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导数解答题(文理科)


专题五
2

导数解答题
2

1.设函数 f ( x) ? a ln x ? 4 x , g ( x) ? bx (a ? 0, b ? 0, a, b ? R) . (1)当 b ? 增区间; (2) 若函数 f ( x) 和 g ( x) 有相同的极大值, 且函数 p( x) ? f ( x) ? 的最大值为 ?8e ,求实数 b 的值(其中 e 是自然对数的底数).

3 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处有极小值,求函数 h( x ) 的单调递 2

g ( x) 2 在区间 [1, e ] 上 x

2.设函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?

1? a ?1. x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 3 5 ,若对于 ?x1 ? [1,2], 12

(3)在(2)的条件下,设函数 g ? x ? ? x 2 ? 2bx ?

?x2 ? [0,1],使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求实数 b 的取值范围.

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 (I)若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的 2
3.设函数 f ( x) ? 图象上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G ( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存 在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

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4.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 3 x ,函数 g ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处
2

的切线平行于 x 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x) 的极小值; (3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , ( x1 ? x2 ), 证明:

1 1 ?k? . x2 x1

5.设 f ( x) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程; (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整 数M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

6.已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ? mx.
2

(1)当 m ? ?3 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若函数 f ( x) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围; (3)若 m ? ?1 , ?ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在函数 f ( x) 的图象

a、 c 分别为 ?ABC 的内角 A、 b、 上, 且 x1 ? x2 ? x3 , B、 C 所对的边。 求证: a 2 ? c 2 ? b2 .

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7.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

8.已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ax ? x ? a ? 0 ? .
2

(1)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象在公共点 P 处有相同的切线,求实数 a 的值 及点 P 的坐标; (2)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象有两个不同的交点 M、N,求实数 a 的取值范 围 .

9.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? x ? x ln x (a ? 0) . (1)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx 2 ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取值范 围; (2)若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当

1 y 1 ? ln y 的大小. ? x ? y ? 1 时,试比较 与 e x 1 ? ln x

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10.已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1) .
2

(Ⅰ)当 a ? ?

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4

(Ⅱ)当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ?? ? [1 ? n ?1 ] ? e ( n ? N* ,e (Ⅲ)求证: (1 ? n 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2 ? 1)
是自然对数的底数).

11.已知 f ( x) ? ln x ?

a ( a ? R ). x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,判断 f ( x) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为
2

3 ,求 a 的值; 2

(Ⅲ)若 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,试求 a 的取值范围.

12.设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为正实数. (l)若 x=0 是函数 g ( x) 的极值点,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 在 (1, ??) 上无最小值,且 g ( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数, 求 a 的取值范 围;并由此判断曲线 g ( x) 与曲线 y ?

1 2 ax ? ax 在 (1, ??) 交点个数. 2

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13.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值.

14.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x(a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x) ? x ? 2 x , 若对任意 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] , 使得 f ( x1 ) < g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.

15.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ?

a ?1 . x

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域内无极值,求实数 a 的取值范围.

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16.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6ln x ,其中 a ? R . x

(1)当 a ? 1 时判断 f ( x) 的单调性; (2)若 g ( x) 在其定义域为增函数,求正实数 a 的取值范围; ( 3 ) 设 函 数 h( x) ? x ? m x? 4, 当 a ? 2 时 , 若 ?x1 ? (0,1), ?x2 ? [1, 2] , 总 有
2

g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

17.已知函数 f ( x) ? ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a ? 0 . 2

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)求函数的极大值和极小值,若函数 f ( x) 有三个零点,求 a 的取值范围.

18.设函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? 2bx . 2

(1)当 a ? ?3 , b ? 1 时,求函数 f ? x ? 的最大值; (2)令 F ? x ? ? f ? x ? ?

1 2 a ax ? 2bx ? 2 x

?1 ? ? ? x ? 3 ? ,其图象上存在一点 P ? x0 , y0 ? , ?2 ?

使此处切线的斜率 k ?

1 ,求实数 a 的取值范围; 2 1 2 时,方程 2mf ? x ? ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 2

(3)当 a ? 0 , b ? ?

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19.已知函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x x
2 2

(1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与圆 x ? y ? 2 y ? 0 相切,求 a 的值; (2) 当 x ? (1,??) 时, 函数 f ( x) 的图像恒在坐标轴 x 轴的上方, 试求出 a 的取值范围.

20.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x ?x 2

(Ⅰ)当 a ? ?1时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 h( x) ? f ( x) ? ax ,对定义域内任意 x,均有 h( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取 值范围? ( Ⅲ























m, n



1 1 1 n 恒成立。 ? ??? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m(m ? n)

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ? R . (I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x) ≤

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

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22.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ln x ? ax . (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 P ?1, ?2 ? 处的切线方程; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上的最小值.

23.已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R). x ?1

9 时,如果函数 g( x) ? f ( x)? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x )与 1 的大小;

1 1 1 1 (3)求证: ln(n ? 1)? ? ? ? ? ? (n ? N* ) 3 5 7 2n ? 1

24.已知函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2ln x (a ? R) x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若

2e ? a ? 1 ,设 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个极值点,且 x1 ? 1 ? x2 ,记 m, n 分 e ?1
2

别为 f ( x) 的极大值和极小值,令 z ? m ? n ,求实数 z 的取值范围.

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25. 已知 f ( x) ? x ? 相切.

a 且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) g ( x) ? 2 ln x ? bx , (a ? 0) , x

(1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; ( 2) (ⅰ)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k ? [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成 立; (ⅱ)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

26.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ?

1? a ( a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在 ?1, e ? (e ? 2.718...) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) < g ( x0 ) 成立,求 a 的取值 范围.

27.已知函数 f ( x ) ? ln x ? a( x ? (Ⅰ)当 0 ? a ?

1 1 ) ? ? 1(a ? R ) . x x

1 时,试讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 时,若对任意 x1 ? (0,2] ,存在 x 2 ? [2,3] ,使 3

(Ⅱ)设 g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 ,当 a ?
f ( x1 ) ? g( x 2 ) ,求实数 b 取值范围.

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28.已知 f ?x ? ? ln x ? x ? a ? 1 (1)若存在 x ? ?0,?? ?使得 f ( x) ≥0 成立,求 a 的范围 (2)求证:当 x >1 时,在(1)的条件下,

1 2 1 x ? ax ? a ? x ln x ? 成立 2 2

29.已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为

y ? 4x ? 4 .
(1)求 a, b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值.

30.已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2a ln x ? ( a ? 2 )x 2

(I)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值; (II)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (III)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2 ? (0,+∞),且 x1≠x2,都有 成立.若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a恒 x2 ? x1

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31 . 已 知 函 数

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 f ? x? ? ? , 其 中 a 是 实 数 , 设 ?ln x, x ? 0

A ? x1 , f ? x1 ? ? , B ? x2 , f ? x2 ? ? 为该函数的图象上的两点,且 x1 ? x2 .
⑴指出函数 f ? x ? 的单调区间; ⑵若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; ⑶若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

32.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x 。 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 g ( x) ? ? 上方.

2 3 x ? x 2 ,证明当 x ? 1 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的 3

33.已知函数 f ( x) ?

a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值;
2 (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x f ( x) ,求 g ( x) 在区间 [1, e ] 上的最小值.( e 为自然对数的

底数)

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34.设函数 f ( x) ? a ln x ? 4 x , g ( x) ? bx (a ? 0, b ? 0, a, b ? R) .
2

2

(1)当 b ? 增区间;

3 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处有极小值,求函数 h( x ) 的单调递 2

(2) 若函数 f ( x) 和 g ( x) 有相同的极大值, 且函数 p( x) ? f ( x) ? 的最大值为 ?8e ,求实数 b 的值(其中 e 是自然对数的底数).

g ( x) 2 在区间 [1, e ] 上 x

35.设 f ( x) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程; (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整 数M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

36.已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ? mx.
2

(1)当 m ? ?3 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若函数 f ( x) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围; (3)若 m ? ?1 , ?ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在函数 f ( x) 的图象

a、 c 分别为 ?ABC 的内角 A、 b、 上, 且 x1 ? x2 ? x3 , B、 C 所对的边。 求证: a 2 ? c 2 ? b2 .

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37.设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 ?1 , 3? 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

38.已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ?

1 ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ) . 2 12 4
?? ?? , ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 12 3 ?

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若不等式 |

f ( x) ? m |? 3 对任意 x ? ?

39.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x , 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x) 在区间 ?1,4? 内的最小值为 ? 2 ln 2 , 求 a 的值. (参考数据 ln 2 ? 0.7 )

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40.函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ? c( a, b, c 为常数)的图象过原点,且对任意 x ? R 总有 f ( x ) ? f ( ) 成立;

?

3

(1)若 f ( x ) 的最大值等于 1,求 f ( x ) 的解析式; (2)试比较 f ( ) 与 f ( ) 的大小关系.

b a

c a

41.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅲ)对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

42.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x .
2

(Ⅰ)若 x ? [?2, 2], 时,求 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若存在实数 t ,当 x ? [1, m] 时, f ( x ? t ) ? 3x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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43.已知函数 f ( x) ? ln( ? (Ⅰ)若 x ?

1 2

1 ( a 为常数, a ? 0 ) ax) ? x 2 ? ax 。 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数; 2 1 2 (Ⅲ)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立, 2 求实数 m 的取值范围。

44.已知 a, b 是正实数,设函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?a ? x ln b 。 (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 x0 ,使 x0 ? [

a ? b 3a ? b b , ] 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 的取值范围。 4 5 a

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参考答案 1. (1) (0, ) , (1, ??) ; (2) b ? 4 ? 8e . 【解析】 试题分析: (1)先求 h( x ) 的导函数,利用极小值求未知数 a ,再利用导数判断单调性; (2) 分别利用导数求 f ( x), g ( x) 的极大值的关系式, 再根据导数求 P ( x ) 得最大值, 得关系式 (注 意分情况讨论) ,综合以上关系求 b 的值.

