沿 AE 、 AF 、 EF 折叠,使 B 、 C 、 D 三点 重合,构成一个三棱锥. (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明;
1

(2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求多面体 E ? AFNM 的体积.

B
A M B D

M
F N E C

N F E

A

【解析】 (1) MN ∥平面 AEF ,证明如下: 因翻折后 B 、 C 、 D 三点重合(如图) , ∴ MN 为 ?ABF 的一条中位线, ∴ MN ∥ AF , ∵ AF ? 平面 AEF , MN ? 平面 AEF ∴ MN ∥平面 AEF . (2)∵ AB ? BE, AB ? BF , BE ? BF ? B , ∴ AB ? 平面 BEF . (3)∵ AB ? 4, BE ? BF ? 2 , ∴ VA? BEF ? 又∵

B M A E N F

1 1 8 ? ( BE ? BF ) ? AB ? , 3 2 3

3 8 VE ? AFNM S AFNM 3 ? ? , ∴ VE ? AFNM ? ? ? 2 . 4 3 VE ? ABF S?ABF 4
第 57 课 立体几何中的翻折问题课后作业

1. (2013 广东高考)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边 上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得 到如图 2 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ?
A

2 . 2
A

D

G

E

G

E

D
F

C

B

F

C

B

图1

图2

(1)证明: DE // 平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 V . 3 【解析】(1)在图 2 中,由翻折不变性可知 AD ? AE , AB ? AC ,
(3)当 AD ?
2



AD AE ? ,∴ DE // BC , AB AC

∵ DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF , ∴ DE // 平面 BCF . (2) 在图 2 中,∵ BF ? CF ?

1 2 , BC ? , 2 2

BF 2 ? CF 2 ? BC 2 ,∴ CF ? BF
又 CF ? AF , BF ? AF ? F ,∴ CF ? 平面 ABF . (3)∵ GE // CF ,由(2)知 CF ? 平面 ABF , ∴ GE ? 平面 ABF ,∴ GE ? 平面 DGF , 依题意可得 DG ? GE ?

1 1 AD ? , 2 3

GF ? AF ? AG ?
∴ S?DGF ?

3 3 3 , ? ? 2 3 6

1 1 3 3 , ? ? ? 2 3 6 36
1 3 1 3 . ? ? ? 3 36 3 324

∴三棱锥 F ? DEG 的体积 V ?

2. (2014 南海质检)如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的 中点,将△ AED 、△ DCF 分别沿 DE 、 DF 折起,使 A 、C 两点重合于点 A? ,连接 EF ,

A?B .
(1)求证: A?D ? EF ; (2)求三棱锥 D ? A?EF 的体积与点 A? 到平面 BEDF 的距离.

A
E

D

A?

D
E F

B

C B
F

【解析】 (1)在正方形 ABCD 中,有 AD ? AE , CD ? CF , 则 A?D ? A?E , A?D ? A?F ,又 A?E ? A?F ? A? ,∴ A?D ? 平面 A?EF .

3

而 EF ? 平面 A?EF ,∴ A?D ? EF . (2)∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ S四边形BEDF ? ∵ S ?BEF

1 1 S正方形ABCD = ? 22 =2 . 2 2 1 1 1 3 ? ? 1? 1 ? ,∴ S ?DEF ? 2 ? ? . 2 2 2 2

在 Rt ?BEF 中, BE ? BF ? 1 ,∴ EF ? 2 .

1 1 ? 1? 1 ? . 2 2 1 1 1 1 由(1)得 A?D ? 平面 A?EF ,且 A?D ? 2 ,∴ VD ? A?EF ? S ?A?EF A?D ? ? ? 2 ? . 3 3 2 3 1 1 3 1 2 设点 A? 到平面 BEDF 的距离为 h ,则 VA?? DEF ? S ?DEF ? h ? ? ? h ? ,∴ h ? . 3 3 3 2 3 2 ∴点 A? 到平面 BEDF 的距离为 . 3
2 2 2 而 A?E ? A?F ? 1 ,∴ A?E ? A?F ? EF .∴ S? A?EF ?

3. (由 2012 年高考改编)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 2an ? 2n ? 1 ,n ? N * . (1)求 a1 的值; (2)求证:数列 {an ? 2} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式. (3)设 cn ?

an ? 2 ? n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 3

【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1, ∵ a1 ? S1 ? T1 ,∴ a1 ? 2a1 ?12 ,∴ a1 ? 1 , (2)∵当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2n ? 1) - [2an?1 ? 2(n ?1) ? 1]
∴ an ? 2an?1 ? 2 ,∴ an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) , ∴数列 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2 ? 3 ? 2n?1 ,∴ an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , ∵ an ? 1 ? 3 ? 21?1 ? 2 , ∴数列 {an } 的通项公式为: an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N .
*

4


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