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郑州二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)【解析版】


2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)不等式 2x ﹣x≤1 的解集为( ) A. C. D. B.
2

2. (5 分)已知△ ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ AB

C 的面积为() A.9 B.18 C. 9 D.9 3. (5 分)已知数列 A.19 ,则 B.20 C.21 是它的第()项. D.22

4. (5 分)等差数列{an}中,a3=7,a9=19,则 a5 为() A.13 B.12 C.11

D.10

5. (5 分)已知等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 a3+a9=6,则 S11 等于()? A.12 B.33? C.66? D.11?

6. (5 分)已知等比数列{an}满足:a3?a7= A. B.

,则 cosa5=() C. ± D.±

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最大值是()

A.﹣3

B.

C. 2

D.3

8. (5 分)在△ ABC 中,若 2cosB?sinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形 9. (5 分)若不等式 a>b 与 同时成立,则必有()

A.a>b>0

B.

C.a>0>b

D.

10. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB” 的() A.充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D.非充分非必要条件 11. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为() A. B. C. D.

12. (5 分)已知 x>1,y>1,且 A.有最大值 e B.有最大值

, ,lny 成等比数列,则 xy() C.有最小值 e D. 有最小值

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分(共 4 小题,满分 20 分) 13. (5 分)当 x>﹣1 时,不等式 x+ ﹣1≥a 恒成立,则实数 a 的最大值是.
2 2 2

14. (5 分)在△ ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a +b ﹣c + 则角 C 的大小为. 15. (5 分)等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项之和,且 S6<S7,S7>S8,则: ①此数列的公差 d<0 ②S9 一定小于 S6 ③a7 是各项中最大的一项 ④S7 一定是 Sn 中的最大值. 其中正确的是(填入你认为正确的所有序号) 16. (5 分)已知正实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是.
2 2

ab=0,

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 2 17. (10 分)数列{an}的通项公式是 an=n ﹣7n+6. (1) 这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 18. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB=

(Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 b,c 的值. 19. (12 分)已知 f(x)=|x|﹣|x+1|. (1)求不等式 f(x)≤0 的解集 A; (2)若不等式 mx+m﹣1>0 对任何 x∈A 恒成立,求 m 的取值范围. 20. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 2cos (B﹣C) +1=4cosBcosC. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 ,△ ABC 的面积为 2 ,求 b+c. 21. (12 分)已知数列{an}与{bn},若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2,数列{bn}的 前 n 项和 .

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Tn.

22. (12 分)如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路 之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A) ,要求 PM=PN=MN=2(单位:千米) .如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂 与村庄的距离最远) .

河南省郑州二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 2 1. (5 分)不等式 2x ﹣x≤1 的解集为() A. B. D. C.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 先化 2x ﹣x≤1 为 2x ﹣x﹣1≤0,根据二次函数的性质可得答案. 解答: 解:2x ﹣x≤1 可化为 2x ﹣x﹣1≤0,解得
2 2



故选 A. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,属基础题,深刻理解“三个二次”间的关系是解决 问题的关键. 2. (5 分)已知△ ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ ABC 的面积为() A.9 B.18 C. 9 D.9 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 利用三角形的内角和公式求得∠C=30°,可得△ ABC 为等腰三角形,故△ ABC 的 面积为 ,运算求得结果.

解答: 解:∵△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,∴∠C=30°. 故△ ABC 为等腰三角形,故 BC=6,则△ ABC 的面积为 故选 D. 点评: 本题考查三角形中的几何计算,是一道基础题. 3. (5 分)已知数列 A.19 ,则 B.20 C.21 是它的第()项. D.22 =9 ,

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题.

分析: 根据数列的前几项找规律,归纳出数列的通项公式,再令 an= 解答: 解:数列 , , ∴通项公式为 an= 令 = ,得,n=21 , = , , ,…,

,解方程即可

,中的各项可变形为:

故选 C 点评: 本题考察了观察法求数列的通项公式,以及利用通项公式计算数列的项的方法. 4. (5 分)等差数列{an}中,a3=7,a9=19,则 a5 为() A.13 B.12 C.11 考点: 专题: 分析: 解答:

D.10

等差数列的通项公式. 计算题. 根据公式 a3=a1+2d=7,a9=a1+8d=19,可求 a1,d,代入等差数列的通项公式可求. 解:根据公式 a3=a1+2d=7,a9=a1+8d=19,

解方程得到 故 a5=a1+4d=11, 故选 C 点评: 本题主要考查了利用基本量 a1,d 表示等差数列的通项公式,属于基础试题. 5. (5 分)已知等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 a3+a9=6,则 S11 等于()? A.12 B.33? C.66? D.11? 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和;等差数列;等差数列的通项公式. 计算题. 由等差数列的性质可得 a1+a11=a3+a9=6,代入求和公式可得答案. 解:由等差数列的性质可得 a1+a11=a3+a9=6, = =33,

由求和公式可得 S11=

故选:B 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

6. (5 分)已知等比数列{an}满足:a3?a7= A. B.

