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2012年北京市怀柔区高三毕业班二模数学(文)试题及答案免费下载


2012 年怀柔区高三年级调研考试

数 学(文科)
有且只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={一 l,0,1,2},集合 A={一 l,2},则 CU A ? A.{0,1} 2.已知 i 为虚数单位, A. 1 ? i B.{2} C.{0,l,2} D. ?

2012.4

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,

z ? 2 ,则复数 z ? i
B. 1 ? i C.2i D.-2i

3.“a=2”是“直线 ax 十 2y=0 与直线 x+y=l 平行”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主 视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则 这个几何体的体积是
主视图

1 A. 2
C.

1
左视图

1

B. 1

3 2

D. 2

5.函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 是 A.最小正周期为 2? 的奇函数 B.最小正周期为 2? 的偶函数 C.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数 6.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F ,G,H ,则 ??? ???? ? OP ? OQ ? P ???? ? ???? A. OH B. OG ??? ? ??? ? C. EO D. FO 7.设 x>1,S=min{logx2,log2(4x3),则 S 的最大值为 } A. 3 B.4 C. 5 D.6 O Q
俯视图

F E

G

H

第 1 页 共 13 页

8.若函数 y ? f ? x ?

? x ? R ? 满足 f ? x ? 2? ? f ? x? ,且 x???1,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x2 ,
? x ? 0? ? x ? 0?
B. 7 ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的个

?lg x ? 函数 g ? x ? ? ? 1 ?? x ?
数为 A. 5

C. 8

D. 10

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.函数 f ( x) ? 1 ? ( ) 的定义域是
x

1 2

. 开 始

10.如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? 的值 3 5 2011

的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件 是 . v(cm/s) 4

i=1, s=0
否 是 输出 S 结 束

11.如图为某质点在 4 秒 钟内作直线运动时,速 度函数 v ? v ?t ? 的图象, 2 则该质点运动的总路程 O

s=s+
1 2 3 4 t(s)

1 i

s?

厘米.

12. 当 x ? (1, 2) 时,不等式 ( x ?1)2 ? loga x 恒成 立,则实数 a 的取值范围为 .

i=i+2

? x? y?2 ? 13. 已知不等式组 ? x ? y ? ?2 表示的平面区域为 M ,若直线 y ? kx ? 3k ? 1 与平面区域 ? y ?1 ?
M 有公共点,则 k 的取值范围是


14.手表的表面在一平面上.整点 1,2,?,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 圆 周 上 . 从 整 点 i

2 的 2

到 整 点 ( i + 1 ) 的 向 量 记 作 t i t i ?1 , 则 .

t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 =
15. (本小题满分 13 分)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

在△ABC 中,角 A、B、C 的所对应边分别为 a,b,c,且 a ? 5, b ? 3, sin C ? 2 sin A. (Ⅰ)求 c 的值;
第 2 页 共 13 页

(Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
3

) 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是 正 方形,其他四个侧面都是等边三角形, AC 与 BD 的交 点为 O , E 为侧棱 SC 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 SC 的中 点时,求证: E S

SA ∥平面 BDE ;
(Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 SAC . D O A B C

第 3 页 共 13 页

17. (本小题满分 13 分) 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到 这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如下: 分组 频数 10 24 频率 0.25 ( Ⅰ) 求 出 表 中
0 10 15 20 25 30 次数 频率/组距

[10,15) [15, 20)
[20, 25) [25,30)
合计

a

n
p
0.05 1

m
2

M

M , p 及图中 a 的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10, 15) 内的人数;

第 4 页 共 13 页

(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人 参加社区服务次数在区间 [25, 30) 内的概率.

18. (本小题满分 13 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (Ⅰ )若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ )若函数 g ( x) ? e f ( x) 在 [0,2] 上是单调减函数,求实数 a 的取值范围.
x

第 5 页 共 13 页

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M ?1 , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : m x ? ny ? 1 ,证明当点 P?m , n ? 在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交,并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

? ?

3? ?. 2?

第 6 页 共 13 页

20. (本题满分 13 分)
* 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成

立,我们称数列 {cn } 是“ T 数列”. (Ⅰ)若 an ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N ,数列 {an } 、{bn } 是否为“ T 数列”?若是,指出
*

它对应的实常数 p , q ,若不是,请说明理由; (Ⅱ)证明:若数列 {an } 是“ T 数列”,则数列 {an ? an?1}也是“ T 数列”; (Ⅲ)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) ,t 为常数.求数列 {an } 前 2009 项的和.