1 3

3 2 a2 2 试题解析: (1) 由题意 h '(1) ? 0 ? a ? 1 h( x) ? a ln x ? 4 x ? x ? h '( x) ? ? 4 ? 3x , 2 x
2

1 (3x ? 1)( x ? 1) ? 4 ? 3x ? ( x ? 0) x x 1 ?当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0 ? h( x) 递增,当 x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 ? h( x) 递增, 3 1 ? h( x) 的递增区间为 (0, ) , (1, ??) . 3 h '( x) ?
(2) g ( x) ? bx 有极大值,则 b ? 0 且 ( g ( x))极大值 =0 ,
2

f ?( x) ?

a2 ? 4x a2 a2 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , x 4 4

? ( f ( x))极大值 =f (

a2 a2 ) ? a 2 ln ? a 2 ? 0 ? a 2 ? 4e 4 4

? p( x) ? 4e ln x ? 4 x ? bx ? p '( x) ?
ⅰ)当

4e 4e ?4?b ? 0 ? x ? ?e x 4?b

4e ? 1 即 b ? 4 ? 4e 时, p '( x) ? 0 ? p( x) 递减, 4?b

? ( p( x))max ? p(1) ? ?4 ? b ? ?8e ? b ? 4 ? 8e ? 4 ? 4e ,符合;

4e ? e 即 4 ? 4e ? b ? 0 时, 4?b 4e 4e 当 x ? [1, ) 时, p '( x) ? 0 ? p( x) 递增,当 x ? ( , e) 时, p '( x) ? 0 ? p( x) 递减, 4?b 4?b 4e ? ( p( x))max ? p( ) ? ?8e ? b ? 4 ? 4e2 ? 4 ? 4e ,不符,舍去. 4?b 综上所述, b ? 4 ? 8e .
ⅱ)当 1 ? 考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、导数与函数的综合应用.

( , ? )? ; 2.(1) y ? ?2 ; (2)递增区间为(1,2) ,递减区间为(0,1) ,2 (3) [ , ??) .
【解析】 试题分析: (1)将 a ? 1 代入, 分别得到 f (1) ? ?2 ,f ?(1) ? 0 , 再由点斜式得到 f ? x ? 在 x ? 1
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1 2

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处的切线方程为 y ? ?2 ; (2)将 a ?

x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 1 ?? 代入得到 f ?( x) ? ? , 2 3x 3x 2 3

从而得到递增区间为(1,2) ,递减区间为(0,1) ,2 (3)先将题设条件转化为 g ( x) ( , ? )? ; 在 [0,1] 上 的 最 小 值 不 大 于 f ? x ? 在 [1,2] 上 的 的 最 小 值 . 再 得 到

5 5 ? ( x ? b)2 ? b2 ? , x ? [0,1] ,然后讨论 b 的范围,又 f ? x ? 在[1,2] 12 12 2 2 1 上最小值为 f ?1? ? ? .由单调性及 g ( x)min ? ? 从而得到 b 的取值范围为 [ , ??) . 3 3 2 g ? x ? ? x 2 ? 2bx ?
试题解析:(1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??)

f ?( x) ?

1 1? a ?a? 2 , x x

当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? x ? 1 , f (1) ? ?2 ,

f ?( x) ?

1 ? 1 ,故 f ?(1) ? 0 . x

所以 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 . (2) 当 a ?

x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 1 ?? 时, f ?( x) ? ? . 2 3x 3x 2 3

故当 0 ? x ? 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数的递增区间为(1,2) ,递减区间为(0,1) ,2 , ( ) ?? . (3)由(2)知, f ? x ? 在(1,2)上为增函数, 所以 f ? x ? 在[1,2]上的最小值为 f ?1? ? ?

2 , 3

若对于 ?x1 ? [1,2],?x2 ? [0,1],使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立 ? g ( x) 在[0,1]上的最小值不大 于 f ? x ? 在[1,2]上的的最小值. 又 g ? x ? ? x ? 2bx ?
2

5 5 ? ( x ? b)2 ? b2 ? , x ? [0,1] , 12 12

5 2 ? ? 与题设不符. 12 3 5 5 2 1 2 2 当 0 ? b ? 1 时, g ( x)min ? g (b) ? ?b ? ,由 ?b ? ? ? 及 0 ? b ? 1 ,得 ? b ? 1 ; 12 12 3 2 7 2 当 b ? 1时, g ( x) 在[0,1]上为减函数, g ( x) min ? g (1) ? ? 2b ? ? 及 b ? 1得 b ? 1. 12 3
当 b ? 0 时, g ( x) 在[0,1]上为增函数, g ( x) min ? g (0) ? ?
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综上所述, b 的取值范围为 [ , ??) . 考点:1.导数;2.直线的方程;3.函数的单调性与最值. 3.( I ) m ? ?3 ;(Ⅱ)当 m≥0 时, F ( x) 在(0,+∞)上为增函数;当 m<0 时, F ( x) 在

1 2

(0, ?

4 4 ) 上为增函数,在 (? , ??) 上为减函数.(Ⅲ)存在, (0, ??) . m m 3 的对称点代入 y ? f ( x) ,即 2
代 入 , 得 到

【解析】 试题分析:( I )先求出定点 P,然后找出点 P 关于直线 x ? 得 到

m ? ?3



(



)



a ?8

F ?( x) ? 2mx ? (8 ? 2m) ?

8 2mx 2 ? (8 ? 2m) x ? 8 (2mx ? 8)( x ? 1) ,再讨论 m 的取值 ? ? x x x

范围,从而得到 F ( x) 的单调性;(Ⅲ)先求出 y ? G( x) 的表达式,再假设存在 P、Q 两点满 足题意,由 OP ? OQ ? 0 ,讨论 t 的范围,从而得到 a 的取值范围为 (0, ??) . 试题解析:( I ) 令 ln( x ? 1) ? 0 ,则 x ? 2 ,即函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P (2,0) 分) (1

??? ? ????

3 的对称点为(1,0) (2 分) 2 1 又点(1,0)在 y ? f ( x) 的图象上,∴ m ? 4 ? m ? 0 ,∴ m ? ?3 3
∴P (2,0)关于直线 x ? (Ⅱ) ∵ F ( x) ? mx ? 2(4 ? m) x ? 8ln x 且定义域为 [0, ??)
2

(3 分) (4 分)

∴ F ?( x) ? 2mx ? (8 ? 2m) ? ∵x>0,则 x+1>0

8 2mx 2 ? (8 ? 2m) x ? 8 (2mx ? 8)( x ? 1) ? ? x x x

(5 分)

∴当 m≥0 时 F ?( x) ? 0 ,此时 F ( x) 在(0,+∞)上为增函数. 当 m<0 时,由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ?

(6 分)

4 4 ,由 F ?( x) ? 0 得 x ? ? m m 4 4 ∴ F ( x) 在 (0, ? ) 上为增函数,在 (? , ??) 上为减函数. (7 分) m m
综上,当 m≥0 时, F ( x) 在(0,+∞)上为增函数. 当 m<0 时, F ( x) 在 (0, ? (Ⅲ)由( I )知, G ( x ) ? ?

4 4 ) 上为增函数,在 (? , ??) 上为减函数. m m

(8 分)

?? x3 ? x 2 , x ? 2 ?a ln( x ? 1), x ? 2

,假设曲线 y ? G( x) 上存在两点 P、Q 满足题意,

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则 P、Q 两点只能在 y 轴两侧,设 P(t , G(t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t ? t ) ,
3 2

因为△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,

??? ? ???? ? OP ? OQ ? 0 ,即 ?t 2 ? G(t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ①
(1)当 0 ? t ? 2 时, G (t ) ? ?t ? t ,此时方程①为 ?t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0 ,化简得
3 2 2 3 2 3 2

t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 .此方程无解,满足条件的 P、Q 不存在.
(2)当 t ? 2 时, G(t ) ? a ln(t ? 1) ,此时方程①为 ?t ? a ln(t ? 1)(t ? t ) ? 0 ,
2 3 2



1 ? (t ? 1) ln(t ? 1) . a

设 h(t ) ? (t ? 1) ln(t ? 1),(t ? 1) ,则 h?(t ) ? ln(t ? 1) ?

t ?1 , t ?1

显然当 t ? 2 时, h?(t ) ? 0 ,即 h(t ) 在 (2, ??) 上为增函数,所以 h(t ) 的值域为 (0, ??) . 所以当 a ? 0 时方程①总有解. 综上,存在 P、Q 两点满足题意,则 a 的取值范围为 (0, ??) . 考点:1.点关于直线对称;2.用导数研究函数的单调性;3.函数的单调性与值域. 4.(1) a ? 1 ; (2) g (1) ? ?2 ; (3)证明过程详见解析. 【解析】 试题分析: 本题考查函数与导数及运用导数求切线方程、 单调区间、 最值等数学知识和方法, 突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问, 对 g ( x) 求导, 将 x ?1 代入得到切线的斜率,由已知得 k ? 0 ,即 g (1) ? 0 ,所以 a ? 1 ;第二问,利用第一问的
'

结论得到 g ( x) 的解析式,对 g ( x) 求导,判断函数的单调性和极值;第三问,先用分析法得 出与结论等价的式子,即 1 ? ? ln t ? t ? 1 ,先证不等式的右边,构造函数 k (t ) ,通过求导 数判断函数的单调性,求出最大值,所以 k (t ) ? k (1) ? 0 ,即 ln t ? t ? 1,再证不等式的左 边,同样构造函数 h(t ) ,通过求导,求出最小值,即 h(t ) ? h(1) ? 0 ,即 ln t ? 1 ? ,综合 上述两部分的证明可得

1 t

1 t

1 1 ?k? . x2 x1
2

1 ? 2ax ? 3 x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0 ∴a ?1 .
试题解析: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? 3 x ,则 g '( x) ?
答案第 4 页,总 57 页

(2)由(1)得 g '( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 或 x ?1 2

1 2 极小值为 g (1) ? ?2

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增.故函数 g ( x) 的

1 2

(3)证法一:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

要证

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证



x2 1 ? t ( t ? 1) ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) x1 t
1 t

令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0

即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1



令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 t

1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t


∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 ) 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即

1 t

1 t

1 1 ?k? . x2 x1

【证法二:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k, x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , k k k 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), k k
令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ?

