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第11讲2013高考复习教学案之数列求和及其综合应用


第11讲 数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、 等比数列求和公式; 通过适当变形(构造) (2) 将未知数列转化为等差、等比数列,再用公式求和;(3) 根据数列特征,采用累加、累乘、 错位相减、逆序相加等方法求和;(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和;(5) 在证明 有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如 n(n

-1)<n2<n(n+1), 能用函数的单调性 (定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题. 2. 数列是特殊的函数,这部分内容中蕴含的数学思想方法有:函数与方程思想、分类 讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等,高考题中所涉及的知识综合性很强,既有较繁 的运算又有一定的技巧,在解题时要注意从整体去把握.

1. 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n 1· (3n-2),则 a1+a2+?+a10=________. An 7n+5 a7 = ,则 = Bn n+3 b7



2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 ________.

a2+1 n 3.若数列{an}满足 2 =p(p 为正常数,n∈N*),则称{an}为“等方比数列”.则“数列 an {an}是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件. (填“充分不必要”“必要 不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 4.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点(1,f(1))处的切线与直线 6x-2y+1=0 平行,若数
? 1 ? 列?f?n??的前 n 项和为 Sn,则 S2 012=________. ? ?

【例 1】 已知公差不为零的等差数列{an}中 a1=2,设 a1、a3、a7 是公比为 q 的等比数 列{bn}的前三项. (1) 求数列{anbn}的前 n 项和 Tn; (2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列{cn},设其前 n 项和 - - 为 Sn,求 S2n-n-1-22n 1+3·n 1 的值. 2

【例 2】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 ban-2n=(b-1)Sn. - (1) 证明:当 b=2 时,{an-n·n 1}是等比数列; 2 (2) 求{an}的通项公式.

【例 3】 已知数列{an}和{bn}满足:a1=1,a2=2,an>0,bn= anan+1(n∈N*),且{bn}

是以 q 为公比的等比数列. (1) 证明:an+2=anq2; (2) 若 cn=a2n-1+2a2n,证明:数列{cn}是等比数列; 1 1 1 1 1 1 (3) 求和: + + + +?+ + . a1 a2 a3 a4 a2n a2n-1

【例 4】 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且满足 2bn =1(n≥2). bnSn-S2 n

?1? (1) 证明数列?S ?成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; ? n?

(2) 上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 4 为同一个正数,当 a81=- 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项的和. 91

1. (2011· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10= ________.

2.(2011· 山东)设函数 f(x)= f1(x)=f(x)=

x (x>0),观察: x+2

x x x ,f2(x)=f(f1(x))= ,f3(x)=f(f2(x))= , x+2 3x+4 7x+8

x f4(x)=f(f3(x))= ,? 15x+16 根据以上事实,由归纳推理可得: + 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.

3.(2010· 江苏)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+ * 1,其中 k∈N .若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________.

?an,当an为偶数时, ? 4.(2009· 湖北)已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 2 ?3an+1,当an为奇数时. ?
若 a6=1,则 m 所有可能的取值为________.

5.(2010· 上海)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-5an-85,n∈N*. (1) 证明:{an-1}是等比数列; 5 1 5 1 (2) 求数列{Sn}的通项公式,并求出使得 Sn+1>Sn 成立的最小正整数 n. 15< , 14> 6 15 6 15

6.(2011· 重庆)设实数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=an+1Sn(n∈N*). (1) 若 a1,S2,-2a2 成等比数列,求 S2 和 a3; 4 (2) 求证:对 k≥3 且 k∈N*有 0≤ak+1≤ak≤ . 3

bn (本小题满分 12 分)数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列,设 cn= (n∈N*). an (1) 数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论; Sn n (2) 设数列{lnan}、{lnbn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 a1=2, = ,求数列{cn} Tn 2n+1 的前 n 项和. 解:(1) {cn}是等比数列.(2 分) 证明:设{an}的公比为 q1(q1>0),{bn}的公比为 q2(q2>0),则 cn+1 bn+1 an bn+1 an q2 = ·= · = ≠0,故{cn}为等比数列.(5 分) cn an+1 bn bn an+1 q1 (2) 数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为 lnq1 和 lnq2 的等差数列. n?n-1? nlna1+ lnq1 2 2lna1+?n-1?lnq1 n n 由条件得 = ,即 = . n?n-1? 2n+1 2lnb1+?n-1?lnq2 2n+1 nlnb1+ lnq2 2 即(2lnq1-lnq2)n2+(4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2)n+(2lna1-lnq1)=0.

(7 分)

?2lnq1-lnq2=0, ? 上式对 n∈N*恒成立.于是?4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=0, ?2lna -lnq =0. ? 1 1
将 a1=2 代入得 q1=4,q2=16,b1=8.(10 分) 从而有 cn= 8· n 1 16 n - =4 . 2·n 1 4


4 所以数列|cn|的前 n 项和为 4+42+?+4n= (4n-1).(12 分) 3


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