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2013-2014版高中数学(苏教版)必修二同步课堂配套ppt课件:第二章 平面解析几何初步1.1.1 (5)


1.2.2

空间两条直线的位置关系
第 1 课时

空间两直线的位置关系及等角定理
【课标要求】 1.了解两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义, 并能判断两条直线是否是异面直线. 2.理解公理 4 和等角定理.并会用公理 4 证明线线平行.

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【核心扫描】 1. 判断两条直线是否是异面直线以及理解公理 4 与等角定 理.(重点) 2.异面直线定义的理解.(难点)

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自学导引 1.异面直线: 不同在任何一个平面内 叫做异面直线. 2.空间两条直线的位置关系: 的两条直线

平行直线 、 相交直线、 异面直线 .
3.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.该公 理可用符号语言叙述为: a∥c,b∥c?a∥b .

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4. 等角定理: 空间中如果两个角的两边分别 平行并且方向, 那么这两个角 相等 .

想一想:1.空间两条直线位置关系如何分类?
提示 按交点个数分类,得
? ?平行或异面?0个交点? 两条直线位置关系? ? ?相交?1个交点?

按是否共面分类,得
? ?相交或平行?共面? 两条直线位置关系? ? ?异面?不共面?

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2.一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角一 定相等吗? 提示 角的两边对应平行,且方向相同,这两个角才相等, 两个条件缺一不可.

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题型一 异面直线的判定 【例 1】 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是矩形 BCC1B1 的中心,F 是矩形 ADD1A1 的中心,连接 AE、B1F,求证:AE 与 B1F 是异面直线.
[思路探索] 根据异面直线的判定,关键是寻找定理满足的 条件.

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证明 如图,连接 A1D 和 B1C. ∵E、 F 分别为矩形 BCC1B1 和 ADD1A1 的中心, ∴F∈A1D, E∈B1C. ∵A1B1∥CD, ∴A1B1、CD 可以确定一个平面 A1B1CD, ∴B1F?平面 A1B1CD. ∵E∈平面 A1B1CD,E?B1F,且 AB∥A1B1, ∴A?平面 A1B1CD,∴AE 与 B1F 是异面直线.
规律方法 用定理法判定两条直线异面时, 要找齐定理的条 件,这些条件缺一不可.
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【训练 1】 如图,a,b,c 是不共面的三条直线,它们相 交于点 M,且 A,D 是直线 a 上异于 M 的不同两点,B,C 分 别是直线 b,c 上异于 M 的两点. 求证:BD 与 AC 是异面直线.

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证明 设相交直线 a,b 确定平面 α, ∵D∈a,a?α, ∴D∈α.同理,B∈α. ∴BD?α, 又∵A∈a,a?α,∴A∈α,而 A?BD,C?α, ∴BD 与 AC 是异面直线.

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题型二 等角定理及其应用 【例 2】 下列说法中,正确的序号为________. ①如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么 这两条相交直线所成的锐角或直角相等; ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这 两个角相等或互补; ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平 行; ④∠ AOB = 30° ,若 A′O′∥ AO , B′O′∥ BO ,则∠
A′O′B′=30° 或 150° .
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[思路探索] 根据等角定理和两直线的平行概念逐一判断.
解析 由等角定理知,①正确,④正确,对于②,可知如

图所示的正方体中,取∠ABC 和∠BCB1,显然有 AB⊥B1C,BC ⊥B1B,但∠ABC=90° ,∠BCB1=45° ,故②错;当两直线没有 公共点时,尽管它们位于不同的平面内,但也可以平行或异面, 故③错,因此正确的只有①④.

答案 ①④

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规律方法 等角定理的实质是由两个结论合成的: ①若一角 的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角 相等;②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组边 的方向相反,那么这两个角互补.

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【训练 2】 如图所示,两个三角形 ABC 和 A′B′C′的 AO 对应顶点的连线 AA′、BB′、CC′交于同一点 O,且 = OA′ BO CO 2 = = . OB′ OC′ 3 (1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC; (2)求 的值. S△A′B′C′ S△ABC

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AO BO 2 (1)证明 ∵AA′与 BB′交于点 O,且 = = , OA′ OB′ 3 ∴AB∥A′B′.同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′. (2)解 ∵A′B′∥AB, AC∥A′C′且 AB 和 A′B′、 AC

和 A′C′方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠ A′B′C. AB AO 2 因此△ABC∽△A′B′C′,且 = = . A′B′ OA′ 3
?2? ? ?2 4 ∴ = 3? = . 9 S△A′B′C′ ? ? ?

S△ABC

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题型三 平行的证明及应用 【例 3】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, E、 F 分别为 AA1、 CC1 的中点.求证:BF 綉 ED1.

审题指导 本题主要考查两条直线的平行的判定, 关键是寻 找直线平行的条件,可由平行公理证明.

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[规范解答] 证明: 如图. 取 BB1 的中点 G,连接 GC1、GE. ∵F 为 CC1 的中点,∴BG 綉 C1F. ∴四边形 BGC1F 为平行四边形, ∴BF 綉 GC1. ∵EG 綉 A1B1,A1B1 綉 C1D1, ∴EG 綉 D1C1. ∴四边形 EGC1D1 为平行四边形. ∴ED1 綉 GC1,∴BF 綉 ED1.

(2 分) (4 分)

(6 分)

(10 分) (12 分) (14 分)
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【题后反思】 平行四边形的性质是推得线线平行的重要条 件,本题中构造出两个平行四边形,即?BGC1F 和?EGC1D1.

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【训练 3】如图所示, E、 E1 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AD、A1D1 的中点, 求证:E1E∥B1B.

证明:∵E1、E 分别为 A1D1 和 AD 的中点,∴A1E1 綉 AE, ∴四边形 A1E1EA 是平行四边形, ∴E1E∥A1A. 又 A1A∥B1B,∴E1E∥B1B.

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误区警示 对异面直线定义理解不正确致误 【示例】 分别在两个平面内的两条直线是否是异面直线, 说明理由.
[错解] 因为分别在两个平面内的两条直线不在一个平面 内,所以这两条直线是异面直线.

在两个平面内的两条直线可以同时在第三个平 面内.

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[正解] 不一定共面. 如图所示, 图(1)中两直线 a、 b 相交. 图 (2)中两直线 a、b 平行.

异面直线“不同在任何一个平面内”不能说成 “分别在不同的平面内”.

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