? x1 ?

1 1 1 ? x2 , 即 ? k ? x2 x1 k
答案第 5 页,总 57 页

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考点:1.利用导数求切线的方程;2.利用导数求函数的极值和最值;3.分析法证明不等式. 5. (1) y ? ? x ? 3 ; (2) M ? 4 ; (3) a ? 1 . 【解析】 试题分析:本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查函数 思想和转化思想, 考查综合分析和解决问题的能力.第一问, 将 a ? 2 代入得到 f ( x) 解析式, 求 f ' ( x) 将 x ? 1 代入得到切线的斜率,再将 x ? 1 代入到 f ( x) 中得到切点的纵坐标,利用 点斜式求出切线方程;第二问,先将问题转化为 M ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ,进一步转化为求 函数 g ( x) 的最大值和最小值问题,对 g ( x) 求导,通过画表判断函数的单调性和极值,求出 最值代入即可;第三问,结合第二问的结论,将问题转化为 f ( x) ? 1 恒成立,进一步转化为

a ? x ? x 2 ln x 恒成立,设出新函数 h( x) ? x ? x 2 ln x ,求 h( x) 的最大值,所以 a ? h( x) max
即可. 试 时, f ( x) ? 题 解 析 : (1) 当

a?2

2 2 ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , x x
2分

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ;

(2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3x ? 2 x ? 3x( x ? ) ,
3 2

2

2 3

x

0
0 ?3

2 (0, ) 3

2 3
0
极小值 ?

2 ( , 2] 3
?

2

g '( x) g ( x)

?
递减

85 27

递增

1

由上表可知: g ( x)min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x)max ? g (2) ? 1 , 27 112 , 27
7分
答案第 6 页,总 57 页

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x)max ? g ( x)min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;

(3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, x

记 h( x) ? x ? x 2 ln x , h' ( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h' (1) ? 0 , 记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m' ( x) ? ?3 ? 2ln x ,由于 x ? [ , 2] ,

1 2

1 m' ( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 ,所以 m( x) ? h' ( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 2
当 x ? [ ,1) 时, h' ( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h' ( x) ? 0 ,

1 2

即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,
2

1 2

所以 h( x) max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 . 考点:1.利用导数求切线方程;2.利用导数求函数最值;3.利用导数判断函数的单调性和极 值. 6. (1) f ( x) 的极大值为 ? ln 2 ? 解析. 【解析】 试题分析: (1)首先求出函数的定义域 (0,??) ,然后求出函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ,在求 出 m ? ?3 时, f ?( x) =0 的根, 求出函数的单调区间, 找到函数的极值即可. (2) 由函数 f ( x) 在定 义域内为增 函数,可 得 x>0 时, f ?( x) ?

5 , f ( x) 的极小值为-2 (2) m ? ?2 2 (3)证明详见 4

1 ? 2 x ? m ? 0 恒 成立,分离 出 m ,得 x 1 1 m ? ?( ? 2 x ), (x ? 0) , 根 据 基 本 不 等 式 得 ?( ? 2 x ?) ? 2 x 2 ?, (, 即 0 ) x x 1 ?2 2 ,即 m ? ?2 2 ; ( 3 )由 f ( x) 在 (0,??) 为增函数, ?( ? 2 x x )? ( 的最大值是 0 ) x ??? ? ??? ? x1 ? x2 ? x3 ,? y1 ? y2 ? y3 ,在并根据向量的数量积,去证明 BA ? BC ? 0 即可. 1 ? 2x ? m x

试题解析:解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) f ?( x) ?

m ? ?3 时, f ?( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 1 ? = 0 ,得 x ? 或 x ? 1 x x 2

f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

答案第 7 页,总 57 页

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x

1 (0, ) 2
+

1 2

1 ( ,1) 2

1

(1,??)
+

f ?( x)
f ( x)

?

1 5 f ( x)极大值 ? f ( ) ? ? ln 2 ? 2 4

,

f ( x)极小值 ? f (1) ? ?2 .........5 分

(2)函数 f ( x) 在定义域内为增函数,

? x ? 0时, f ?( x) ?

1 ? 2 x ? m ? 0 恒成立, ? m ? ?( 1 ? 2 x) ( x ? 0) 恒成 立。 x x

2 1 时取等号) ? x ? 0,? ? 2 x ? 2 2 (当且仅当 x ? 2 x
1 ? ( ? 2 x) max ? ?2 2 , m ? ?2 2 x
( 3 ) 由 ( 2 ) 知 , m ? ?1 时 , 由 f ( x) 在 (0,??) 为 增 函 数 , ?ABC 的 三 个 顶 点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在函数 f ( x) 的图象上,且 x1 ? x2 ? x3 ,? y1 ? y2 ? y3
可证 BA ? BC ? 0 ,可得 B 为钝角,从而 a 2 ? c 2 ? b 2 考点:1.函数的导数;2.导数的性质;3.向量数量积的应用. 7. (1) a ? ?3 , b ? 4 ; (2) (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 【解析】 试题分析: (1)先求函数的导数,根据极值点处的导数值为 0 列方程组,从而求出 a、b 的 值; (2)先由(1)结论根据函数的导函数求 x ? [0, 3] 上的单调性,求此区间上的最大值, 让最大值小于 c ,从而解不等式可得解. 试题解析: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2
2

??? ? ??? ?

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . (6 分) ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

(2)由(1)可知, f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
答案第 8 页,总 57 页

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ? ? 0, (12 分) 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立, 因为对于任意的 x ? ? 0,
2

所以 9 ? 8c ? c 2 ,解得 c ? ?1 或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 (??, (16 分) ? 1) ? (9, ? ?) . 考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、利用导数求函数的极值及最值;3、解不等式. 8. (1)1, ?1, 0 ? ; (2) 0 ? a ? 1. 【解析】 试题分析: (1)先设公共点 P 坐标,再根据函数解析式在点 P 出的函数值相等,在点 P 出的 切线斜率相等列方程组,求点 P 坐标及 a 的值; (2)根据两函数相等方程求 a 的表达式,再 利用导数求表达式的值域,则可得实数 a 的取值范围. 试题解析: (1)设函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象的公共点 P ? x0 , y0 ? , 则有 ln x0 ? ax0 ? x0 ①又在点 P 有共同的切线
2

∴ f ' ? x0 ? ? g ' ? x0 ? ? 分 设 h ? x ? ? ln x ?

1 1 1 ? x0 1 代入①得 ln x0 ? ? x0 ? 2ax0 ? 1 ? a ? 2 x0 2 x0 2 2

3

1 1 1 1 ? x ? h ' ? x ? ? ? ? 0 ? x ? 0? 2 2 x 2

所以函数 h ? x ? 最多只有 1 个零点,观察得 x0 ? 1 是零点, ∴ a ? 1 ,此时 P ?1, 0 ? . 3分
2

(2)由 f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ax ? x ? a ?

ln x ? x x2

2分

?1 ? 2 ? ? 1? x ? 2 x ? ln x ? x ? 1 ? x ? 2 ln x ln x ? x x ? 令 r ? x? ? ? r '? x? ? ? ? 2 x x4 x3
当 0 ? x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调递减,且 所以 r ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 r ?1? ? 1 ,

2分

ln x ? x ?0 x2
2分

答案第 9 页,总 57 页

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所以要使 y ?

ln x ? x 与 y ? a 有两个不同的交点,则有 0 ? a ? 1 x2 1 y 1 ? ln y ; (3) ? . 2e x 1 ? ln x

2分

考点:利用导数求函数的切线的斜率和单调性. 9. (1) b ? 0 ;(2) a ? 【解析】 试题分析: (1) 先利用 f ?1? ? 2 求出 a , 然后在不等式中分离参数 b , 构造函数求 b 的范围; (2) 要使 f ( x) 在定义域上是单调函数,则其导数 g ? x ? 应在定义域上恒正或恒负,利用 求出 g ? x ?的最值, 将 a 在此处断开讨论, 求出范围; (3) 由 (1) 知 g ?x ? ? 1 ? g ' ?x ? , 在 ?0,1? 上 单 调 递 减 , 所 以

1 ? ln x x

1 ? ln x 1 ? ln y 1 ? ? x ? y ? 1 时 , g ?x ? ? g ? y ? 即 ,而 x y e

1 ? x ? y ? 1 时, ? 1 ? ln x ? 0 ,故可得证. e
试 题 解 析 :( 1 ) 因 为 f ?1? ? 2 , 所 以 a ? 1 , f ?x ? ? x ? x ? x ln x , 由
2

x 2 ? x ? x ln x ? bx 2 ? 2 x ? 1 ?
令 g ?x ? ? 1 ?