,则 cosa5=() C. ± D.±

考点: 等比数列的通项公式;三角函数的化简求值. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 直接利用等比数列的性质结合已知求得 解答: 解:在等比数列{an}中, 由 a3?a7= ∴cosa5= ,得 . ,∴ .

.则答案可求.

故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的性质,考查了三角函数的值,是基础题.

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最 大值是()

A.﹣3

B.

C. 2

D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合.

分析: 先满足约束条件

的可行域, 然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析

式,分析比较后,即可得到目标函数 z=2x+y 的最大值.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

由图易得,当 x=2,y=﹣1 时,目标函数 z=2x+y 的最大值为 3 故选 D.

点评: 本题考查的知识点是简单的线性规划, 用图解法解决线性规划问题时, 分析题目的 已知条件,画出满足约束条件的可行域是关键, 8. (5 分)在△ ABC 中,若 2cosB?sinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 在△ ABC 中,总有 A+B+C=π,利用此关系式将题中:“2cosB?sinA=sinC,”化去角 C,最后得到关系另外两个角的关系,从而解决问题. 解答: 解析:∵2cosB?sinA=sinC=sin(A+B)?sin(A﹣B)=0, 又 B、A 为三角形的内角, ∴A=B. 答案:C[来源:学科网 ZXXK] 点评: 本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数, 属于基础题, 在判定三角形形状 时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,另一个方向是角,走三 角变换之路.[来源:Z§xx§k.Com] 9. (5 分)若不等式 a>b 与 A.a>b>0 B. 同时成立,则必有() C.a>0>b D.

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵ ,∴ ,

又∵a>b,∴b﹣a<0. ∴ab<0. ∴a>0>b. 故选 C. 点评: 本题考查了不等式的性质,属于基础题. 10. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB” 的() A.充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D.非充分非必要条件 考点: 充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用正弦定理以及已知条件判断即可.

解答: 解:由正弦定理可知

? =



∵△ABC 中,∠A,∠B,∠C 均小于 180°,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c, ∴a,b,sinA,sinB 都是正数, ∴“a≤b”?“sinA≤sinB”. ∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件. 故选:A. 点评: 本题考查三角形中, 角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用, 基本知识的考查. 11. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 基本不等式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a7=a6+2a5 求得 q=2,代入 的最小值. 解答: 解: 由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5, 可得 ∴q ﹣q﹣2=0,∴q=2. ∵ ∴ 号成立. 故 的最小值等于 , ,∴q
m+n﹣2 2

求得 m+n=6,利用基本不等式求出它



=16,∴2

m+n﹣2

=2 ,∴m+n=6, ,当且仅当 = 时,等

4

故选 A. 点 评: 本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题.

12. (5 分)已知 x>1,y>1,且 A.有最大值 e B.有最大值

, ,lny 成等比数列,则 xy() C.有最小值 e D.有最小值

考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用等比数列等比中项可知 lnxy=lnx+lny≥2 解答: 解:依题意 ?lny= 可得 lnx?lny= ,再根据

可得 lnxy 的范围,进而求得 xy 的范围. ?lny=

∴lnx?lny= ∴lnxy=lnx+lny≥2 xy≥e =1

故选 C 2 点评: 本题主要考查了等比中项的性质.即若 a,b,c 成等比数列,则有 b =ac. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分(共 4 小题,满分 20 分) 13. (5 分)当 x>﹣1 时,不等式 x+ ﹣1≥a 恒成立,则实数 a 的最大值是 0.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据基本不等式的性质求出 x+ 式 x+ ﹣1 的最小值为 0,再根据当 x>﹣1 时,不等

﹣1≥a 恒成立,求出 a 的范围,继而问题得以解决.