第 7 页 共 13 页

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 A 5 C 6 D 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9. [0, ?) 12. ?1, 2? 10. i ? 2011 13. [? ,0) 11.11 14. 6 3 ? 9

1 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.
15. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的所对应边分别为 a,b,c,且 a ? 5, b ? 3, sin C ? 2 sin A. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
3

) 的值. c a sin C ? a ? 2a ? 2 5 -------------5 分 ,所以 c ? sin C sin A sin A

解: (Ⅰ)根据正弦定理,

(Ⅱ)根据余弦定理,得 cos A ? 于是 sin A ? 1 ? cos A ?
2

c 2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 2bc 5

5 5
4 5 3 ………12 分 5

从而 sin 2 A ? 2sin Acos A ?

cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ?
所以 sin(2 A ?

?
3

) ? sin 2 A cos

?
3

? cos 2 A sin

?
3

?

4?3 3 -------------------13 分 10

第 8 页 共 13 页

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是 正 方形,其他四个侧面都是等边三角形, AC 与 BD 的交 点为 O , E 为侧棱 SC 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 SC 的中 点时,求证: E S

SA ∥平面 BDE ;
(Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 SAC . 证明: (Ⅰ)连接 OE ,由条件可得 SA ∥ OE . 因为 SA ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , A D O B E S C

所以 SA ∥平面 BDE .---------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)证明:由已知可得, SB ? SD , O 是 BD 中点, 所以 BD ^ SO , 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD ^ AC . 因为 AC ? SO ? O ,所以 BD ? 面SAC . O A B D

C

又因为 BD ? 面BDE ,所以平面 BDE ? 平面 SAC .-----------14 分 17. (本小题满分 13 分) 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到 这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如下: 分组 频数 10 24 频率 0.25 ( Ⅰ) 求 出 表 中
0 10 15 20 25 30 次数 频率/组距

[10,15) [15, 20)
[20, 25) [25,30)
合计

a

n
p
0.05 1

m
2

M

M , p 及图中 a 的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10, 15) 内的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人

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参加社区服务次数在区间 [25, 30) 内的概率. 解: (Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知,

10 ? 0.25 , M

所以 M ? 40 .------------------------------------------------------------------------------2 分 因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 4 .----------------------3 分

p?

m 4 ? ? 0.10 .---------------------------------------------------------------------4 分 M 40 24 ? 0.12 ------6 分 40 ? 5

因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ?

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人--------8 分 (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1),

(a2 , b2 ),(a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1, b2 ) 15 种情况,-------------10 分
而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种,------------------------------------------12 分 所以所求概率为 P ? 1 ? 18. (本小题满分 13 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3 2

1 14 ? .(约为 0.93 )--------------------------------------13 分 15 15

(Ⅰ )若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ )若函数 g ( x) ? e f ( x) 在 [0,2] 上是单调减函数,求实数 a 的取值范围.
x

解: ) f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2) . (Ⅰ 因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 , 所以 a ? 1 .经检验,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. 即 a ? 1 .----------------------------------------------------------------------------------6 分
' x 3 2 2 (Ⅱ )由题设, g ( x) ? e (ax ? 3x ? 3ax ? 6x) ,又 e ? 0 ,
x

所以, ?x ? (0, 2] , ax ? 3x ? 3ax ? 6 x ? 0 ,??????7 分
3 2 2

这等价于,不等式 a ? 令 h( x ) ?

3x 2 ? 6 x 3x ? 6 ? 对 x ? (0, 2] 恒成立.-------------9 分 x3 ? 3x 2 x 2 ? 3x

3x ? 6 ( x ? (0, 2] ) , x 2 ? 3x
第 10 页 共 13 页

则 h ' ( x) ? ?

3( x 2 ? 4 x ? 6) 3[( x ? 2)2 ? 2] ?? ? 0 ,---------------------------10 分 ( x 2 ? 3x) 2 ( x 2 ? 3 x) 2

( 所以 h( x) 在区间 0, 2] 上是减函数,
所以 h( x) 的最小值为 h (2) ? 所以 a ?