1 ln x ? ?b x x

1分

1 ln x ,可得 g ? x ?在 ( 0,1] 上递减, ? x x
4分

在 [1,??) 上递增,所以 g ?x ?min ? g ?1? ? 0 ,即 b ? 0 (2) 若

0?a?

1 2e



f ' ?x ? ? g ?x ? ? 2ax ? ln x, ?x ? 0?,

g ' ? x ? ? 2a ?

1 x

, 令

g ' ?x ? ? 0, x ?
当 x ? ? 0, 值 而当 0 ? a ? 域上不单调. 所以 a ?

1 , 2a

? ?

1 ? 1 ? 1 ? 时取得极小值即最小 ? ,g' ?x ? ? 0, 当 x ? ? ,?? ? , g' ?x ? ? 0, 所以 x ? 2a ? 2a ? 2a ? 1 ? 1 ? g ? ? ? 1 ? ln ? 0 , f ' ?x ? ? 0 必有根, f ?x ? 必有极值,在定义 2a ? 2a ?

1 时 2e

1 2e

8分

(3)由(1)知 g ?x ? ? 1 ? 所以

1 ? ln x 在 ?0,1? 上单调递减 x
10 分

1 ? ln x 1 ? ln y 1 ? ? x ? y ? 1 时, g ?x ? ? g ? y ? 即 x y e

答案第 10 页,总 57 页

1 ? x ? y ? 1 时, ? 1 ? ln x ? 0 ,所以 1 ? ln x ? 0 e y 1 ? ln y 所以 ? x 1 ? ln x


12 分

考点:利用导数求函数最值、利用函数单调性证明不等式、利用导数判断函数增减性. 10. (Ⅰ)函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ; (Ⅱ)实数 a 的取 值范围是 (??,0] ; (Ⅲ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 当a ? ?

1 时, 求函数 f ( x) 的单调区间,即判断 f ( x) 在各个区间上的符号, 4

只 需 对 f ( x) 求 导 即 可 ; ( Ⅱ ) 当 x ? [ 0 ,? ? ) 时 , 不 等 式 f ( x) ? x 恒 成 立 , 即

ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,令 g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,只需求出 g ( x) 最
大值 , 让最大值小于等于零即可 , 可利用导数求最值 , 从而求出 a 的取值范围; (Ⅲ)要证

2 4 8 2n (1 ? )(1? )(1? )?? ? [1 ? n ?1 ]? e ( n ? N* 成 立 , 即 证 n 2? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 4 8 l n { ?( 1 ? ) ( 1 ? ?? ) ( ? 1 ? 2? 3 ?3 5 ? 5 9 ln(1 ? 2 [ 1 ? ,即证 ? ( 2? 1 ) ( 2 )
n n

n ?1

1 )

] }

1

2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n ?1 ] ? 1 ,由 (Ⅱ) 可知当 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2 n ? 1)

2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ), 又因为 n ?1 ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立, a ? 0 时, n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
从而证出. 试题解析: (Ⅰ)当 a ? ?

1 1 2 时, f ( x) ? ? x ? ln( x ? 1) ( x ? ?1 ) , (1 分) 4 4

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? ?1 ) , (2 分) f ?( x) ? ? x ? ?? 2 x ?1 2( x ? 1)
由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 , 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ; (3 分) (Ⅱ)因当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设
2

g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,只需 g ( x) max ? 0 即可. (4 分)

答案第 11 页,总 57 页

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1 x[2ax ? (2a ? 1)] , (5 分) ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递 x ?1
由 g ?( x) ? 2ax ? 减, 故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立; (6 分) (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ①若

x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单 2a 2

调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不满足条 件; ②若

1 1 1 1 即 0 ? a ? 时, 函数 g ( x) 在 (0, 在区间 ( ?1 ? 0 , ? 1) 上单调递减, ? 1, ??) 2a 2 2a 2a

上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件 ; (8 分) (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1

∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . (9 分) ( Ⅲ ) 据 ( Ⅱ ) 知 当 a ? 0 时 , l nx(?

? 1 x) 在 [0, ??) 上 恒 成 立 , 又

2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ), n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
∵ ln{(1 ?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ?? ? [1 ? n ?1 ]} 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

? ln(1 ?

2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n ?1 ] (10 分) 2?3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 2n ? ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n?1 ? n )] 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2[( ? n )] ? 1 , (11 分) 2 2 ?1
∴ (1 ?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ?? ? [1 ? n ?1 ]? e. 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)
答案第 12 页,总 57 页

(12

分) 考点:利用导数的求单调区间、利用导数求最值、拆项相消法求数列的和. 11. (1)单调递增; (2) a ? ? e 2 ; (3) a ? ?1 . 【解析】 试题分析: (1)判断函数的单调性常用作差比较法、导函数法.其共同点都是与 0 比大小确 定单调性.也可以利用基本初等函数的单调性来判断:当 a ? 0 时, 因为 y ? ln x 与 y ? ? 在 (0,??) 上都是单调递增,所以 f ( x) ? ln x ?
1

a x

a ( a ? 0 )在定义域 (0,??) 上单调递增; x

(2)利用导函数法求闭区间上的最值,首先要求出极值,然后再与两个端点函数值比较得出最 值;既要灵活利用单调性,又要注意对字母系数 a 进行讨论; (3)解决“恒成立”问题,常用 分离参数法,转化为求新构造函数的最值(或值域). 试题解析:(1)由题意得 x ? 0 ,且 f ?( x) ?

1 a ? x x2

1分 3分

显然,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在定义域上单调递增; (2)当 a ? 0 时由(1)得 f ( x ) 在定义域上单调递增, 所以 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 f (1) , 即 f (1) ? 4分

3 3 3 ; ? ?a ? ? a ? ? (与 a ? 0 矛盾,舍) 2 2 2

5分 6分

当 a ? 0 , f ( x) ? ln x 显然在 ?1, e ? 上单调递增,最小值为 0,不合题意; 当 a ? 0 , f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x 当x ? (0, ? a ), f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减,

当x ? ? a, f ?( x ) ? 0, 当x ? ( ? a, ?? ), f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增.
分 若 ?a ? 1, f ( x)min ? f (1) ? ?a ? 7

3 3 ; ? a ? ? (舍) 2 2
1 3 ? a ? ?e 2 (满足题意) ; 2

若 1 ? ?a ? e, f ( x) min ? f (?a) ? 1 ? ln(?a) ?

?a ? e, f ( x)min ? f (e) ? 1 ?
综上所述 a ? ? e .
2
1 2

a 3 e ; ? ? a ? ? (舍) e 2 2

8分

9分

(3)若 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,即在 (1, ??) 上 x 2 ?

a ? ln x ? 0 恒成立,(分离参数求 x

答案第 13 页,总 57 页

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解) 等价于 a ? x ln x ? x3 在 (1, ??) 恒成立,令 g ( x) ? x ln x ? x , ( x ? 1) .
3

则 g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , ( x ? 1) ;
2 2

10 分

令 h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , ( x ? 1) ,则 h?( x) ?

1 1 ? 6x2 ? 6x ? x x

显然当 x ? 1 时 h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (1, ??) 上单调递减, h( x)max ? h(1) ? ?2 ? 0 , 即 g ?( x) ? 0 恒成立,说明 g ( x) 在 (1, ??) 单调递减, g ( x)max ? g (1) ? ?1 ; 所以 a ? ?1 . 12 分 考点:函数的单调性、导数及其应用 12.(1) 增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) ;(2) ?1,e ? ;0. 【解析】 试题分析: (1) 先求出 g ? ? x ? ? e ? a ,根据已知“ x ? 0 是函数 g ? x ? 的极值点” ,得到
x

11 分

g ? ? 0 ? ? 0 ,解得 a ? 1 ,将其代入 f ? x ? ? ax ? ln x ,求得 f ? ? x ? ? 1 ?

1 ,结合函数 f ? x ? x

的定义域,利用导数求函数 f ? x ? 的单调区间;(2)先研究函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 没有极 小值的情况: f ? ? x ? ?

ax ? 1 , 当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上先减后增, 有最小值; x

当 a ? 1 时, f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是单调递增的,没有最小值 .再研究函数 g ? x ? 在区间

?1, ?? ? 上是单调增函数: g'( x ) ? e x ? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,解得 a ? e .综合两种情
况得到 a 的取值范围.根据 g ( x) ?

2e x 2e x 1 2 利用导数研究函数 h ? x ? ? 2 ax ? ax 可知 a ? 2 , x x 2

的单调性,得到 h ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上的最小值是 h(2) ? 所以两曲线在区间 ?1, ?? ? 上没有交点.
' 试题解析:(1) 由 g (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1 ,

e2 ? e ,与 a 的取值范围矛盾, 2

2分 3分

f ( x) 的定义域为: (0, ??) ,

答案第 14 页,总 57 页

1 ,函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) . x 1 ax ? 1 (2) f ' ( x ) ? a ? ? , x x f ' ( x) ? 1 ?
若 0 ? a ? 1 则 f ( x) 在 (1,??) 上有最小值 f ?

5分

?1? ?, ?a?
7分

当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1,??) 单调递增无最小值.

