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随州一中2015-2016下学期期中考试高二数学(理科)试卷


随州一中 2016 年度下学期期中考试 高二数学试题(理科)
命题人:姚仁波 审题:程选庭 考试时间:120 分钟 分值:150 分

一.选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分。) 1.抛物线 y ? x2 的焦点坐标为( A )

1 1 1 (0, ) ( , 0) C D (0, ) 4 2 2 2

.若复数 z 满足 ( z 1? i) ? 1? i ? i ,则 z 的实部为(

(2, 0)

B

) D.

A.

2 ?1 2

B.

2 ?1

C. 1

2 ?1 2

3.若命题 P: ?x ? R,使得 x2 ? x ? 1 ? 0? 则 P 的否定为( ) A
2 ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0
2

B

?x ? R,则 x2 ? x ? 1 ? 0 .

?x ? R 则 x2 ? x ? 1 ? 0? C ?x ? R 则 x ? x ? 1 ? 0 D 4. 已知命题 p : 在 ?ABC 中, ?C ? ?B 是 sin C ? sin B 的充分必要条件;命题 q : a ? b 是
ac 2 ? bc 2 的必要不充分条件,则( A. p 真 q 假 B. p 假 q 真

? ? ? 5.已知 a ? (1, ?1,3) , b ? (?1, 4, ?2) , c ? (4,5, ? ) ,若 a , b , c 三向量共面,则实数 λ
等于( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 已 知 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 2 x ? y ? 1 ? 0 , 若

) C.“ p ? q ”为假

D.“ p ? q ”为真

x ' ,则 g (1) ? ( ) f ( x) 1 1 1 A. B. C. D.2 4 9 2 ? ?? ? ? ? ?? 7.已知向量 a, b, c 是空间的一个单位正交基底,向量 a ? b, a ? b, c 是空间的另一个基底, ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? 若向量 p 在基底 a, b, c 下的坐标为(3,2,1),则向量 p 在基底 a ? b, a ? b, c 下的坐标为 g ( x) ?
( A )

5 1 ( , ,1) D (2,1,3) 2 2 x2 y 2 2 2 ? ? 1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近 8.已知双曲线 my ? x ? 1 (m ? R) 与椭圆 4 8

(1, 2,3)

B

2 1 ( , ,1) 3 2

C

线方程为(

) B. y ? ?

1 x D. y ? ?3x 3 ' 9.等比数列 {an } 中,a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )(x ? a2 ) ? ? ? ( x ? a8 ) ,则 f (0) ?
A. y ? ? 3x

3 x 3

C. y ? ?




高二数学试卷(理科) 第 1 页 共 8 页

A.26 B.29 C.212 2 x 10. 函数 f(x)=(x ﹣2x)e (e 为自然数的底数)的图象大致是(

D.215 ).

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F , 短 轴 的 一 个 端 点 为 M , 直 线 a 2 b2 4 l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点,若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于 , 5 则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) ? 3 ? 3 ? 3? ?3 ? ,1? ] A. (0, B. ? 0, ? C. ? D. ? ,1? ? 2 ? 4? ?4 ? ? 2 ?
11. 已 知 椭 圆 E : 12. 设 y ? f '' ( x) 是 y ? f ' ( x) 的 导 数 . 某 同 学 经 过 探 究 发 现 , 任 意 一 个 三 次 函 数 都有对称中心 ( x0 , f ( x0 )) , 其中 x0 满足 f '' ( x0 ) ? 0 . 已 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d( a ? 0 ) 1 3 1 2 5 知 f ( x) ? x ? x ? 3x ? ,则 3 2 12 1 2 3 2015 f( )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( ) ?( ) 2016 2016 2016 2016 A.2013 B.2014 C.2015 D.2016 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 + x ? 6在(??, ??) 上既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围 为 14 设 F 是双曲线 C:
0

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使得线段 PF 的中点恰为 a 2 b2

其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 15.如图, 120 的二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分 别 在 这 个 二 面 角 的 两 个 半 平 面 内 , 且 都 垂 直 于 AB , 已 知 AB=4,AC=6,BD=8 则 CD= 16.在平面直角坐标系中,定义 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 之间的“直角 距离”为 d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | 则: ① 动点 C ( x, y) 到坐标原点的“直角距离”等于 1,则动点 C 的轨迹关于 x 轴, y 轴,原点 对称. ②已知 A(?1,0), B(1,0) ,则满足到 A 的“直角距离”等于到 B 的“直角距离”的动点 C 的 轨迹是一条长度为 2 的线段.