6 .----------------------------------------------------12 分 5

6 6 .即实数 a 的取值范围为 (??, ] .-----------------------------------13 分 5 5

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M ?1 , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : m x ? ny ? 1 ,证明当点 P?m , n ? 在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

? ?

3? ?. 2?

x2 y2 解: (Ⅰ)解法一:设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
由椭圆的定义知:

?3 ? 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? 0 ? ? ?2 ?
2

2

3 ?1 ? 1? ? ? ? 0 ? ? 4 , c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? ? ?2 ?
2

2



a ? 2, b ? 3

x2 y2 ? ? 1 .-----------------------------------------------------------4 分 故 C 的方程为 4 3 x2 y2 解法二:设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b

?3? ? ? 2 1 ? 3? ? 2 ? ? 1② 2 2 依题意, a ? b ? 1 ①, 将点 M ?1, ? 坐标代入得 2 ? a b2 ? 2?
x2 y2 ? ? 1 .----------------------.4 分 由①②解得 a ? 4, b ? 3 ,故 C 的方程为 4 3
2 2

2

(Ⅱ)因为点 P?m, n ?在椭圆 C 上运动,所以 从而圆心 O 到直线 l : m x ? ny ? 1 的距离 d ?

m2 n2 m2 n2 2 2 ? ? 1 ,则 m ? n ? ? ? 1, 4 3 4 3

1 m2 ? n2

?1? r ,

所以直线 l 与圆 O 相交.------------------------------------------------------------------------8 分 直线 l 被圆 O 所截的弦长为
第 11 页 共 13 页

L ? 2 1? d 2 ? 2 1?

1 ? 2 1? m ? n2
2

1 ? m2 2 m ? 3?1 ? ? 4 ?

? ? ? ?

? 2 1?

1 1 2 m ?3 4

-----------------------------------------------------------------------------------------10 分

? 0 ? m2 ? 4 ?3 ?

1 2 1 1 1 m ? 3 ? 4, ? ? , 4 4 1 2 3 m ?3 4

?

2 6 ? L ? 3 .------------------------------------------------------------------------------14 分 3
* 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成

20. (本题满分 13 分)

立,我们称数列 {cn } 是 “ T 数列”. (Ⅰ)若 an ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N ,数列 {an } 、{bn } 是否为“ T 数列”?若是,指出
*

它对应的实常数 p , q ,若不是,请说明理由; (Ⅱ)证明:若数列 {an } 是“ T 数列”,则数列 {an ? an?1}也是“ T 数列”; (Ⅲ)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) ,t 为常数.求数列 {an } 前 2009 项的和.
* 解: (Ⅰ)因为 an ? 2n , 则有 an?1 ? an ? 2 , n ? N

故数列 {an } 是“ T 数列”, 对应的实常数分别为 1 , 2 .---------------2 分 因为 bn ? 3 ? 2n ,则有 bn?1 ? 2bn

n? N*

故数列 {bn } 是“ T 数列”, 对应的实常数分别为 2 , 0 .---------------4 分 (Ⅱ)证明:若数列 {an } 是“ T 数列”, 则存在实常数 p , q , 使得 an?1 ? pan ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

且有 an?2 ? pan?1 ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

因此 ? an?1 ? an?2 ? ? p ? an ? an?1 ? ? 2q 对于任意 n ? N 都成立,
*

故数列 ?an ? an?1 ? 也是“ T 数列”. 对应的实常数分别为 p , 2q .-------------------------------------8 分 (Ⅲ)因为 an ? an?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) 则有 a2 ? a3 ? 3t ? 22 , a4 ? a5 ? 3t ? 24 ?? ,

a2006 ? a2007 ? 3t ? 22006 ,

a2008 ? a2009 ? 3t ? 22008

故数列 {an } 前 2009 项的和
第 12 页 共 13 页

S2009 ?

a1 +

? a2 ? a3 ?

+

? a4 ? a5 ? ???

+

? a2006 ? a2007 ?

+

? a2008 ? a2009 ?

? 2 ? 3t ? 22 ? 3t ? 24 ? ?? ? 3t ? 2 2006 ? 3t ? 2 2008 ? 2 ? t ? 2 2010 ? 4 ? ---------------13 分

第 13 页 共 13 页


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