∵ g ( x) 在 (1,??) 上是单调增函数∴ g'( x ) ? e x ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立, ∴a ? e. 综上所述 a 的取值范围为 ?1,e ? . 此时 g ( x) ? 即a ? 9分 10 分

1 2 ax ? ax , 2

2e x 2e x 2e x ( x ? 2) , , 令 h ( x ) ? ? h '( x ) ? x2 x2 x3
13 分

则 h(x)在 (0, 2) 单减, 在(2, ??) 单增, 极小值为 h(2) ?

e2 ? e . 故两曲线没有公共点. 2

14 分

考点:1.函数求导;2.函数的单调性与导数的关系;3.解不等式;4.不等式的恒成立问题; 5.方程的根与函数的零点的关系 13. (Ⅰ) f ? x ? 的单调递减区间是( 0,1 ) ,单调递增区间是 (1, ??) ; (Ⅱ)当 0 ? a ? 1时,

1 1 1 f ( x)min ? ; 当 1 ? a ? e2 时, f ( x)min ? a(1 ? ln a); 当 a ? e2 时, f ( x)min ? e2 ? a. . 2 2 2
【解析】 试题分析: (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,与函数曲线的切线 有 关 , 可 利 用 导 数 的 几 何 意 义 来 解 , 既 对 f ? x? 求 导 即 可 , 本 题 由 函 数

f ( x) ?

1 2 a x2 ? a x ? a ln x(a ? 0). ,知 f '( x ) ? x ? ? .,由 x x 2

f ' (2) ?

4?a 3 ? ,能求 2 2

出 a ? 1 ,要求 f ( x) 的单调区间,先求出函数的定义域,求出导函数,令导函数大于 0 ,求 出 x 的范围,写出区间形式即得到函数 f ? x ? 的单调增区间; (II)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的

答案第 15 页,总 57 页

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最小值,求出导函数,令导函数为 0 求出根,通过讨论根与区间 [1, e] 的关系,判断出函数 的单调性,求出函数的最小值. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??). f '( x) ? x ? 由 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行, 则 f '(2) ?

a x2 ? a ? . x x

4?a 3 ? , a ? 1. 4 分 2 2
1 2 x2 ?1 x ? ln x, f '( x) ? . 令 f '( x) ? 0,得x ? 1. 2 x

此时 f ( x) ?

f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:
x
( 0,1 ) — 1 0

(1, ??)
+

f ?( x)

f ( x)



1 2



所以, f ( x) 的单调递减区间是( 0,1 ) ,单调递增区间是 (1, ??) (Ⅱ)由 f '( x) ? x ?

7分

a x2 ? a ? . x x
a.

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? ①若

a ?1 即 , 0 ?a?

1 , (1, e) 上 , f ' ( x ? ) 在

0 , f ( x) 在 [1, e] 上 单 调 递 增 ,

f ( x)min ? f (1) ?
②若 1 ?

1 ; 2

a ? e,即1? a ? e2 ,在 ( 1, a ) 上, f '(x ) ? 0 , f ( x) 单调递减;在 ( a , e) 上,

1 f '(x ) ? 0 , f ( x) 单调递增,因此在 [1, e] 上, f ( x)min ? f ( a ) ? a(1 ? ln a) ; 2
③若

a ?e即 , a ? 2e 在 , (1, e) 上 , f ' ( x ? )

0 f ( x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 , ,

1 f ( x)min ? f (e) ? e2 ? a. 2
答案第 16 页,总 57 页

综上,当 0 ? a ? 1时, f ( x) min ?

1 1 ; 当 1 ? a ? e2 时, f ( x)min ? a(1 ? ln a); 2 2
14 分

当 a ? e 时, f ( x) min ?
2

1 2 e ? a. 2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值. 14. (Ⅰ) a ?

2 ; (Ⅱ)当 a ? 0 时,故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 3 1 1 时, f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 2 a

(2, ??) ;当 0 ? a ?

1 1 1 (2, ) ; a ? 时,故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) ;当 a ? 时,故 f ( x) 的单调递增 a 2 2
区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) ; (Ⅲ) a ? ln 2 ? 1. 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值,与函数 曲线的切线有关,可利用导数的几何意义来解,既对 f ? x? 求导即可,本题由函数

1 a

1 a

f ( x) ?

2 1 2 ax ? ( 2 a? 1) x? 2 lnx (a? R, ) 知 f ?( x) ? a x? ( 2 a? 1)? ( x ? 0 ), 由 曲 线 x 2

' ' y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行, 即 f ?1? ? f ? 3? , 这样就能求出 a 的值; (Ⅱ)

求 f ? x ? 的单调区间,常利用 f ? x ? 的导数来判断,本题由 f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) , x

由于 a 的值不知道,需对 a 的取值范围进行分类讨论,从而求出 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ) 对 任 意 x1 ? (0, 2] , 均 存 在 x2 ? ( 0 , 2 ] , 使 得 f ( x1 ) < g ( x2 ) , 等 价 于 在 ? 0 , 2 ? 上有

f ? x?m a x? g? x ?

max

,只需分别求出 f ? x ? 与 g ? x ? 的最大值,利用 f ? x ?max ? g ? x ?max ,就

能求出 a 的取值范围. 试题解析: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x
3分

2分

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ?

2 . 3

答案第 17 页,总 57 页

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(Ⅱ) f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

5分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ?1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) , 单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? 6分

1 1 时, ? 2 , 2 a 1 a 1 a

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 ,

故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,

1 a

单调递减区间是 (2, ) .

1 a

7分

③当 a ?

1 ( x ? 2)2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . 8 分 2x 2
1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 a 1 a

④当 a ?

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 ,

故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x) max ? g ( x) max . 由已知, g ( x) max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

9分

10 分

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,
答案第 18 页,总 57 页

故 ln 2 ? 1 ? a ?

1 . 2

11 分

②当 a ?

1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 a 1 ? 2ln a . 2a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2ln a ? ?2 , ?2ln a ? 2 , 2 2 e
13 分

所以, ?2 ? 2ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 ,

综上所述, a ? ln 2 ? 1. 14 分 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程. 15.(Ⅰ) f ( x) min ? 2 , f ? x ?max ? 4ln 3 ? 2 ;(Ⅱ) a ? 2 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先写出 a ? 4 时的函数解析式以及定义域: f ( x) ? 4ln x ? x ?

3 , ( x ? 0) , x

对函数求导并且求得函数的零点, 结合导数的正负判断函数在零点所分的各个区间上的单调 性,从而得到函数的极值点,求得极值点对应的函数值即可;(Ⅱ)先求出函数

a ?1 的 f ( x) ? a l n x? x? , ( x? 0 ) 导 数 , 将 问 题 “ f ( x) 在 定 义 域 内 无 极 值 ” 转 化 为 x
“ f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立” ,那么设 g ( x) ? ? x ? ax ? (a ? 1) 分两种情况
2

?? ? 0 ?a ? 进行讨论,分别为方程无解时 ? ? 0 ,以及方程有解时保证 g ( x) ? 0, ? x ? 0 ? ,即 ? ? 0 ?2 0 ? g (0) ? ?
成立,解不等式及不等式组,求两种情况下解的并集. 试题解析: (Ⅰ)已知 a ? 4 ,∴ f ( x) ? 4ln x ? x ?

3 , ( x ? 0) , x
2分

1分

f ?( x) ?

4 3 ? x2 ? 4 x ? 3 ?1 ? 2 ? , x x x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 3 . 当 0 ? x ? 1或x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ; 当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 .

3分

4分

答案第 19 页,总 57 页

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f (1) ? 2, f (3) ? 4ln 3 ? 2 ,
∴ f ( x) 取得极小值 2,极大值 4ln 3 ? 2 . (Ⅱ) f ( x) ? a ln x ? x ?

5分 6分

a ?1 , ( x ? 0) , x
7分

f ?( x) ?

a a ? 1 ? x 2 ? ax ? (a ? 1) , ?1 ? 2 ? x x x2

f ( x) 在定义域内无极值,即 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立.
设 g ( x) ? ? x ? ax ? (a ? 1) ,根据图象可得:
2

9分

?? ? 0 ?a ? ? ? 0 或 ? ? 0 ,解得 a ? 2 . ?2 ? ? g (0) ? 0

11 分

∴实数 a 的取值范围为 a ? 2 . 12 分 考点:1.函数的单调性与导数的关系;2.利用导数研究函数的极值;3.解不等式;4.二次函 数的图像与性质;5.不等式恒成立问题 16. (1)增函数; (2) a ? 【解析】

5 ; (3) [8 ? 5 ln 2, ? ?) . 2

a 的定义域 (0,??) ,再利用导数的公式 x a x ?1 和法则求得函数 f ? x ? ? ln x ? 的导函数 f ?( x) ? 2 ,发现其在 x ? ?0,?? ? 恒大于零, x x a 于 是 可 知 函 数 f ? x ? ? ln x ? 在 x ? ?0,?? ? 上 单 调 递 增 ; (2) 本 小 题 首 先 求 得 函 数 x a g ?x ? ? ax ? ? 5 ln x 的 定 义 域 (0,??) , 再 利 用 导 数 的 公 式 和 法 则 求 得 函 数 x
试题分析:(1) 本小题首先求得函数 f ? x ? ? ln x ?

g ?x ? ? ax ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a a , 根据函数 g ( x) 在其定 ? 5 ln x 的导函数 g ' ( x) ? a ? 2 ? ? x x x2 x

义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0 ,然后转化为最值得求解; (3)本小题首 先分析“ ?x1 ? (0,1) , ?x2 ? [1,2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于 “ g ( x) 在 (0,1) 上的 最大值不小于 h( x) 在 [1,2] 上的最大值” ,于是问题就转化为求函数的最值. 试题解析: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ?( x) ? 所以 f(x)为增函数.

x ?1 >0 x2

3分
答案第 20 页,总 57 页

(2) g ( x) ? ax ?

a ? 5 ln x , g ( x) 的定义域为 (0,??) x
5分

g ' ( x) ? a ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a ? ? x2 x x2

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0

? ax2 ? 5 x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5 x ? a ?


