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湖南省怀化市湖天中学高中数学 2.5等比数列的前n项和(1)学案 新人教A版必修5


湖南省怀化市湖天中学高中数学 2.5 等比数列的前 n 项和(1)学案 新人教 A 版必修 5
学习目标 1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

学习重难点 1.重点: 等比数列的前 n 项和公式的推导 2.难点:等比数列的前 n 项和公式实际应用 一、课前回顾 复习 1:什么是数列前 n 项和?

等差数列的数列前 n 项和公式是什么? 复习 2:已知等比数列中, a3 ? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 . 二、新课探究 ※ 学习探究 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事: “国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 , an 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? 公式的推导方法一: 2 n?2 n ?1 ? ?S ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? a1q ? (1 ? q)Sn ? 则? n , ? ?qSn ? 当 q ? 1 时, Sn ? 当 q=1 时, Sn ? 公式的推导方法二: 由等比数列的定义, 即
S n ? a1 ?q. S n ? an

an ,公比为 q≠0,



或 Sn ?



a2 a3 ? ? a1 a2

?

an a ? a3 ? ? an S ? a1 ? q ,有 2 ? n ?q, an ?1 a1 ? a2 ? ? an ?1 Sn ? an

∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上)
an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? an?1 ) = a1 ? qSn ?1 = a1 ? q(Sn ? an ) .

公式的推导方法三: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ∴

(1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上) 1 1 1 试试:求等比数列 , , ,?的前 8 项的和. 2 4 8

※ 试一试 习 1 已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

习 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位 )?

1

※ 模仿练习

3 9 练 1. 等比 数列中, a3 ? , S3 ? ,求a1及q. 2 2 练 2. 一个球从 100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它 第 10 次着 地时,共经过的路程是多少?(精确到 1m)
三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程 组可以求出 其余的两个. ※ 知 识拓展 1. 若 q ? ?1, m ? N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 qm . a 2. 若三个数成等比数列 ,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等 q 比数列, a a 可设这四个数为 3 , , aq, aq 3 . q q 3. 证明等比数列的方法有: a (1)定义法: n ?1 ? q ; (2)中项法: an ?12 ? an an ? 2 . an
?S ? a1 4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? 1 表示. ?Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 1)

当堂检测 1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为 ( ). n n ?1 n? 2 1? a 1? a 1? a A. B. C. D . 以上都不对 1? a 1? a 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2,且 a1a2 a3 ??? a30 ? 230 ,那么 a3 a6 a9 ? ? ? a30 ? ( ). A. 210 B. 2 20 C. 1 D. 260 4. 等 比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 . 5. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a= 课后作业 1. 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4. .

2. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 a5 ? 32 ,求 S6 .
2

课后反思

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