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2.2.3独立重复试验与二项分布


1.有10门炮同时各向目标各发一 枚炮弹,如果每门炮的命中率都是 0.1,则目标被击中的概率约是 D ( )

A 0.55 B 0.45 C 0.75 D 0.65

1 ? 0.9

10

2、假使在即将到来的2008年北京奥运会上,我国 乒乓球健儿克服规则上的种种困难,技术上不断 开拓创新,

在乒乓球团体比赛项目中,我们的中 国女队夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是 0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是多少?
变式一 只有女队夺冠的概率有多大? 变式二 恰有一队夺冠的概率有多大? 变式三 至少有一队夺冠的概率有多大?

3.一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1),且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
(1)
1 (3) 1 2

1

2
2

(2)

1 2

P1=r2
(4)

P2=1-(1-r)2
1 1 2 2

P3

=1-(1-r2)2
(5)

JA JB JC

P4=[1-(1-r)2]2

p5 ? 1 ? ?1 ? r ?

3

2.2.3独立重复试验与 二项分布

复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便 . ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P( AB) ? P( A) P( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点?
投掷一个骰子投掷5次; 某人射击1次,击中目标的概率是0.8,他射击10 次; 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规 共同特点是: 多次重复地做同一个试验. 定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止 比赛); 一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球), 有放回地依次从中抽取5个球; 生产一种零件,出现次品的概率是0.04,生产这种 零件4件.

基本概念

1.独立重复试验定义:
一般地,在相同条件下重复做的n次试验 称为n次独立重复试验 注:独立重复试验的基本特征:
1、每次试验是在同样条件下进行;
2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生;

3、各次试验中的事件是相互独立的;
4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。

判断下列试验是不是独立重复试验:
1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;不是 2).某射击手每次击中目标的概率是0.9,他进行了4 次射击,只命中一次;是 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球; 不是 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球 是

注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验

探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次,仅出现1次 针尖向上的概率是多少?

所以,连续掷一枚图钉3次,仅出现1次 2 针尖向上的概率是 3q p.

思考?
上面我们利用掷1次图钉,针尖向上的概率为p,求 出了连续掷3次图钉,仅出现次1针尖向上的概率。类 似地,连续掷3次图钉,出现 k (0 ? k ? 3) 次针尖向 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?

P(B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q3 ,
P(B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3q2 p,

P(B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp2 ,
P(B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p3.
仔细观察上述等 式,可以发现:

P( Bk ) ? C p q
k 3 k

3? k

, k ? 0,1, 2,3.

基本概念 2、二项分布:
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.
n

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称 p为成功概率。

注: Pn (k ) ? c p q 第 k ? 1 项.
k n k

n? k

是( p ? q) 展开式中的

公式理解
一次试验中事件 A 发生的概率

一次试验中事件 A 发 生的概率

P ( X ? k ) ? C ? p ? (1 ? p)
k n k

n?k

(其中k = 0,1,2,· · · ,n ) 试验总次数 事件 A 发生的次数

二项分布与两点分布有什么内在联系? 两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果.

例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8.
求这名射手在10次射击中。

(1)恰有8次击中目标的概率;
(2)至少有8次击中目标的概率。 (结果保留两个有效数字)

解:设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为

P( X ? 8) ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
8 10 8

10?8

? 0.30

(2)在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为

P( X ? 8) ? P( X ? 8) ? P( X ? 9) ? P( X ? 10)
? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
8 10 8 10?8

? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
9 10 9

10?9

10 ? C10 ? 0.810 ? (1 ? 0.8)10?10 ? 0.68

练 1.某射手射击 1 次, 击中目标的概率是 0.8, 现连续 射击 3 次. ⑴第一次命中,后面两次不中的概率; ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率.

解: 记事件 “第 i 次击中目标” 为 Ai ,则 A1、A2、A3 相 互独立.且 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 0.8 . ⑴第一次命中,后面两次不中的事件即 A1 A2 A3

∴ P( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) ? ?1 ? P ( A2 )?? ??1 ? P ( A3 )? ? =0.032
⑵恰有一次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有一次命中的事件的概率 P2 ? 3 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.096

⑶恰有两次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有两次命中的事件的概率 P3 ? 3 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.384

练2. 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击中 ①击中一次,②恰在第二次击中,③击中两次,④第二、 三两次击中,⑤至少击中一次的概率. 由题设,此射手射击1次,中靶的概率为0.4.
① n=5,k=1,应用公式得

② 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或 击不中都可,它不同于“击中一次”,也不同于“第二次 击中,其他各次都不中”,不能用公式.它的概率就是 0.4. ③n=5,k=2,

练2: 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击 中①击中一次,②第二次击中,③恰好击中两次,④刚 好在第二、三两次击中,⑤至少击中一次的概率. ④“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五 次可中可不中,所以概率为0.4×0.4=0.16.