5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max
2

5 5x 5 5 ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取等号,所以 a ? 2 x ?1 x ? 1 2 x
2

9分

(3)当 a ? 2 时, g ( x) ? 2 x ? 由 g ' ( x) ? 0 得 x ?

2 x 2 ? 5x ? 2 2 ? 5 ln x , g ' ( x) ? x2 x

1 或x?2 2 1 2

当 x ? (0, ) 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( ,1) 时, g ' ( x) ? 0 . 所以在 (0,1) 上, g ( x) max ? g ( ) ? ?3 ? 5 ln 2 而“ ?x1 ? (0,1) , ?x2 ? [1,2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于 “ g ( x) 在 (0,1) 上的最大值不小于 h( x) 在 [1,2] 上的最大值” 而 h( x) 在 [1,2] 上的最大值为 max{ h(1), h(2)}

1 2

1 2

11 分

? 1 ? g ( 2 ) ? h(1) ? 所以有 ? ? g ( 1 ) ? h(2) ? ? 2

?m ? 8 ? 5 ln 2 ?? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ?? ?? ? m ? 8 ? 5 ln 2 1 m ? (11 ? 5 ln 2) ?? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2m ? 2 ?
所以实数 m 的取值范围是 [8 ? 5 ln 2, ? ?) 考点:1.导数公式与法则;2.函数的单调性;3.等价转化. 17. (1) y ? 6 x ? 9 ; (2) {a | 0 ? a ? 【解析】
答案第 21 页,总 57 页

14 分

2 }. 2

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试题分析: (1)本小题首先代入 a ? 1 求得原函数的导数,然后求出切点坐标和切线的斜率, 最后利用点斜式求得切线方程 y ? 6 x ? 9 ; (2)本小题首先求得原函数的导数,通过导数零点的分析得出原函数单调性,做成表格, 求 得 函 数 的 极 大值 f ?0? ? 1 和 极 小 值 f ?

1 ?1? f ? x ? 有 三 个 零 点, 只 需 ? ? 1? 2 ,若要 2a ?a?

1 1 ?1? ?1? f ? ? ?1? 2 ? 0 f ? ? ?1? 2 ? 0 2a 2a ?a? ?a? 即可,解不等式即可.
试题解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ?x ? ? x3 ?

3 2 x ? 1, f ?2? ? 3 2 ;

f ' ?x ? ? 3x 2 ? 3x, f ' ?2? ? 6
所以曲线 y ? f ?x ? 在点 ?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3 ? 6?x ? 2? , 即 y ? 6x ? 9 (Ⅱ) f ? x ? = 3ax ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令
'
2

6分

f

'

?x ? ? 0 ,解得

x ? 0或x ?

1 a

8分

因 a ? 0 ,则

0?

1 ' a .当 x 变化时, f ? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表:

x f’(x) f(x)

?? ?,0?
+ 递增

0 0 极大值

? 1? ? 0, ? ? a?
递减

1 a
0 极小值

?1 ? ? ,?? ? ?a ?
+ 递增

1 ?1? f ? ? ?1? 2 2a , 则极大值为: f ?0? ? 1 ,极小值为: ? a ?
若要 f ? x ? 有三个零点,

1 ?1? f ? ? ?1? 2 ? 0 2a 只需 ? a ? 即可,

a2 ?
解得

2 1 0?a? 2 2 ,又 a ? 0 .因此
{a | 0 ? a ? 2 } 2
答案第 22 页,总 57 页

故所求 a 的取值范围为

13 分

考点:1.用导数求切线方程;2.用导数分析函数的单调性、极值. 18. (1) 函数 f ? x ? 的最大值为 ? ln 3 ? 【解析】 试题分析: (1)将 a ? ?3 ,b ? 1代入函数 f ? x ? 的解析式,然后利用导数求出函数 f ? x ? 的 最大值; (2)先确定函数 F ? x ? 的解析式,并求出函数 F ? x ? 的导数,然后利用导数的几何 意义将问题转化为 a ? ? ?

5 1 ? 3 ? ; (2) 实数 a 的取值范围是 ? ? , ?? ? ; (3)m ? . 6 2 ? 2 ?

? 1 2 ? (3)方法一是利用参数 x0 ? x0 ? ,利用恒成立的思想进行求解; ? 2 ?

分 离 , 将 问 题 转 化 为 方 程 2m ? 、

x2 有且仅有一个实根,然后构造新函数 ln x ? x

G ? x? ?

x2 ,利用导数求出函数 G ? x ? 的极值从而求出参数 m 的值;方法二是直接构 ln x ? x
2

造新函数 g ? x ? ? x ? 2mf ? x ? ,利用导数求函数 g ? x ? 的极值,并对参数 m 的取值进行分 类讨论,从而求出参数 m 的值. 试题解析: (1)依题意, f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , 当 a ? ?3 , b ? 1时, f ? x ? ? ln x ?

1 1 ? 3x 2 ? 2 x 3 2 , x ? 2 x , f ? ? x ? ? ? 3x ? 2 ? x x 2
1 ; 3

由 f ? ? x ? ? 0 ,得 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

1 或 x ? ?1 . 3

? 1? ?1 ? ? x ? 0 ,? f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? , ?? ? 单调递减; ? 3? ?3 ?
所以 f ? x ? 的极大值为 f ? ? ? ? ln 3 ? (2) F ? x ? ? ln x ?

?1? ?3?

5 ,此即为最大值; 6

x ?a 1 a ?1 ? ?1 ? , x ? ? ,3? ,则有 k ? F ? ? x0 ? ? 0 2 ? 在 x0 ? ? ,3? 上有解, x0 2 x ?2 ? ?2 ?

∴a ? ??

?1 ? ? 1 2 ? x0 ? x0 ? , x0 ? ? ,3? ?2 ? ? 2 ? min

1 1 1 2 ? ? x0 2 ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ? , 2 2 2
答案第 23 页,总 57 页

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所以当 x0 ? 3 时, ?

1 2 9 3 3 x0 ? x0 取得最小值 ? ? 3 ? ? ,? a ? ? ; 2 2 2 2
2

( 3 ) 方 法 1 : 由 2mf ? x ? ? x 得 2m ?

x2 x2 x2 ? , 令 G ? x? ? , f ? x ? ln x ? x ln x ? x

G? ? x ? ?

x ? 2 ln x ? x ? 1?

? ln x ? x ?

2



令 g ? x ? ? 2ln x ? x ? 1 , g ? ? x ? ?

2 ? 1 ? 0 ,∴ g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增, x

而 g ?1? ? 0 ,∴在 x ? ? 0,1? , g ? x ? ? 0 ,即 G? ? x ? ? 0 ,在 x ? ?1, ?? ? , g ? x ? ? 0 ,即

G? ? x ? ? 0 ,
∴ G ? x ? 在 ? 0,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增, ∴ G ? x ? 极小值为 G ?1? ? 1 ,令 2m ? 1 ,即 m ?
2

1 2 时方程 2mf ? x ? ? x 有唯一实数解. 2

方法 2:因为方程 2mf ? x ? ? x 有唯一实数解,所以 x2 ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 设 g ? x ? ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ? ? x ? ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m ,令 g ? ? x ? ? 0 , x

x2 ? mx ? m ? 0 因 为 m ? 0 , x ? 0 , 所 以 x1 ?

m?

2 m ?4 m ? 0 ( 舍 去 ), 2

x2 ?

m ? m 2 ? 4m , 2

当 x ? ? 0, x2 ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上单调递减, 当 x ? ? x2 , ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? x2 , ?? ? 上单调递增, 当 x ? x2 时, g ? x ? 取最小值 g ? x2 ? . 若方程 x2 ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 则必有 ?
2 ? ? ? x2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 ? g ? x2 ? ? 0 即? 2 ? ? ? x2 ? mx2 ? m ? 0 ? g ? ? x2 ? ? 0

所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0, 所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0(?)

12 分

设函数 h ? x ? ? 2ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时,h ? x ? 是增函数,所以 h ? x ? ? 0 至多有一解.

答案第 24 页,总 57 页

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? . ∵ h ?1? ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即 2 2
考点:1.利用导数求函数的最值;2.函数不等式恒成立;3.参数分离法;4.分类讨论法;4. 函数的零点 19. (1) a ? 2 ; (2) (??,2] . 【解析】 试题分析: 本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、 最值等数学知识和方 法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力,考查函数思想、分类讨 论思想.第一问,先将 x ? 1 代入 f ( x) 中,得到切点的纵坐标,对 f ( x) 求导,将 x ? 1 代入 得到切线的斜率,所以点斜式写出切线方程,因为它与圆相切,所以圆心到切线的距离等于 半径,列出表达式,求出 a ;第二问,对 f ( x) 求导,通过分析可转化为当 x ? (1,??) 时,

f ( x) ? 0 恒成立,设 h( x) ? x 2 ? ax ? 1( x ? 1) ,讨论 ? ,讨论 h( x) 的正负,通过抛物线的
性质,求最小值. 试题解析: (1) f (1) ? 1 ? 1 ? a ln1 ? 0 , 而 f ' ( x) ? 1 ?

