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高二理随机变量及分布列数学试题 2012


高二理随机变量及分布列数学试题

2016.5.1

本试卷分第工 卷(选择题)和第 11 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟· 第工卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知某离散型随机变量 ξ

的分布列如下: ξ P 则常数 k 的值为( 1 A.n2 1 C. 2n-1 1 k 2 3k ) 1 B.n 1 D. n?2n-1? 3 5k ? ? n (2n-1)k

i 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=2a(i=1,2,3),则 P(X=2)等 于( ) 1 A.9 1 C.3 1 B.6 1 D.4

c 3.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ=k)= ,k=1,2,3,4,其中 k?k+1? 1 5 c 是常数,则 P(2<ξ<2)值为( 2 A.3 4 C.5 ) 3 B.4 5 D.6

4.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个 村庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等 C74C86 于 C 10 的是( 15 A.P(X=2) C.P(X=4) ) B.P(X≤2) D.P(X≤4)

3 1 5.设某批产品合格率为4,不合格率为4,现对该产品进行测试, 设第 ξ 次首次测到正品,则 P(ξ=3)等于( 1 3 A.C32(4)2×(4) 1 3 C.(4)2×(4) )

3 1 B.C32(4)2×(4) 3 1 D.(4)2×(4)

6.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋 中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 ?n-m?Am2 的是( An3 A.P(ξ=3) C.P(ξ≤3) ) B.P(ξ≥2) D.P(ξ=2)

7.箱内有大小相同的 6 个红球和 4 个黑球,从中每次取 1 个球 记下颜色后再放回箱中,则前 3 次恰有 1 次取到黑球的概率为( 1 A.2 3 C.10 36 B.125 54 D.125 )

8.将 1 枚硬币连续抛掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率与出现 k+1 次正面的概率相同,则 k 的值是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

9.如右图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关 1 的概率都是2,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为( 1 A.8 1 C.2 1 B.4 1 D.16 )

10. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动: 质点每次移动 一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都 1 是2.质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( 1 A.(2)5 1 C.C53(2)3 1 B.C52(2)5 1 D.C54C22(2)5 )

5 11. 设随机变量 ξ~B(2, p ), η~B(4, p)若 P(ξ≥1)=9, 则 P(η≥2) 的值为( 32 A.81 65 C.81 12.已知 X 的分布列为 X p -1 1 2 0 1 6 1 a ) ) 11 B.27 16 D.81

设 Y=2X+1,则 Y 的数学期望 E(Y)的值是( 1 A.-6 C.1 2 B.3 29 D.36

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次 独立重复试验中,这事件 A 发生偶数次的概率为________. 14.若 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布如下表,则 E(X) 的最大值为________,D(X)的最大值为________. X P 0 1 2-p 1 p 2 1 2

15.随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),已知 P(ξ<0)=0.3,则 P(ξ<2)=________.

16.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 ξ、η,其分布列分别为: ξ P η P 0 0.4 0 0.3 1 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.2 3 0.1

若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是 ________. 三、解答题(共 70 分) 17.(10 分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教 版 5 北师大 版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概 率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的 教师人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列. 18.(12 分)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统 计,最近 100 周的统计结果如下表所示: 周销售 量 频数 2 20 3 50 4 30

(1)根据上面的统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的 频率; (2)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求: ①4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; ②该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率. 19. (12 分)某高校为了参加“CBA 杯”河北省大学生篮球联赛暨 第十届 CUBA 河北省选拔赛, 需要在各班选拔预备队员, 规定投篮成 绩为甲级的可作为入围选手,选拔过程中每人投篮 5 次,若投中 3 次 则确定为乙级,若投中 4 次及以上则可确定为甲级,一旦投中 4 次, 即终止投篮,已知某班同学小明每次投篮投中的概率是 0.6. (1)求小明投篮 4 次才被确定为乙级的概率; (2)设小明投篮投中的次数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 20.(12 分)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若 能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通 过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,再由第三位专家 进行复审, 若能通过复审专家的评审, 则予以录用, 否则不予录用. 设

稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审 的概率为 0.3.各专家独立评审. (1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (2)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分 布列及期望. 21.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以 每枝10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关 于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得 下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位: 元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。

22.(12 分)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,该商场决定从 2 种服装商品、2 种家电商品、3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促 销活动. (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (2)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商 品现价的基础上将价格提高 150 元.同时,若顾客购买该商品,则允 许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 m 元的奖 1 金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是2,请问:商场应将每 次中奖奖金数额为 m 最高定为多少元, 才能使促销方案对商场有利?

