kl800.com省心范文网

三角函数复习


一.角的定义: 在平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形. 点O是角的顶点,射线OA,0B分 ? 别是角 的始边、终边. 正角:按逆时针方向旋转形 成的角叫做正角. 负角:按顺时针方向旋转形成 的角叫做负角. 零角:如果一条射线没有作任 何旋转,它形成了一个零角.



正角 零角
负角

二.坐标角 将角的顶点与坐标系的原点重 合,角的始边与x轴的非负半轴重 合.那么,角的终边(除端点外)在第 几象限,我们就说这个角在第几象 限.
如果角的终边在坐标轴上,就认 为这个角不属于任一象限.(轴线角)

一般地有
所有与? 角终边相同的角,连同 ? 在 内,可构成一个集合.

S ? {? ? ? ? ? k ?360 k ? z}
?

即任一与 ? 角终边相同的角,都可以 表示成角 ? 与整数个周角的和.

一.角度制:规定周角的 为1度角. 用度作单位来度量角的单位制叫角度制.

1 360

二.弧度制:
1. 1弧度的角:我们把长度等于半经长的弧 所对的圆心角叫做1弧度的角. 单位符号是rad,读作弧度

2.弧度制:用弧度作单位来度量角的制度 叫弧度制.

l ? r ? 是弧长公式,其中α以弧度为单位

三.角度制与弧度关系 1.把角度换成弧度

360 ? 2? rad ? 180 ? ? rad
?

1 ?
?

?

180

rad ? 0.01745rad
?

2.把弧度换成角度

2? rad ? 360 ? ? rad ? 180 ? ? 180 ? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.3 ? 57 18? ? ? ?

二 任意角的三角函数
设α是一个任意角,α的终边上任意一点 p(除端点外)的坐标是(x,y),它与原点的 距离是r
(r ? x ? y ? x2 ? y 2 ? 0) y (1)比值 r 叫做α的正弦,记着sinα即
2 2

sin ? ?

(2)比值

p点的横坐标 x cos ? ? ? p点到原点距离 r

x 叫做α的余弦,记着cosα即 r

p点的纵坐标 y ? p点到原点距离 r

(3)比值 叫做α的正切,记着tnaα即
tan ? ? p点的纵坐标 y ? p点横坐标 x

y x

(4)比值

(5)比值
(6)比值

x y 叫做α的余切,记着cotα r 叫做α的正割,记着secα x r y 叫做α的余割,记着cscα

小结
y sin ? ? r r csc ? ? y x cos ? ? r r sec ? ? x y tan ? ? x x cot? ? y

y sin ? ? 0 cos? ? 0 sin ? ? 0 csc? ? 0 tan ? ? 0 cot? ? 0

小结

csc? ? 0 sec? ? 0
o x

tan ? ? 0 cot? ? 0

c os? ? 0 sec? ? 0

一正二正弦,三切四余弦

y
p
M

y
p
A(0,1) T

o

x
T

o

M A(0,1)

x

y
T
M

MP ? MP sin ? ? 0P OM ? OM cos ? ? y OP AT tan ? ? OA

M

A(0,1)

o
p

A(0,1)

x

o
p T

x

倒 数 关 系
商 数 关 系 平 方 关 系

tan ? ? cot ? ? 1

sin ? ? csc? ? 1 cos ? ? sec? ? 1

sin ? tan ? ? (sin ? ? cos ? ? tan ? ) cos ? cos ? cot ? ? (cos ? ? sin ? ? cot ? ) sin ?
2 2

sin ? ? cos ? ? 1 2 2 tan ? ? 1 ? sec ?

cot ? ? 1 ? csc ?
2 2

平方关系的变形
(1) sin ? ? ? 1 ? cos 2 ?

当α在一、二象限时取 “+” 当α在三、四象限时取 “–”
(2) cos ? ? ? 1 ? sin 2 ?

当α在一、四象限时取 “+” 当α在一、三象限时取 “–”

符号看左边,左边看象限

(3) tan ? ? ? sec ? ? 1
2

(4) cot ? ? ? csc ? ? 1
2

当α在一、三象限时取 “+” 当α在二、四象限时取 “–”

符号看左边,左边看象限

诱导公式 一

sin(? ? k ?360 ) ? sin ?
?

cos(? ? k ?360 ) ? cos? ? tan(? ? k ? 360 ) ? tan ?
?