1 a 1 ) ? 1 ? 1 ? a?2 ? a , ? ,故 f ' ( 2 x x

所以 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? (2 ? a)( x ? 1) ,即 y ? (2 ? a)( x ? 1) , 由 x ? y ? 2 y ? 0 ,配方得 x ? ( y ? 1) ? 1 ,故该圆的圆心为 C (0,1) ,半径 r ? 1 ,
2 2
2 2

由题意可知,圆 C 与直线 y ? (2 ? a)( x ? 1) 相切,所以

| (2 ? a )(0 ? 1) ? 1| (2 ? a ) 2 ? 12

? 1,

即 | a ? 3 |?

a 2 ? 4a ? 5 ,解得 a ? 2 .
'

1 a x 2 ? ax ? 1 (2)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ( x) ? 1 ? 2 ? ? , x x x2
由题意,只需当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 恒成立.
2 设 h( x) ? x ? ax ? 1( x ? 1 ) ,? ? a ?

2

4,
'

当 ?2 ? a ? 2 时, ? ? 0 ,当 x ? 0 时, h( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? 0 恒成立, 故 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数,∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 当 a ? ?2 时,函数 h( x ) 的对称轴 x ?

a ? ?1 ,则 h( x) 在 [1, ??) 上是增函数, 2
'

当 x ? 1时, h( x) ? h(1) ? 2 ? a ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数,

答案第 25 页,总 57 页

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∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 当 a ? 2 时 , 函 数 h( x ) 的 对 称 轴 x ? , 0 h( x)? h( 1 ?) ?2 a ? 故 f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 [1, ] 是减函数,
'

a a ? ?1 , h( x) 在 [1, ] 是 减 函 数 , 2 2

a 2

∴当 1 ? x ?

a 时, f ( x) ? f (1) ? 0 与当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 矛盾, 2

综上所述, a 的取值范围是 (??,2] . 考点:1.利用导数求切线的方程;2.点到直线的距离公式;3.利用导数求函数最值. 20. (Ⅰ) f ( x) 在 (0, 【解析】 试题分析: (Ⅰ)当 a ? ?1时,求函数 f ( x) 的单调区间,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可 通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于 f ( x) ? a ln x ? 可通过求导来确定单调区间,对函数 f ( x) 求导得 f ?( x) ? ?

1? 5 1? 5 1 (Ⅱ) a ? ? ; (Ⅲ)详见解析. ) ? ,( , ? ?) ?; 2 2 2

1 2 x ? x ,含有对数函数, 2

1 ? x ? 1 ,由此令 f ?( x) ? 0 , x

(Ⅱ)若 h( x) ? f ( x) ? ax ,对定义域 f ?( x) ? 0 ,解出 x 就能求出函数 f ( x) 的单调区间; 内 任 意 x , 均 有 h( x ) ? 0 恒 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 而

1 h( x) ? f ( x) ? ax ? a ln x ? x 2 ? (a ? 1) x ,对定义域内任意 x ,均有 h( x) ? 0 恒成立,属 2
于恒成立问题,解这一类题,常常采用含有参数 a 的放到不等式的一边,不含参数 a (即含 x )的放到不等式的另一边,转化为函数的最值问题,但此题用此法比较麻烦,可考虑求其 最小值,让最小值大于等于零即可,因此对函数 h( x ) 求导,利用导数确定最小值,从而求 出 a 的取值范围; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? ?

1 1 1 1 时, f ( x) ? ? ln x ? x2 ? x ? 0 ,当 2 2 2 2

且仅当 x ? 1 时, 等号成立, 这个不等式等价于 ln x ? x 2 ? x , 即 由 此 对 任 意 的 正 整 数

1 1 1 ? ? n l x xx ( 1 )? x 1 ? x ?
, 不 等

1

, 式

m, n

1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ? 恒成立. ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m m ? n m(m ? n)
试 题 解 析 :( Ⅰ ) 定 义 域 为 ( 0 , + ∞ ), a ? ?1, f ( x) ? ? ln x ?

1 2 x ?x , 2

答案第 26 页,总 57 页

1 x2 ? x ? 1 f ?( x) ? ? ? x ? 1 ? ? x x

(x ?

1? 5 1? 5 )( x ? ) 2 2 x







f ( x)



1? 5 1? 5 (0, ) ? ,( , ? ?) ? (4 分) 2 2
(Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? ax ? a ln x ?

1 2 ( x ? 1)( x ? a) ,当 a ? 0 时, x ? (a ? 1) x ? h?( x) ? 2 x 1 1 上递减,在 上递增, h(1) ? ?a ? ? 0 ? a ? ? ,当 a ? 0 时, (0, 1 ) (, 1 ? ?) h( x ) 在 2 2 1 1 (9 分) h(1) ? ?a ? ? 0 不可能成立,综上 a ? ? ; 2 2
Ⅲ ) 令



1 1 1 1 1 1 1 1 a ? ? , ? ln x ? x 2 ? x ? 0 ? ? ? ? 2 2 2 2 ln x x( x ? 1) x ? 1 x



1 1 1 1 1 1 1 1 1 相加 ? ? , ? ? ,? , ? ? ln(m ? 1) m m ? 1 ln(m ? 2) m ? 1 m ? 2 ln(m ? n) m ? n ? 1 m ? n
得到

1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m m ? n m(m ? n)

得证。 (14 分) 考点:函数与导数,函数的单调区间,函数与不等式. 21.(I) a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增;a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, 调递减. (Ⅱ) a ?

? ?

1? ?1 ? ? 单调递增,? , ?? ? 单 a? ?a ?

1 . 2

【解析】 试题分析:(I)根据单调函数的性质,分 a ? 0 , a ? 0 讨论 y ? ?a( x ? 1) 的单调性,即可得 到结论. (Ⅱ)注意到“当 x ? 1 时, f ( x) ≤

a ? x ? 1? ln x ? 0在 恒成立” ,等价于 h ? x ? ? ln x ? x x ?1
2

2 2 1 2ax ? a ? x ? 1? ?ax 2 ? x ? a ? ,分以下三种 ?x ? 1 恒成立,因此,通过确定 h? ? x ? ? ? x x2 x2

情况讨论:

a ? 0,a ?

1 1 1 , 0 ? a ? ,得出结论: a ? . 2 2 2

12 分

试题解析:(I) a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增
答案第 27 页,总 57 页

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? 1? ?1 ? a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增, ? , ?? ? 单调递减 ? a? ?a ?
(Ⅱ)等价于 h ? x ? ? ln x ?

6分

a ? x 2 ? 1? x

? 0 在 ?x ? 1 恒成立,

2 2 1 2ax ? a ? x ? 1? ?ax 2 ? x ? a h? ? x ? ? ? ? x x2 x2

(1)当 a ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,与题意矛 盾 (2)当 a ?

1 时,h? ? x ? ? 0 恒成立,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,所以 h ? x ? ? h ?1? ? 0 2

(3) 当0 ? a ?

?1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? ?1, 时,x? ? 所以 h ? x ? 在 ?1, x? ? 单调递增, ?2a 2a 2
1 2
12 分

h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,与题意矛盾,综上所述: a ?

考点:函数的单调性,应用导数研究函数的极值. 22. (1)切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 ; (2)详见解析; (3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)将 a ? 2 代入函数 f ? x ? 的解析式,利用导函数的几何意义,结合直线的点 斜式求出切线的方程; ( 2)先求出函数 f ? x ? 的导数 f ? ? x ? ,并求出方程 f ? ? x ? ? 0 的根

1 1 ,对 x ? 是否在定义域内进行分类讨论,从而确定函数 f ? x ? 的增区间和减区间; a a 1 ( 3 )对 x ? 是否在区间 ?1, 2 ? 内进行分类讨论,从而确定函数 f ? x ? 的最小值,注意 a 1 1 ? ? 2 时,函数 f ? x ? 最小值的可能值为 f ?1? 或 f ? 2 ? ,这时可对两式的值作差确定大 a x?
小,从而确定两者的大小,从而确定函数 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上的最小值. 试题解析:在区间 ? 0, ?? ? 上, f ? ? x ? ?

1 1 ? ax , ?a ? x x

(1)当 a ? 2 时, f ? ?1? ? 1 ? 2 ? ?1 ,则切线方程为 y ? 2 ? ? ? x ? 1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 ; (2)①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 区间为 ? 0, ?? ? ;

1 ? a ? 0 ,故函数 f ? x ? 为增函数,即函数 f ? x ? 的单调递增 x

答案第 28 页,总 57 页

1 1 ? a ? 0 ,可得 x ? , x a 1 1 ? ax 1 1 ? ax 当 0 ? x ? 时, f ? ? x ? ? ? 0 ;当 x ? , f ? ? x ? ? ? 0, a x a x
②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, (3)①当

? ?

1? ?1 ? ? ,单调递减区间为 ? , ?? ? ; a? ?a ?

1 ? 1 时,即当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是减函数, a

? f ? x ? 的最小值是 f ? 2 ? ? ln 2 ? 2a ;
②当

1 1 ? 2 时,即当 0 ? a ? 时,函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数, a 2

? f ? x ? 的最小值是 f ?1? ? ?a ;
③当 1 ? 数, 所以 f ? x ? 的最小值产生于 f ?1? 与 f ? 2 ? 之间,又 f ? 2 ? ? f ?1? ? ln 2 ? a , 当

1 1 ? 1? ?1 ? ? 2 时,即当 ? a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ?1, ? 上是增函数,在 ? , 2 ? 上是减函 a 2 ? a? ?a ?