⑤设“至少击中一次”为事件B,则B包括“击中一次”, “击中两次”,“击中三次”,“击中四次”,“击中 五次”,所以概率为 P(B)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =0.2592+0.3456+0.2304+0.0768+0.01024 =0.92224. 1-P(0)

例2、某人参加一次考试,若五道题中解对四 题则为及格,已知他的解题正确率为3/5, 试求他能及格的概率

例3、加工某种零件经过三道工序,设第一、 二、三道工序的合格率分别为9/10,8/9,7/8, 且各道工序互不影响。 (1)、求这种零件合格的概率 (2)、从该种零件中任取3 件,求恰好取到一 件合格品的概率和至少取到一件合格品的 概率

例4、某射手进行射击训练,假设每次射击击 中目标的概率为0.6,且各次射击的结果互 不影响 (1)、求射手在3次射击中,至少有两次连续击 中目标的概率 (2)、求射手第3次击中目标时,恰好射击了4 次的概率

例5.设3次独立重复试验中,事件A发 生的概率相等,若已知A至少发生一 次的概率等于19/27,求事件A在一次 试验中发生的概率。
解:设事件A在一次试验中发生的概率为P, 19 8 2 3 3 则:( 1 ? 1 ? P) ? , ? ( 1 ? P) ? , ?1 ? P ? 27 27 3 1 ?P ? 3

变式.一射手对同一目标独立地进行4 次射击,已知至少命中一次的概率 80 为 81 ,则此射手射击一次的
命中率是( B )

A

1 3

B

2 C 3
4

1 4

D

2 5

80 1 ? (1 ? p) ? 81

例6.甲、乙两队排球比赛,已知在一局比赛中, 2 甲队胜的概率为 ,没有平局若采用 . 5局3胜制比赛, 3 先胜三局者为胜, .甲获胜的概率是多少? .
2 3 8 解:P(甲用三局取胜) ? ( )? , 3 27 2 3 8 1 1 P(甲用四局取胜) ?C( )( ) ? , 3 3 3 27
1 2 2 3 16 P(甲用五局取胜) ?C ( ) ( )? , 4 3 3 81 8 8 16 64 ? P(甲胜) ? ? ? ? 27 27 81 81
2

变式.实力相当的甲、乙两队参加乒乓球 团队比赛,规定3局2胜制.试求甲获胜的概率.

例7.甲、乙两个篮球运动员投篮命中率 为0.7及0.6,若每人各投3次,试求甲至少 胜乙2个进球的概率

P(甲胜乙3个球) ? (0.7) ( 1 ? 0.6) ? 0.021952
3 3

P(甲胜乙2个球) ? (0.7)? C 0.6( ? 1 ? 0.6)
3 1 3 2

?C 3 0.7 (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.6)
2 2

3

? 0.099884 ? 0.025664 ? 0.125548

例 8.某车间有 5 台车床,每台车床的停车或开车是相互 1 独立的, 若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 , 3 求: ⑴在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率; ⑵至少有一台处于停车的概率
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简答:
40 ? 1? ? 2? ⑴ P5 ? 3? ? C ? ? ? ? ? 243 ? 3? ? 3?
3 5 3 2

? 2 ? 211 ⑵ P ? B? ? 1? P B ? 1? C ? ? ? ? 3 ? 243
5 5

? ?

5

变式:某车间有5台机床,在1小时内 每台机床需要工人照管的概率都是 0.25,求在1小时内这5台机床中至少 有2台需要工人照管的概率.(结果保 留两个有效数字)

0.37

例 9.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25 ,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至 少应射击几次?( lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771 )
解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次 记事件 A =“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? Pn (0) ? 1 ? 0.75n . 3 n 1 n 由题意,令 1 ? 0.75 ≥ 0.75 ,∴ ( ) ≤ , 4 4 1 lg ∴ n ≥ 4 ? 4.82 ,∴ n 至少取 5. 3 lg 4 答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ,至少应射击 5 次
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变式.有译电员若干员,每人独立 1 破译密码的概率均为 ,若要达 3 到译出密码的概率为0.99,至少 要配备多少人? (lg2=0.3010,lg3=0.4771)

例 10、一批玉米种子,其发芽率是 0.8. ⑴问每穴至少种几粒, 才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98% ? ⑵ 若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概 率. ( lg 2 ? 0.3010 )

解:记事件 A =“种一粒种子,发芽” ,则 P( A) ? 0.8 , P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 , (1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽” , 则 P(B) ? Pn (0) ? Cn0 0.80 (1? 0.8)n ? 0.2n .∴ P(B) ? 1? P(B) ? 1? 0.2n . 由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2n ? 0.02 ,两边取常用对数得, n lg0.2 ? lg0.02 .即 n(lg 2 ?1) ? lg 2 ? 2 , lg 2 ? 2 1.6990 ∴n? ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 . lg 2 ? 1 0.6990 答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C32 ? 0.82 ? 0.2 ?? 0.384 , 答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384
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例11、已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,三 个臭皮匠解出题目的概率都为0.1,且每个 人必须独立解题,问三个臭皮匠至少一个解 出题目的概率与诸葛亮解出的概率比较。 探究:这种情况下至少有几个臭皮匠才能顶 个诸葛亮呢?