解答: 解:∵x>﹣1, ∴x+1>0, ∴x+ ∴x+ ﹣1=x+1+ ﹣2≥2 ﹣2=2﹣2=0,当且仅当 x=0 时取等号,

﹣1 的最小值为 0, ﹣1≥a 恒成立,

∵不等式 x+

∴a≤0, ∴实数 a 的最大值是 0. 故答案为:0. 点评: 本题考查函数恒成立问题,关键是利用基本不等式,注意等号成立的条件,属于中 档题. 14. (5 分)在△ ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a +b ﹣c + 则角 C 的大小为 .
2 2 2

ab=0,

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosC,把已知等式变形后代入求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵△ABC 中,a +b ﹣c + ab=0,即 a +b ﹣c =﹣ ab,[来源:Zxxk.Com] ∴cosC= = =﹣ ,

则 C=



故答案为: 点评: 此题考查了余弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握余弦定理是解本题关键. 15. (5 分)等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项之和,且 S6<S7,S7>S8,则: ①此数列的公差 d<0[来源:学_科_网] ②S9 一定小于 S6 ③a7 是各项中最大的一项 ④S7 一定是 Sn 中的最大值. 其中正确的是①②④(填入你认为正确的所有序号) 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由已知可得 a7>0,a8<0,再对选项进行判断即可. 解答: 解:由 s6<s7,S7>S8 可得 S7﹣S6=a7>0, S8﹣S7=a8<0,∴a8﹣a7=d<0①正确; S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8<0,故正确; 由于 d<0,所以 a1 最大,∴错误; 由于 a7>0,a8<0,S7 最大,∴正确; 故答案为:①②④. 点评: 本题考查等差数列的性质,逐个验证是解决问题的关键,属中档题.
2 2

16. (5 分)已知正实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用基本不等式,根据 xy≤ 得其范围,则 x+y 的最大值可得. 2 2 解答: 解:∵x +y +xy=1 2 ∴(x+y) =1+xy ∵xy≤ ,把题设等式整理成关于 x+y 的不等式,求

∴(x+y) ﹣1≤ 整理求得﹣ ≤x+y≤

2

, ,

∴x+y 的最大值是 故答案为: .



点评: 本题主要考查了基本不等式.应熟练掌握如均值不等式,柯西不等式等性质. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)数列{an}的通项公式是 an=n ﹣7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?[来源:学科网 ZXXK] (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 数列的函数特性. 等差数列与等比数列. 2 数列{an}的通项公式是 an=n ﹣7n+6 求解. 2 解: (1)∵an=n ﹣7n+6, =﹣6.
2

∴这个数列的第 4 项是﹣6. 2 (2)解方程 n ﹣7n+6=150, 得 n=16,或 n=﹣9, * ∵n∈N , ∴150 是这个数列的项,它是第 16 项. 2 (3)由 an=n ﹣7n+6≥0, 得 n≤1,或 n≥6. ∴数列从第 7 项开始各项都是正数. 点评: 本题考查数列的通项公式的性质的应用,解题时要认真审题,是基础题. 18. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB= (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 b,c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (Ⅰ)先求出 sinB= ,再利用正弦定理求 sinA 的值; (Ⅱ)由△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 c 的值,利用余弦定理求 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵cosB= ∴sinB= , ∵a=2,b=4,

∴sinA=

=

= ;

(Ⅱ)S△ ABC=4= ×2c× ,∴c=5, ∴b= = .

点评: 本题考查正弦定理、 余弦定理的运用, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 19. (12 分)已知 f(x)=|x|﹣|x+1|.[来源:学科网] (1)求不等式 f(x)≤0 的解集 A; (2)若不等式 mx+m﹣1>0 对任何 x∈A 恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)不等式 f(x)≤0,即|x|≤|x+1|,平方求得不等式的解集. (2)由题意可得当 x≥﹣ 时,m> 恒成立.利用单调性求得函数 y= 在[﹣ ,+∞)

上的最大值为 2,从而其肚饿 m 的范围. 解答: 解: (1)不等式 f(x)≤0,即|x|﹣|x+1|≤0,即|x|≤|x+1|, 平方求得 x≥﹣ ,故不等式的解集为[﹣ ,+∞) . (2)由题意可得当 x≥﹣ 时,mx+m﹣1>0 恒成立,即 m> 由于函数 y= 在[﹣ ,+∞)上是减函数,故 y 的最大值为 恒成立. =2,

