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高一数学2013北师大版必修四第三章 三角恒等变形综合检测题及答案解析


第三章

三角恒等变形

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.sin 15° cos 75° +cos 15° sin 75° 等于( A.0 C. 3 2 1 B.2 D.1 sin 15° cos 75° +

cos 15° sin 75° )

【解析】

=sin(15° +75° )=sin 90° =1. 【答案】 D

2.在锐角△ABC 中,设 x=sin A· sin B,y=cos A· cos B,则 x、y 的大小关系 为( ) X|k |B| 1 . c|O |m A.x≤y C.x<y 【解析】 B.x>y D.x≥y y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,

∵C 为锐角,∴-cos C<0, ∴y-x<0,即 x>y. 【答案】 B )

π 3.若 sin α+cos α=tan α(0<α<2),则 α 的取值范围是( π A.(0,6) π π C.(4,3) 【解析】 π π B.(6,4) π π D.(3,2)

π π 因为 sin α+cos α= 2sin(α+4),当 0<α<2时,此式的取值范围

π π π 是(1, 2],而 tan α 在(0,4)上小于 1,故可排除 A,B;在(3,2)上 sin α+cos α 与 tan α 不可能相等,所以 D 不正确,故选 C. 【答案】 C

4.在△ABC 中,若 sin C=2cos Asin B,则此三角形必是( A.等腰三角形 C.直角三角形 【解析】 B.正三角形 D.等腰直角三角形

)

sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),

∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B. ∴sin(A-B)=0,∴A=B, ∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 A

5.(2012· 陕西高考)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于( 2 A. 2 C.0 【解析】 ) 1 B.2 D.-1 a=(1,cos θ),b=(-1,2cos θ).

∵a⊥b,∴a· b=-1+2cos2θ=0, 1 ∴cos2θ=2,∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0. 【答案】 C )

1+cos 2x+8sin2x π 6.当 0<x<2时,函数 f(x)= 的最小值为( sin 2x A.2 C.4 B.2 3 D.4 3

1+cos 2x+8sin2x 2cos2x+8sin2x 【解析】 f(x)= = 2sin xcos x =cot x+4tan x≥2 4=4. sin 2x 1 当且仅当 cot x=4tan x,即 tan x=2时取得等号.故选 C. 【答案】 C )

α 3 7.(2013· 江西高考)若 sin 2= 3 ,则 cos α=( 2 A.-3 1 C.3 1 B.-3 2 D.3

【解析】 【答案】

α 2 1 ? 3? cos α=1-2sin22=1-2×? ?2=1-3=3. 3 ? ? C )

8.(2013· 重庆高考)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 C. 3 【解析】 = = = = = B.

2+ 3 2

D.2 2-1 sin 40° 4cos 50° -tan 40° =4sin 40° -cos 40°

4sin 40° cos 40° -sin 40° 2sin 80° -sin 40° = cos 40° cos 40° sin 80° +sin?60° +20° ?-sin?60° -20° ? cos 40° sin 80° +2cos 60° sin 20° sin 80° +sin 20° = cos 40° cos 40° sin?50° +30° ?+sin?50° -30° ? cos 40° 2sin 50° cos 30° cos 40° = 3. cos 40° = 3· cos 40° C )

【答案】

π 1 9.已知 f(x)=sin2(x+4),若 a=f(lg 5),b=f(lg 5),则( A.a+b=0 C.a+b=1 B.a-b=0 D.a-b=1 π 1-cos?2x+2? 2

【解析】

π 由题意知 f(x)=sin2(x+4)=



1+sin 2x , 2

1 1 1 令 g(x)= sin 2x,则 g(x)为奇函数,且 f(x)=g(x)+ ,a=f(lg 5)=g(lg 5)+ , 2 2 2 1 1 1 1 b=f(lg 5)=g(lg 5)+2, 则 a+b=g(lg 5)+g(lg 5)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1, 故 a+b=1. 【答案】 C )

10.对于函数 f(x)=2sin xcos x,下列选项中正确的是(

π π A.f(x)在(4,2)上是递增的 B.f(x)的图像关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2 【解析】 f(x)=2sin xcos x=sin 2x,

∴f(x)为奇函数,f(x)图像关于原点对称. 【答案】 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中的横 线上) 11.(2012· 江西高考)若 【解析】 由 sin α+cos α 1 = ,则 tan 2α=________. sin α-cos α 2

sin α+cos α 1 tan α+1 =2,等式左边分子、分母同除 cos α 得, sin α-cos α tan α-1

1 2tan α 3 =2,解得 tan α=-3,则 tan 2α= 2 = . 1-tan α 4 【答案】 3 4X| k |
B| 1 . c |O |m

π 1 12. 知 α, β∈(0, ) , = 且 3sin β=sin(2α+β), 则 α+β=________. 4 4, 2α 1-tan 2 1 1 =4,得 tan α=2.由 3sin β=sin(2α+β),得 3sin[(α+β) α 1-tan22 α tan 2

α tan 2

【解析】 由

π -α]=sin[(α+β)+α],化简得 tan(α+β)=2tan α=1.由于 α,β∈(0,4),故 α+β π π ∈(0,2),所以 α+β=4. 【答案】 π 4

θ θ θ 13.若 θ 是第二象限角, cos 2 - sin 2 = 1-sin θ,则角 2 所在的象限是 ________.