公式(一)

sin(180? ? ? ) ? ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos ? tan(180 ? ? ) ? tan ?
?

公式(二)

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan ?
公式( 三)

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos ? tan(180 ? ? ) ? ? tan ?
?

公式(四)

sin(360 ? ? ) ? ? sin ?
?

cos(360 ? ? ) ? cos ? ? tan(360 ? ? ) ? ? tan ?
?

公式( 五)

α +k?360 °,-α,180°± α, 360 °- α 的三角函数值,等于α的同名函数值, 前面加上一个把α看成锐角时原函数值 的符号。

任意负角 的三角函数

用公式 三或一
? ?

任意正角 公式一 的三角函数 公式四 公式二 公式五 0° 到 90° 的角 的三 角函 数

[90 ,180 )

0°到360°的 角的三角函数

[180 , 270 ) [270? ,360? )

?

?

诱导公式 二
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ? ?? ? tan ? ? ? ? ? cot ? ?2 ?

公式(一)

?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ? ?? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ? ?2 ?

公式(二)

? 3? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ? 2 ?

? 3? ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ?

公式(三)

? 3? ? tan ? ? ? ? ? cot ? ? 2 ?

? 3? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? 2 ? ? 3? ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ? ? 3? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ?
? 2 ?

公式(四)

小结
余函数的值,前面加上一个把α看成
锐角时原函数值的符号。
? 3? ? ? , ? ? 的三角函数值,等于α的 2 2

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

C(? ? ? )

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

C(? ? ? )

S(? ? ? ) S(? ? ? )

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

T(? ? ? )

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

T(? ? ? )

sin 2? ? 2sin ? cos?
cos 2? ? cos ? ? sin ? 2 ? 2cos ? ?1 2 ? 1 ? 2sin ?
2 2

S2?

C2?

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

T2?

降幂公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

升幂公式
1 ? cos 2? ? 2cos ?
2

1 ? cos 2? ? 2sin ?
2

1 ? cos ? (1) sin ? ? 2 2

?

半 角 公 式

1 ? cos ? (2) cos ? ? 2 2 1 ? cos ? (3) tan ? ? 2 1 ? cos ?
1 ? cos ? sin ? (4) tan ? ? 2 sin ? 1 ? cos ?

?

?

?

三角函数性质 函数 定义域 值域 正弦函数 余弦函数 正切函数
? ? ? ? x x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

R
[?1,1]

R
[?1,1]

R

周期性
奇偶性 单调性

2?
奇函数
? ? ? ? 在 ?- ? 2k? , ? 2k? ? 2 ? 2 ? 上单调增
3? ?? ? 在 ? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ?2 ? 上单调减(k ? z)

2?
偶函数
在 ? (2k ? 1)? , 2k? ? 上单调增
在 ? 2k? , (2k ? 1)? ? 上单调减(k ? z)

?
奇函数
? ? ? ? 在 ? - ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ? 内单调增,(k ? z)

一般地,函数

y ? A sin(? x ? ? ), x ? R
(其中A>0, ω >0)的图象,可以看作用 下面方法得到:
1.把正弦曲线上所有的点向左(当φ >0 时)或向右(当φ <0时)平行移动 ? 个单 位长度. (相位变换) 2.把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
(当ω >1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来



1

?

倍(纵坐标不变).(周期变换)

3.把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来 A倍(横坐标不变).(振幅变换)

步骤1

画出y=sinx在长度为2π的简图
沿X轴 平行移动

步骤2

得到y=sin(x+φ)在长度为2π的简图
横坐标 伸长或缩短

步骤3

得到y=sin(ωx+φ)在长度为2π的简图
纵坐标 伸长或缩短

步骤4

得到y=Asin(ωx+φ)在长度为2π的简图
沿X轴 扩展

步骤5

得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的简图

一、反正弦定义: 根据正弦函数的图象的性质,为了使符合 条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x有且只有一个

解,我们选择闭区间 [? , ] 为主值区间.
在这个闭区间 [? , ] 上符合条件
2 2

? ?

? ?

2 2

sinx=a(-1≤a≤1)的角x,叫做实数a的反
正弦,记作arcsina.