故有 m≥2,即 m 的范围为[2,+∞) . 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,函数的恒成立问题.利用单调性求函数的最值, 体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 20. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 2cos (B﹣C) +1=4cosBcosC. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 ,△ ABC 的面积为 2 ,求 b+c. 考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)利用三角恒等变换,化简已知等式可得 cos(B+C)= ,结合三角形内角的 范围算出 B+C= ,再利用三角形内角和即可得到 A 的大小;
2 2 2

(II)根据三角形面积公式,结合△ ABC 的面积为 2 算出 bc=8.再由余弦定理 a =b +c 2 ﹣2bccosA,代入数据化简可得(b+c) ﹣bc=28,两式联解即可算出 b+c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵2cos(B﹣C)+1=4cosBcosC,

∴2(cosBcosC+sinBsinC)+1=4cosBcosC, 即 2(cosBcosC﹣sinBsinC)=1,可得 2cos(B+C)=1,[来源:学科网 ZXXK] ∴cos(B+C)= . ∵0<B+C<π,可得 B+C= ∴A=π﹣(B+C)= (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 A= ∵S△ ABC=2
2



.…(6 分)[来源:学科网] . =2 ,解得 bc=8. ①

,∴ bcsin
2 2

由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,得 (2 ) =b +c ﹣2bccos
2 2 2 2

,即 b +c +bc=28,

2

2

∴(b+c) ﹣bc=28. ② 2 将①代入②,得(b+c) ﹣8=28, 2 ∴(b+c) =36,可得 b+c=6.…(12 分) 点评: 本题给出三角形的角满足的条件,求 A 的大小,并在已知三角形面积的情况下求 边长.着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识,属于中档题. 21. (12 分)已知数列{an}与{bn},若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2,数列{bn}的 前 n 项和 .

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Tn.

[来源:Z。xx。k.Com] 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)依题意知,{an}是以 3 为首项,公差为 2 的等差数列,从而可求得数列{an} 的通项公式;当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2n+1,对 b1=4 不成立,于是可求数列{bn}的通项公 式; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知当 n=1 时, T1= ﹣ ) ,从而可求 Tn. = , 当 n≥2 时, 利用裂项法可求得 = (

解答: 解: (Ⅰ)∵对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2, ∴{an}是公差为 2 的等差数列,又 a1=3, ∴an=2n+1; 当 n=1 时,b1=S1=4; 当 n≥2 时, bn=Sn﹣Sn﹣1= (n +2n+1)﹣[(n﹣1) +2(n﹣1)+1]=2n+1, 对 b1=4 不成立.
2 2

∴数列{bn}的通项公式:b n= (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 n=1 时,T1= 当 n≥2 时, ∴Tn= = = = = , = ( ﹣



﹣ )]

) ,

+ [( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ) ,

+ ( ﹣ +

当 n=1 时仍成立. ∴Tn= + 对任意正整数 n 成立.

点评 : 本题考查数列的求和, 着重考查等差数列与递推关系的应用, 突出考查裂项法求和, 属于中档题. 22. (12 分)如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路 之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A) ,要求 PM=PN=MN=2(单位:千米) .如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂 与村庄的距离最远) .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 综合题;解三角形. 分析: 设∠AMN=θ,在△ AMN 中,求出 AM,在△ APM 中,利用余弦定理,建立函数, 利用辅助角公式化简,即可得出结论. 解答: 解:设∠AMN=θ,在△ AMN 中, 因为 MN=2,所以 AM= sin(120°﹣θ) . = …2 分 …6 分 …8 分 .

在△ APM 中,cos∠AMP=cos(60°+θ) . 2 2 2 AP =AM +MP ﹣2AM?MP?co s∠AMP = sin (120°﹣θ)+4﹣2×2×
2

sin(120°﹣θ) cos(60°+θ)

=

sin (θ+60°)﹣

2

sin(θ+60°) cos(θ+60°)+4 sin(2θ+120°)+4

= [1﹣cos (2θ+120°)]﹣ =﹣ [ = ﹣

sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+ sin(2θ+150°) ,θ∈(0,120°) .
2

…12 分

当且仅当 2θ+150°=270°,即 θ=60°时,AP 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 . 答:设计∠AMN 为 60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…14 分 点评: 本题考查正弦定理、 余弦定理的运用, 考查三角函数的化简, 正确构建函数是关键.


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江西省宜春市高安二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

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河南省郑州市中牟二中2014-2015学年高二数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)

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