【解析】

∵ 1-sin θ=

θ θ ?sin 2-cos 2?2

θ θ θ θ =|sin 2-cos 2|=cos 2-sin 2, θ θ ∴sin 2<cos 2. ∵θ 是第二象限角, π ∴2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z. π θ π 则 +kπ< < +kπ.k∈Z. 4 2 2 5 θ 3 θ 由上可得4π+2kπ<2<2π+2kπ,k∈Z.所以2是第三象限角. 【答案】 第三象限角

π 14.函数 f(x)=sin2(2x-4)的最小正周期是________. π 1-cos2?2x-4? 2

【解析】

f(x)=

π 1-cos?4x- ? 2 1-sin 4x = = , 2 2 2π π ∴最小正周期 T= 4 =2. 【答案】 π 2

π 4 π 15.(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos(α+6)=5,则 sin(2α+12)的值为 ________. 【解析】 π 4 ∵α 为锐角且 cos(α+6)=5,

π 3 ∴sin(α+6)=5. π π π ∴sin(2α+12)=sin[2(α+6)-4] π π π π =sin 2(α+6)cos 4-cos 2(α+6)sin 4

π π 2 π = 2sin(α+6)cos(α+6)- 2 [2cos2(α+6)-1] 3 4 2 4 12 2 7 2 17 2 = 2×5×5- 2 [2×(5)2-1]= 25 - 50 = 50 . 【答案】 17 2 50

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)(2013· 辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos π? ? x,sin x),x∈?0,2?. ? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 【解】 (1)由|a|2=( 3sin x)2+sin2 x=4sin2x,

|b|2=cos2x+sin2x=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1. π? 1 ? 又 x∈?0,2?,从而 sin x=2, ? ? π 所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x π? 1 3 1 1 ? = 2 sin 2x-2cos 2x+2=sin?2x-6?+2, ? ? π? π? π ? ? 当 x=3∈?0,2?时,sin?2x-6?取最大值 1. ? ? ? ? 3 所以 f(x)的最大值为2. π 17.(本小题满分 12 分)若 2sin(4+α)=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ,求证: 1 sin 2α+2cos 2β=0. 【证明】 两边平方得 π 由 2sin(4+α)=sin θ+cos θ 得 2cos α+ 2sin α=sin θ+cos θ,

2(1+sin 2α)=1+sin 2θ,即 1 sin 2α=2(sin 2θ-1), 由 2sin2β=sin 2θ 得,1-cos 2β=sin 2θ. 将②代入①得 1 sin 2α=2[(1-cos 2β)-1]得 1 sin 2α=-2cos 2β, 1 即 sin 2α+2cos 2β=0. http:// www.xkb1 .com π? ? 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4?(ω>0)的最小正周 ? ? 期为 π. (1)求 ω 的值; π? ? (2)讨论 f(x)在区间?0,2?上的单调性. ? ? 【解】 π? ? (1)f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4? ? ? ① ②

=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx π? ? = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2=2sin?2ωx+4?+ 2. ? ? 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当4≤2x+4≤2,即 0≤x≤8时,f(x)单调递增; π π 5π π π 当2<2x+4≤ 4 ,即8<x≤2时,f(x)单调递减. π? ? ?π π? 综上可知,f(x)在区间?0,8?上单调递增,在区间?8,2?上单调递减. ? ? ? ?

π π ωx 19.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+6)+sin(ωx-6)-2cos2 2 ,x ∈R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若对任意的 a∈R,函数 y=f(x),x∈(a,a+π]的图像与直线 y=-1 有且 仅有两个不同的交点,试确定 ω 的值(不必证明),并求函数 y=f(x),x∈R 的单 调增区间. 【解】 -1 π =2sin(ωx-6)-1, ∵x∈R,∴f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题意得函数 f(x)的周期为 π. 2π ∴ ω =π,∴ω=2, π ∴f(x)=2sin(2x-6)-1. π π π 令 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2,k∈Z. π π 得 kπ-6≤x≤kπ+3,k∈Z. π π ∴函数 f(x)的单调增区间为[kπ-6,kπ+3],k∈Z. π π ωx π (1)f(x)=sin(ωx+6)+sin(ωx-6)-2cos2 2 =2sin ωxcos 6-cos ωx

图1 20.(本小题满分 13 分)如图 1,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),它们的 3 4 终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为(-5,5). (1)求 sin 2α+cos 2α+1 的值; 1+tan α

→ → (2)若OP· OQ=0,求 sin(α+β). 3 4 (1)由三角函数定义得 cos α=-5,sin α=5,

【解】

2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? 则原式= = sin α sin α+cos α 1+cos α cos α 3 18 =2cos2α=2×(-5)2=25. π → → (2)∵OP· OQ=0,∴α-β=2. π ∴β=α-2. π 3 ∴sin β=sin(α-2)=-cos α=5, π 4 cos β=cos(α-2)=sin α=5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 4 4 3 3 7 = × +(- )× = . 5 5 5 5 25 21.(本小题满分 13 分)(2012· 湖北高考)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos 1 ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图像关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈(2, 1).xKb 1. Com (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 y=f(x)的图像经过点(4,0),求函数 f(x)的值域. 【解】 (1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx· cos ωx+λ=-cos 2ωx+

π 3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-6)+λ, π 由直线 x=π 是 y=f(x)图像的一条对称轴,可得 sin(2ωπ-6)=± 1, π π k 1 所以 2ωπ-6=kπ+2(k∈Z),即 ω=2+3(k∈Z). 1 5 又 ω∈(2,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω=6.

6π 所以函数 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y=f(x)的图像过点(4,0),得 f(4)=0, 5 π π π 即 λ=-2sin(6×2-6)=-2sin 4=- 2,即 λ=- 2. 5 π 故 f(x)=2sin(3x-6)- 2,函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2].


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