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高二数学理科下学期期末考试试卷(5.22)


高二 A 部数学试题(5.22)
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.复数

(1 ? i) 4 +2 等于 1? i
B.-2i
n ??

( C.1-I D.2i ( D.0<b<a



A.2-2i

2.若 a, b ? R, 则 lim( ) 存在的一个充分不必要条件是
n

a b



A.b>a

B.b<a

C.b<a<0

3.抽屈中有 10 只外观一样的手表,其中有 3 只是坏的,现从抽屈中随机地抽取 4 只,那么

1 等于 6
A.恰有 1 只是坏的概率 C.恰有 4 只是好的概率 B.恰有 2 只是坏的概率 D.至多 2 只是坏的概率





4.将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有 4 种颜色可供使用,则不同的染色的方法数为 ( ) A.24 B.60 C.48 D.72 5.设 f ( x) ? ?

?2 x ? p, x ? 0, 若l im f ( x) 存在,则常数 p 的值为 x x ?0 ?e , x ? 0





A.-1 B.0 C.1 D.e 6.环卫工人准备在路的一侧依次载种 7 棵树,现只有梧桐树和柳树可供选择,则相邻两棵 树不同为柳树的栽种方法有 ( ) A.21 B.34 C.33 D.14 7.已知(5x-3) 的展开式中各项系数的和比 ( x ? y ?
n

1 2n ) 的展开式中各项系数的和多 1023, y
( ) D.12

则 n 的值为 A.9
m

B.10

C.11

8.设函数 f ( x) ? x ? tx的导数f ?( x) ? 2 x ? 1, 则数列?

? 1 ? ?(n ? N *) 的前 n 项和为 ? f (n) ?
( )

A.

n ?1 n

B.

n ?1 n

C.

n n ?1
1

D.

n?2 n ?1

9.设ξ是离散型随机变量, P(? ? x1 ) ?

2 1 , P(? ? x 2 ) ? , 且x1 ? x 2 , 又已知 3 3
( C.3 D. )

4 2 , D? ? , 则x1 ? x 2 的值为 3 9 5 7 A. B. 3 3 E? ?

11 3

10.已知关于 x 的方程 x 2 ? 2(a ? 3) x ? 9 ? b 2 ? 0 ,其中 a,b 都可以从集合{1,2,3,4,5,6}中 ( ) 2 , 4 2 n?1 , 11.设 n 是奇数, x ? R, a, b分别表示 0 的项的个数,那么 ( x ? i) 的展开式中系数大于 0 与小于 6 ( ) A.a=b+2 B.a=b+1 C.a=b D.a=b-1 任意选取,则已知方程两根异号的概率为

1 A. 6

1 B. 2

1 C. 12

1 D. 3

12.设函数 f ( x), g ( x)在[a, b]上均可导 , 且f ?( x) ? g ?( x),则当a ? x ? b 时,有 ( A. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a ) B. f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填空写在题中的横张上。 13.儿童救助协会由 10 位女性委员与 5 为男性委员组成,协会将选取 6 位委员组团出国考察,如以 性别作分层,并在各层依比例选取,则此考察团共有 种组成方式。 14.某中学有六位同学参加英语口语演讲比赛的决赛,决出了第一至第六的名次。评委告诉甲、乙两 位同学: “你们两位都没有拿到冠军,但乙不是最差的。 ”则六位同学的排名顺序有 种不 同情况(要求用数字作答) 。

15.若 f ( x) ?

1? 1? x 1? 3 1? x

在x ? 0 处连续,则 f(0)=

16.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,他连续射击 4 次,有各次射击是否击中目标相互之间 没有影响。有下列结论: (1)第二次击中目标的概率是 0.8; 3 (2)恰好击中目标三次的概率是 0.8 ×0.2; 4 (3)至少击中目标一次的概率是 1-0.2 ;
2

其中正确的结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 为应对艾滋病对人类的威胁,现在甲、乙、丙三个研究所独立研制艾滋病疫苗,他们能够成 功研制出疫苗的概率分别是

1 1 1 , , ,求: 2 3 4 99 ,至少需要多少个乙 100

(1)恰有一个研究所研制成功的概率; (2)若想在到研制成功(即至少有一个研究所研制成功)的概率不低于 这样的研究所?(参考数据:lg2=0.3010, lg3=0.4771)

18. (本题满分 12 分) 在 (2 x ?

1 n ) 的展开式中,第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大 27,求展开式中 x2

的常数项及系数最大的项。

19. (本题满分 12 分) 袋子中共有 12 个球,其中有 5 个黑球,4 个白球,3 个红球,从中任取 2 个球(假设取到每 个球的可能性都相同) 。已知每取到一个黑球得 0 分,每取到一个白球得 1 分,每取到一个红球得 2 分。用ξ表示任取 2 个球的得分的差的绝对值。 (1)求椭机变量ξ的分布列及ξ的数学期望 Eξ; (2)记“不等式 ?x ? ?x ?
2

1 ? 0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概率 P(A) 。 2

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) x ?a
2

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极值; (2)若存在 x0 ? (0,1),使f ?( x0 ) ? [ f ( x0 )]2 ? 0 成立,求实数 a 的取值范围。

3

21. (本题满分 12 分) 已知正数数列 {a n }的前n项和S n ? (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法 证明你的结论; .....