x2 y 2 ? ? 1} ③设 F 1 ) ? d (C , F2 ) ? 4} ? {C ( x, y ) | 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,则 {C ( x, y ) | d (C , F 4 3
三个命题中,正确命题的序号为
高二数学试卷(理科) 第 2 页 共 8 页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

1 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线;命题 q : ?x ? (0, ??), m ? x ? 设命题 p : x m?4 m?2 若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x ,其中 a ? R . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 的点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值为-2,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) .如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,E,F 分别为 AC , DA ' 上的动点, 且 CE 和 DF 的长度相等,记 CE=DF= t ( 0 ? t ? 2 2 ) 。 (1)求 EF 的长(用 t 表示) ; (2)当 EF 的长最小时,求异面直线 EF 与 DB ' 的所成角的大小.

20.(本小题满分 12 分) 如图,己知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,过 F 的直线 l
2

交抛物线于 A,B 两点, l1,l2 分别是抛物线在 A、B 处的切线,且

l1,l2 的交点 M 恰好在 y=-1 上,求抛物线 C 的方程.

高二数学试卷(理科)

第 3 页 共 8 页

21. (本小题满分 12 分) 如图,平面 ABCD ? 平面 ABE ,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, F 为 CE 上的 点,且 BF ? 平面 ACE . (1)求证 AE ? 平面 BCE ; (2)设

若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由.

AE 3 ? ? ,是否存在 ? ,使二面角 B ? AC ? E 的余弦值为 ? EB 3

22. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中, | AB |? 4,| BC |? 2 2 , E , F , G, H 分别是矩形四条边的中点,分 别以 HF , EG 所在的直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系, 已知 OR ? ?OF , CR ' ? ?CF ( 1 ) 证 明 : 直 线 ER 与 直 线 GR ' 的 交 点 M 在 椭 圆 ? :

??? ?

??? ? ????

??? ?

x2 y 2 ? ? 1 上. 4 2 (2)设直线 l 过点 (1, 0) 且与椭圆 ? 交于 P, Q 两点,试判断 9 点 ( , 0) 与以 PQ 为直径的圆的位置关系,并说明理由. 4

高二数学试卷(理科)

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高二数学(理科)期中考试 参考答案 一、选择题 1-5 BABDC 二、填空题

6-10 CCACA 11-12 BC

13、 (??, 0) ? (0, ) 15、 2 41

1 3

14、 5 16、①③

三、解答题 17、解:依题意,当 P 为其真命题时

(m ? 4)(m ? 2) ? 0

??2 ? m ? 4

2分 4分

当q为真命题时,m ? 2 ? p ? q为真,p ? q为假,? p ? q一真一假. ? ?2 ? m ? 4 当p为其q为假时 ? ?m ? 2

?2 ? m ? 4

6分

?m ? ?2或 ? 4 当p为假,q为真时 ? ? m ? -2 ?m ? 2 综上可知,m的取值范围为(-?,-2]?(2,4)
18、解:(1)

8分 10分

? f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? 1nx 当a =1时,f ( x)=x 2 ? 3x ? 1nx 1 x f '( x) ? 2 ? 3 ? 1=0 f '( x)=2 x ? 3 ? x?0 2分

x?0

而f (1) ? a ? (a ? 2) ? 0 ? ?2 ?曲线y =f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为y = ? 2
1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? x x 1 1 2a( x ? )( x ? ) (2 x ? 1)(ax ? 1) 2 a ? f '( x) ? ? 6分 x x 1 当 ? 1时,即a ? 1时, f ( x)在[1,e]上为增函数 a f ( x) min ? f (1) ? ?2成立 8分 (2) ?当a ? 0时f '( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? 当1 ? 1 1 1 1 ? e时,f ( x)在[1, ]上为减[ , e]上为增函数,f ( x) min ? f ( ) ? f (1) ? ?2不成立 a a a a 10分

4分

高二数学试卷(理科)

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1 当 ? e时,f ( x)在[1, e]上为减函数 a f ( x) min ? f (e) ? f (1) ? ?2不成立 综上所知,a的取值范围为[1, ? ?)
19、解:

12分

(1)依题意,以DA,DC,DD ' 所在直线为 x,y,z轴建痒痒空间直角坐标系 |AC|=2 2 |DA ' | =2 2 CE=DF ? t ??? ? ??? ? t t t t ? CE= CA= (2, ?2, 0)=( ,- ,0) 12 12 2 2 2 2 t t ? E ( ,- ,0) 12 12 ??? ? ?? ?? ? t t t t DF= DA' ? (2, 0, 2) ? ( ,0, ) 12 12 2 2 2 2 10分 2分 ? A(2,0,0) C(0,2,0) D(0,0,0) A'(2,0,2)

t t t t ?| EF |? ( , ) 2 ? (2- -0)2 +( -0)2 ? t 2 ? 2 2t ? 4 12 12 12 12 t ? [0, 2 2) 6分

(2)由(1)知 | EF | = t 2 ? 2 2t ? 4 ? (t ? 2) 2 ? 2 当t = 2时|EF|有最小值,此时E,F分别为AC,AD '的中点 ??? ???? ? ? EF=(0, ? 11) , DB '=(2,2,2) ??? ???? ? ? ? EF ? DB '= ? 2 ? 2=0 ? EF与DB ' 所成的角为 2 (其他求法酌情给分)
(3)假设存在T (t , 0)使得x轴平行?PNQ 即K PN ? KQN =0 ? ? y1 y ? 2 ?0 x1 ? t x2 ? t y1 y2 ? ?0 my1 ? t ? 1 my2 ? t ? 1

8分

12分

? 2my1 y2 ? (t ? 1)( y1 ? y2 ) ? 0 3 ?2m ) ? (t ? 1) ? 2 ?0 m ?2 m ?2 ?[?6 ? 2(t ? 1)]m ? 0 ? 2 m( ? ?t ? 2 即存在t (2, 0)使得x轴平分?PNQ
20、解:(1)依题意,
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2

12分

E (0, ? 2) ? R(2? , 0) G (0, 2)

??? ? ??? ? OR ? ? OF ? ? (2, 0) ? lER : y ? 2 2? x? 2

R( ' 2, 2(1-? )) 2 ?? 2 2

? lGR ' : y ? ?

? 2 x? 2 ?y ? ? 2? 联立 ? ?y ? ? 2 ?x ? 2 ? ? 2
?

解得M(

4? 2(1 ? ? 2 ) , 2 ) ?2 ?1 ? ?1

16? 2 2(1 ? ? 2 ) 2 4? 2 ? (1 ? ? 2 ) 2 ? = =1 4(? 2 ? 1)2 2(? 2 ? 1)2 (? 2 ? 1)2 x2 y 2 ? M在椭圆 ? ? 1上 4 2

4分

(2) ?当l的等率为0时,P ? Q与椭圆端点重合 ? N点在圆外 ?当l的斜率不为0时,设lPQ ty ? x ? 1 P ( x1 y1 )Q ( x2 y2 ) ?ty ? x ? 1 ? 2 ?x y2 ?1 ? ? ?4 2 ? y1 ? y2 ? ? 消x得: (2 ? t 2 ) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0 2t 2 ? t2 y1 y2 = ? 3 2 ? t2

8分

??? ? ???? 9 9 9 9 NP ? NQ ? ( x ? ? y1 ) ? ( x2 ? ? y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 4 4 4 4 5 5 5 25 ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 4 4 4 16 25 25 2 17 2 1 5 2 ? t t ? t ?3t 2 ? 3 2 8 16 ? 16 8 ?0 ? ? ? 2 2 2 2 2?t 2?t 2?t 2?t ? N 在以PQ为直径的圆外 综上可知,N在以PQ为直径的圆外 8分

高二数学试卷(理科)

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22、解: ?y?

1 2 x 2p

?y'?

x p

设A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ? l1 y ? 1 1 2 x1 x ? x1 p 2p 1 1 2 l2 y ? x2 x ? x2 p 2p x x 联立解得y ? A B ? ?1 x A ? xB ? ?2 p 2p p 设l : y ? kx ? 代入x 2 ? 2 py得 2 2 x ? 2 pkx ? p 2 ? 0 ? x A ? xB ? ? p2 ? ?2 p

即抛物线的方程为x 2 ? 4 y

高二数学试卷(理科)

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