例12袋A中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概

1 率是 ,从A中有放回的摸球,每次摸出1个,有3次摸到红球就 3 停止。

①求恰好摸5次就停止的概率。 ②记五次之内(含5次)摸到红球的次数为X, 求随机变量X的分布列。 解:①恰好摸5次就停止的概率为
12 22 1 8 C ?( ) ?( ) ? ? 3 3 3 81
2 4

②随机变量X的取值为0,1,2, 3 1 5 32 0 P( X ? 0) ? C5 ? (1 ? ) ? 3 243 1 1 4 80 1 P( X ? 1) ? C5 ? ? (1 ? ) ? 3 3 243 1 2 1 3 80 2 P( X ? 2) ? C5 ? ( ) ? (1 ? ) ? 3 3 243 2 1 1 2 2 2 1 17 3 1 3 2 1 2 2 P( X ? 3) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ? ( ) ? ? C4 ? ( ) ? ( ) ? ? 3 3 3 3 3 3 3 81 所以随机变量X的分布列为 X P 0
32 243

1
80 243

2
80 243

3
17 81

变式: 一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有3个交通
2 并且概率都是 5 ,设X为这名学生在途中遇到的红灯次

岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,

数,求随机变量X的分布列。

例13 袋中有12个球,其中白球4个, 甲、乙、丙三人接连从袋中取球, 甲先取然后乙、丙,再又是甲,如此 继续下去,规定先取出一个白球者 获胜.分别求满足下列条件的甲、 乙、丙的获胜率:
(1)抽后放回;
9 6 4 77 53 35 (2)抽后不放回.( , , ; , , , ) 19 19 19 165 165 165

例14.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.

解:设“答对 k题”的事件为 A,用P10 (k)表示其概率,由
1 k 3 10?k ? k ? C 10 ? ( 4 ) ? ( 4 ) ?1 ? ? P10 (k ) 1 k ?1 3 11?k ?11 ? k k ?1 ? 1 ? ?1 C 10 ? ( ) ( ) ? P (k ? 1) ? ? 10 ? ? 3k 4 4 ?? ?? ? ? P10 (k ) ? 1 ? C K 10 ? ( 1 ) K ? ( 3 )10?k ? 3(k ? 1) ? 1 ? ? ? 4 4 ? 10 ? k P ( k ? 1 ) ? 10 ? 1 ? k ?1 1 k ?1 3 9?k ? C 10 ? ( ) ? ( ) 4 4 ? 11 ? ? k ? 2. k ? ? 7 11 ? 4 ?? ? ?k ? 1 2 3 8 2 4 4 ? P2 ( 2) ? C 10 ? ( ) ? ( ) ? 0.28 ?k ? 7 4 4 ? 4 ?

闯关自测
1、每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1), 重复进行10次试验,其中前 7次都未成功后3次都成功的概率为(C ) 3 3 3 7 3 3 ? ? B . C p 1 ? p A.C10 p ?1 ? p? 10

1 ? ~ B(6, ) ? 则p(? ? 2)等于?D 2、已知随机变量? 服从二项分布, 3 3 4 13 80 A. B. C. D. 1 6 243 243 243 3、甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲 打完4局才胜的概率为( A)
3 3 2 C.C ( ) ( ) 5 5
3 4

C.p ?1 ? p?
3

7

D.p ?1 ? p?
7

3

3 2 A.C32 ( ) 3 ( ) 5 5

3 2 B.C32 ( ) 2 ( ) 5 3 3 2 3 1 D.C4 ( ) ( ) 3 3

课堂小结

1.在独立重复试验中,若每次试 验结果只有事件A发生或不发生两种 可能,则事件A发生的次数服从二项 分布;若每次试验结果有多种可能, 则可以根据需要适当设定事件A,将 其转化为二项分布.

课堂小结

2.二项分布B(n,p)中有两个参数, 其中n是独立重复试验的总次数,p是 每次试验事件A发生的概率,书写时n 在左,p在右.

课堂小结

3.二项分布是来自于独立重复试验 的一个概率模型,对于求在n次独立重 复试验中,事件A恰好发生k次的概率, 就直接利用概率公式求解.


第二章 随机变量及其分布2.2.3独立重复实验与二项分布

2.2.3 独立重复实验与二项分布教学目标: 知识与技能:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法:能进行一些与 n 次...

2.2.3独立重复试验与二项分布(教学设计)

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高中数学选修2-3 2.2.3独立重复与二项分布

任丘一中数学新授课导学案 §2.2.3 独立重复试验与二项分布编者:史亚军 组长评价: 教师评价: 学习目标掌握 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决简单...

独立重复试验和二项分布教案(含答案)

枣庄三中 2008-2009 学年度下学期高二年级 - 数学学科选修 2-3 教学案 编号§ 2.2.3 独立重复实验与二项分布组编人白永庆 审核人 赵广华 使用时间 2009.4....

360 | 独立重复试验 | 进行重复独立试验 | n次独立重复试验 | 独立重复试验概率 | 多次独立重复试验 | 独立重复试验概率公式 | 独立重复试验公式 |