1 1 (a n ? ), 2 an

22. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? ln( 1 ? x) 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围。
2

1 e

4

[参考答案]

一、选择题:每小题 5 分,共计 60 分。 B d C D d B B C C 二、填空题:每小题 4 分,共计 16 分。 13.2100 14.384 15. 10 ? 6 3

B

C c 2 , 4 , 6

16.①③

三、解答题: 17.解: (1)记“恰有一个研究所研制成功”为事件 A,则

1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 11 故恰有一个研究所研制成功的概率为 24 P( A) ?
(2)设至少需要 n 个乙这样的研究所,则有

????6 分

2 99 2 n 1 2 1 1 ? ( )n ? ,( ) ? , n lg( ) ? lg( ) ? ?2 3 100 3 100 3 100

?n ?

2 ? 11.35 lg 3 ? lg 2

? n ? Z ,? n 的最小值=12
故至少需要乙这样的研究所 12 个。
2

????12 分

2 1 18.解:由已知得: Cn ? Cn ? 27 ,化简得: n ? 3n ? 54 ? 0

解得:n=9,n=-6(舍)
r r 9?r 9?3r (1) Tr ?1 ? C9 (2x) 9?r x ?2r ? C9 2 x 3 6 令 9 ? 3r ? 0, 则r ? 3,?T4 ? C9 2 ? 5376

????4 分

故展开式的常数项为 5376; (2)若设第 r+1 项的系数最大,则有: ? 解得:

????8 分
r 9? r r ?1 9 ? r ?1 ? ?C 9 2 ? C 9 2 r 9? r r ?1 9 ? r ?1 ? ?C 9 2 ? C 9 2

7 10 ?r? , 3 3

? r ? Z ,? r ? 3,?T4 ? 5376为系数最大项(12 分)
19.解: (1)由已知可得ξ的取值为:0,1,2,

5

2 C52 ? C 4 ? C32 19 P(? ? 0) ? ? , 2 66 C12

P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?

1 1 1 1 C5 C4 ? C4 C3 32 ? , 2 66 C12 1 1 C5 C3 15 ? , 2 66 C12

(4分)

∴ξ的概率分布列为: ξ P 0 1 2

16 5 22 33 19 16 5 31 ∴ξ的数学期望为 Eξ=0× +1× +2× = 66 22 33 33
(2)显然ξ=0 时不等式成立; 若ξ≠0,则有:

19 66

?? ? 0 ? ? 0?? ? 2 ? 1 ? ? ? 2 ? 4? ? ? 0 ? 2 ? ? 0 ? ? ? 2,? P( A) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 19 32 51 ? ? (12分) 66 66 66

20(1)m>

23 ? 4 3 ,(2)m=3 12

21.解: (1) a1 ? 1; a2 ? (2)猜想 an ?

2 ? 1; a3 ? 3 ? 2

n ? n ?1

证明:①当 n ? 1 时,由a1 ? 1 ? 1成立 ②假设 n ? k (k ? N*) 时结论成立 ,即ak ? 当 n ? k ? 1时, a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?

k ? k ? 1,

1 1 1 1 (a k ?1 ? ) ? (a k ? ) 2 ak ?1 2 ak

6

1 1 1 1 (a k ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) 2 a k ?1 2 k ? k ?1 1 1 1 ? (a k ?1 ? ) ? ( k ? k ? 1 ? k ? k ? 1) 2 a k ?1 2 ? ? a k ?1 ? 1 1 (a k ?1 ? )? k 2 a k ?1
? 2 k ? 4k ? 4 ? k ?1 ? k 2

(7分)

(9分)

2 从而有 ak ?1 ? 2 k a k ?1 ? 1 ? 0, 又由a k ? 0, 解得a k ?1 ?

这说明当 n=k+1 时结论成立。 由①②可知, an ?
2

n ? n ? 1 对任意正整数 n 都成立。 (12 分)
2

22.解:因为 f ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x) 所以 f ?( x) ? 2(1 ? x) ? (1)令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 1? x

2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x
(3 分)

? ?2 ? x ? ?1 或 x>0,所以 f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) ;

令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x

。 (6 分) ? ?1 ? x ? 0或x ? ?2, 所以f ( x) 的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2) (2)令 f ?( x) ? 0 ? (1 ? x) ? 1 ? x ? 0或x ? ?2 (舍) ,由(1)知,f(x)连续,
2

1 1 ? f ( ? 1) ? 2 ? 2, f (0) ? 1, f (e ? 1) ? e 2 ? 2, e e 1 所以, 当x ? [ ? 1, e ? 1]时, f ( x)的最大值为e 2 ? 2. e
因此可得:f(x)<m 恒成立时,m>e -2 2 (3)原题可转化为:方程 a=(1+x)-ln(1+x) 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。
2

2 , 令g ?( x) ? 0, 解得 : x ? 1, 1? x 当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0,? g ( x)在(0,1)单调递减, 令g ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x) 2 , 则g ?( x) ? 1 ? 当x ? (1,2)时, g ?( x) ? 0,? g ( x)在(1,2)单调递增 . ? g ( x)在x ? 0和x ? 2点处连续, 又 ? g (0) ? 1, g (1) ? 2 ? ln 4, g (2) ? 3 ? ln 9,
7

(12分) 且 2 -

ln4<3-ln9<1,∴ g ( x) 的最大值是 1, g ( x) 的最小值是 2-ln4。 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是: 2-ln4<a≤3-ln9 (14 分)

8


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