? ? 即x=arcsina,其中x ? [? , ] ,且a=sinx 2 2 (-1≤a≤1)

注意
1.符号arcsina表示一个角

? ? 2. ? ? arc sin a ? 2 2 且 当 0 ? a ?1
当 ?1 ? a ? 0

其中 ?1 ? a ? 1

2 3.角arcsina的正弦等于a (?1 ? a ? 1)

sin(arc sin a) ? a

?

? 0 ? arc sin a ? 2 ?

? arc sin a ? 0

arcsin(?? ) ? ? arcsin ?

二、反余弦定义 根据余弦函数的图象的性质,为了使符合

条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x有且只有一个解,
我们选择闭区间
[0,为主值区间. ?]

在这个闭区间 [0, ? ] 上符合条件
cosx=a(-1≤a≤1)的角x,叫做实数a的反

余弦,记作arccosa.
即x=arccosa,其中 x ?[0, ? ] ,且a=cosx (-1≤a≤1)

注意
1.符号arccosa表示一个角
2.0 ? arc cos a ? ?

其中

且 当 0 ? a ?1 当 ?1 ? a ? 0

0 ? arc cos a ?

?1 ? a ? 1 ?
2

?
2

? arc cos a ? ?

3.角arccosa的余弦等于a (?1 ? a ? 1) 即
cos(arc cos a) ? a

arccos(?? ) ? ? ? arccos

三、反正切定义:
根据正切函数的图象的性质,为了使符合条

件tanx=a(a为任意实数)的角x有且只有一
个解,我们选择开区间
? ? ?? ? ? , ? 为主值区间. ? 2 2?

在这个开区间内

? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

上符合条件

tanx=a(a为任意实数)的角x,叫做实数a

的反正切,记作arctana.
? ? ?? 即x=arctana,其中 x ? ? ? , ? ? 2 2?

,且a=tanx

(a为任意实数)

注意
1.符号arctana表示一个角
2. ?

?
2

? arc tan a ?

?
2

其中

且 当 a?0 当
a?0

0 ? arc tan a ? ?

a?R ?
2

?
2

? arc tan a ? 0

3.角arctana的余弦等于a 即
tan(arctan a) ? a

(a ? R)

arctan(?? ) ? ? arctan ?


赞助商链接

高中数学 必修四 三角函数复习精华版

高中数学 必修四 三角函数复习精华版_数学_高中教育_教育专区。三角函数 1、 ? 的终边与 ? ? 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =___。(答: 2k? ? ,...

上海高一数学常用三角函数复习大全

上海高一数学常用三角函数复习大全_数学_高中教育_教育专区。在前人的基础上总结出来的。用于给自己孩子复习用。上海高一数学常用三角函数公式大全 一、基本概念 1. ...

高一必修4三角函数复习(经典)

高一必修4三角函数复习(经典)_数学_高中教育_教育专区。三角函数复习 1、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos...

高考三角函数复习专题

高考三角函数复习专题 - 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳: 性函质数★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: y ? sin x y ? cos x y ?...

三角函数复习(原创)经典讲义

三角函数复习(原创)经典讲义 - 三角函数基本概念及方法指导 一、角的概念的推广 1、角的定义: 2、角的分类: (1)角按旋转方向的分类:正角:负角: 零角: (...

高考三角函数复习专题

高考三角函数复习专题_数学_高中教育_教育专区。三角函数复习专题一、核心知识点归纳:★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性函质数 y ? sin x...

三角函数复习

三角函数复习 - [在此处键入] 三角函数 (一)三角函数初步 一、三角函数的定义 二、三角函数的符号 【例题】 1 [在此处键入] 2 [在此处键入] 三、诱导公式(...

三角函数复习与小结

三角函数复习与小结 - 三角函数复习导学案 高秀娟 班级: 姓名: 座号: 一、 知识点疏理 1.角的概念 0 0 (1)与?(0 ??<360 )终边相同的角的集合: 终边在...

三角函数复习教案-整理

三角函数复习教案-整理 - 《三角函数》复习教案 【知识网络】 应用 弧长公式 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 应用 计算与化简 证明恒等式 应用 任意角的...

2015年高三三角函数复习知识点

2015年高三三角函数复习知识点_数学_高中教育_教育专区。2016 年人教版数学必修一 三角函数复习资料 姓 名: 沈金鹏 数学学院 院、系: 专 业: 数学与应用数学 ...