高二理随机变量及分布列数学试题答案 一、选择题 ACDCC DDCAB BB 二、填空题 1 3 13 答案:2[1+(1-2p)n] 14.答案:2 1 16.答案:乙 三、解答题(共 70 分)

2016.5.1

15.答案:0.7

17.解:(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C502=1225. 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C202+C152+C52+C102=350.

350 2 故 2 人使用版本相同的概率为:P=1225=7. C152 3 C201C151 60 (2)∵P(ξ=0)=C 2=17,P(ξ=1)= C 2 =119, 35 35 C202 38 P(ξ=2)=C 2=119, 35 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 3 17 1 60 119 2 38 119

18.解:(1)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2、0.5 和 0.3. (2)①P1=1-0.74=0.7599. ②P2=C43×0.5×0.33+0.34=0.0621. 故 4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率为 0.7599; 该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率为 0.0621. 19.解:(1)设“小明投篮 4 次才被确定为乙级”的事件为 A,则 P(A)=0.6×C32(0.6)2×0.4=0.2592. (2)变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4, P(X=0)=(0.4)5=0.01024, P(X=1)=C51(0.6)×(0.4)4=0.0768, P(X=2)=C52(0.6)2×(0.4)3=0.2304, P(X=3)=C53(0.6)3×(0.4)2=0.3456, P(X=4)=(0.6)4+C43(0.6)3×0.4×0.6=0.33696, X 的分布列为: X P 0 0.0102 1 0.076 2 0.230 3 0.345 4 0.3369

4

8

4

6

6

EX = 0×0.01024 + 1×0.0768 + 2×0.2304 + 3×0.3456 + 4×0.33696=2.92224. 20.解:(1)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用. 则 D=A+B· C, P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5=0.5,P(C)=0.3, P(D)=P(A+B· C) =P(A)+P(B· C) =P(A)+P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.4 (2)X~B(4,0.4), P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296, P(X=1)=C41×0.4×(1-0.4)3=0.3456, P(X=2)=C42×0.42×(1-0.4)2=0.3456, P(X=3)=C43×0.43×(1-0.4)=0.1536, P(X=4)=0.44=0.0256, 其分布列为 X P 0 0.129 6 1 0.345 6 2 0.345 6 3 0.153 6 4 0.025 6

期望 EX=4×0.4=1.6. 21.【解析】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80

当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?
?10n ? 80(n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80
P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X
X

的分布列为
60 0.1 70 0.2 80 0.7

P

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76
DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4

76.4 ? 76 得:应购进 17 枝

22.解:(1)从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选 出 3 种商品一共有 C73 种选法.选出的 3 种商品中没有日用商品的选 法有 C43 种,所以选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率为 C43 31 p=1-C 3=35. 7 (2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为 ξ, 其所有可能值为 0,m,2m,3m. ξ = 0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P(ξ = 0) = 1 1 1 C30(2)0×(2)3=8. 1 1 3 同理可得 P(ξ=m)=C31(2)1×(2)2=8, 1 1 3 P(ξ=2m)=C32(2)2×(2)1=8,

1 1 1 P(ξ=3m)=C33(2)3×(2)0=8. 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 1 3 3 1 Eξ=0×8+m×8+2m×8+3m×8=1.5m. 要使促销方案对商场有利, 应使顾客所获奖金总额的期望值不大 于商场的提价数额,因此应有 1.5m≤150,所以 m≤100. 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元, 才能使促销方案对商 场有利.


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