1 ? a ? ln 2 时,最小值为 f ?1? ? ?a ; 2

当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f ? 2 ? ? ln 2 ? 2a , 综上所述,当 0 ? a ? ln 2 时,函数 f ? x ? 的最小值是 f ? x ?min ? ?a , 当 a ? ln 2 时,函数 f ? x ? 的最小值是 f ? x ?min ? ln 2 ? 2a . 考点:1.利用导数求切线方程;2.函数的单调区间;3.函数的最值;4.分类讨论. 23. (1) k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ? 即 f ( x) ? 1 ; ② 当 0 ? x ? 1 时 , h( x) ? h(1) ? 0 , 即 f ( x) ? 1 ; ③ 当 x ? 1 时 , h( x) ? h(1) ? 0 , 即 (3)证明过程详见解析. f ( x) ? 1 ; 【解析】 试题分析:本题考查函数与导数、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函 数的极值与最值等数学知识和方法, 考查综合运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能 力, 考查函数思想和分类讨论思想.第一问, 先将 a ?

3 (2)①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 , ? ln 2 ; 2

9 代入得到 f ( x) 解析式, 因为 g ( x) 仅 2

有一个零点,所以 y ? f ( x) 和 y ? k 仅有一个交点,所以关键是 y ? f ( x) 的图像,对 f ( x)
答案第 29 页,总 57 页

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求导,令 f ( x) ? 0 和 f ( x) ? 0 判断函数的单调性,确定函数的极值和最值所在位置,求出
' '

具体的数值, 便可以描绘出函数图像, 来决定 k 的位置; 第二问, 先将 a ? 2 代入, 得到 f ( x) 解析式,作差法比较大小,得到新函数 h( x ) ,判断 h( x ) 的正负即可,通过对 h( x ) 求导, 可以看出 h( x ) 在 (0, ??) 上是增函数且 h(1) ? 0 , 所以分情况会出现 3 种大小关系; 第三问, 法一:利用第二问的结论,得到表达式 ln

k ?1 1 ,再利用不等式的性质得到所证表 ? k 2k ? 1

达式的右边,左边是利用对数的运算性质化简,得证;法二,用数学归纳法证明,先证明当 再假设当 n ? k 时不等式成立, 然后利用假设的结论证明当 n ? k ? 1 时 n ? 1 时不等式成立, 不等式成立即可. 试题解析: (1)当 a ?

9 9 时, f ( x) ? ln x ? ,定义域是 (0, ??) , 2( x ? 1) 2

f ' ( x) ?

1 9 (2 x ? 1)( x ? 2) 1 ' ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 . ? ? 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

1 1 ' ' 或 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,当 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 , 2 2 1 3 ∴ f ( x) 的极大值是 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值是 f (2) ? ? ln 2 . 2 2
∵当 0 ? x ? ∵当 x ? ?0 时, f ( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? ,

? 当 g ( x) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ?
(2)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ?

3 ? ln 2 . 2

4分

2 ,定义域为 (0,?? ) . x ?1

2 ?1, x ?1

? h?( x) ?

1 2 x2 ? 1 ? ? ?0, x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? h( x ) 在 (0,?? ) 上是增函数.
①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ②当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ③当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . (3) (法一)根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 8分

2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

答案第 30 页,总 57 页

令x?
n

k ?1 k ?1 1 ,则有 ln , ? k k 2k ? 1
n k ?1 k ?1 n 1 .? ln(n ? 1) ? ? ln , ?? k k k ?1 k ?1 2k ? 1

? ? ln
k ?1

? ln(n ? 1) ?

1 1 1 . ? ??? 3 5 2n ? 1

12 分

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 ?3ln 2 ? ln8 ? 1,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln(k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 . ? n ? k ? 1时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ? ? ??? ? ln k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1 k ?2 k ?2 1 令x? ,则有 ln , ? k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. ? 3 5 2k ? 1 2 k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立. 考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用导数求函数的极值和最值;3.函数零点问题; 4.数学归纳法;5.不等式的性质. 24 . ( 1 )

a ? 1时,f ( x)的单调增区间为(0, ??)



0 ? a ?1
,



,

f ( x)的单调增区间为

(0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ), ( , ??) a a

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 2 单调减区间为( , ) .(2) (0,2 ) a a e ?1
【解析】 试题分析: ( 1 )首先求出函数的导数 f ?( x)=

ax 2 ? 2 x ? a ,然后求出满足 f ?( x) ? 0 或 x2
) 根 据 极 值 点 的 概 念 得

f ?( x) ? 0

的 区 间 即 可

. (

2

ax12 ? 2 x1 ? a ? 0, ax2 2 ? 2 x2 ? a ? 0, 从而a=

2 x1 , 且x1 x2 ? 1 , 在 由 已 知 条 件 求 出 x12 ? 1

x 2 ?1 1 1 1 ? lnx12), ( 2 ? x12 ? 1) , 极值 m, n 的表达式, 然后整理 z ? m ? n = 4( 12 ? a ?1, x1 ? 1 2 e e

答案第 31 页,总 57 页

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构造函数:令 t ? x 2 , 则

1 t ?1 1 1 ? t ? 1, 从而h(t ) ? ? ln t , ( 2 ? t ? 1) ,通过求导,证明 2 e t ?1 2 e 1 1 h(t )在( 2 ,1)是减函数 ,从而可得 h(1) ? h(t ) ? h( 2 ) 即可. e e
f ?( x)= ax 2 ? 2 x ? a , x2
2 分 令 g ( x) ? ax ? 2 x ? a, (a ? 0) ,
2

试 题 解 析 : (1)

? ? 4(1 ? a 2 )
①. a ? 1 时,? ? 0,g(x)? 0,f ( x)的单调增区间为(0, ??)

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , x2 ? ②. 0 ? a ? 1时, ? ? 0 ,令 g ( x) ? 0, 得x1 ? a a

f ( x)的单调增区间为(0, x1 ), ( x2 , ??) , f ( x)的单调减区间为( x1 , x2 )
(2)依题意有 ax1 ? 2 x1 ? a ? 0, ax2 ? 2 x2 ? a ? 0, 从而a=
2 2

6分

2 x1 , 且x1 x2 ? 1 x12 ? 1



2e 1 a a ? a ? 1, 得 ? a ? 1, 且m ? ax1 ? ? 2 ln x1 , n ? ax2 ? ? 2 ln x2 e ?1 e x1 x2
2

z ? m ? n ? 2a ( x1 ?
令 t ? x2 , 则
/

x 2 ?1 1 1 1 ) ? 4 ln x1 ? 4( 12 ? lnx12), ( 2 ? x12 ? 1) , x1 x1 ? 1 2 e

9分

1 t ?1 1 1 ? t ? 1, 从而h(t ) ? ? ln t , ( 2 ? t ? 1) , 2 e t ?1 2 e

?(t ? 1) 2 1 1 h (t ) ? ? 0,? h(t )在( 2 ,1)是减函数, ? h(1) ? h(t ) ? h( 2 ) 2 2t (t ? 1) e e

? 0 ? h(t ) ?

2 2 , 从而z的取值范围为(0,2 ) e ?1 e ?1
2

13 分

考点:1.求函数的导数和导数的性质;2.导数的极值和导数性质的应用. 25. (1) (0,1] ; (2) (ⅰ)13; (ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)由直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 相切可以求出 g ( x) 中的参数 b .再由对

[1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 a ? x 2 ? 2 x ln x 在 [1,??) 上恒成
立,然后构造函数 h( x) ? x ? 2 x ln x ,研究其导函数以确定其单调性,从而得到其最小值
2

1.又 a ? 0 ,所以实数 a 的取值范围是 (0,1] ; (2) (ⅰ)先通过导函数确定 f ( x) 在 [e,3] 上

答案第 32 页,总 57 页

是增函数,从而得到 f ( x) 在 [e,3] 上的最大值.由题意,必须使得不等式左边的最大值小于 或等于右边的最小值.经计算知 xk ? e 时不等式右边取得最小值,然后代入不等式,解得 (ⅱ)根据(1)的推导 x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) , k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 ; 从而 ln x ?

1 1 2k ? 1 代入化简即可得证. ( x ? ) ,再通过令 x ? 2 x 2k ? 1

试题解析: (1)设点 ( x 0 , y 0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 的切点,则有

2 ln x0 ? bx0 ? 2 x0 ? 2 .

(*)

? g ?( x) ?

2 2 ? b ,? ? b ? 2 . x0 x

(**)

由(*) 、 (**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得

1分

a ? x ? 2 ln x , x
2分

? x ? 1 ,?要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立.
设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,
2

1 x

? h??( x) ? 2 ?

2 ,?当 x ? 1时, h??( x) ? 0 ,则 h?( x) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1 , a ? 1.
因此,实数 a 的取值范围是 (0,1] . (2) (ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 4分

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

1 8 ? f ( x) 在 [e,3] 上是增函数, f ( x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . ? 0, 2 3 x

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

?当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 . 8 分 3

(ⅱ)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) , 即 ln x ?

1 1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ,得 ln ( x ? ) .令 x ? ? ( ? ), 2 x 2k ? 1 2k ? 1 2 2 k ? 1 2k ? 1
答案第 33 页,总 57 页

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化简得 ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ?
n

4k , 4k 2 ? 1
n

ln(2n ? 1) ? ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

4i . 13 分 4i ? 1
2

考点:1.用导数研究函数的单调性;2.函数的单调性与最值;3.不等式. 26. (Ⅰ)曲线 f ( x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1; (Ⅱ)当 a ? ?1 时, 所以 h( x) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;②当 a ? ?1 时,函数 h( x ) 在
a? e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

(0, ?) 上单调递增. (Ⅲ)所求 a 的范围是:
【解析】

试题分析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程,由导数的几何意义可得,

对函数 f ( x) 求导得

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,令 x ? 1 ,求出 f ?(1) ? 0 ,得切线斜率,由点斜

式可写出曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间,求函数 h( x ) 的单调区间,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可通过单调性的定义,

h( x ) ? x ?
或求导确定单调区间,由于

1? a ? a ln x x ,含有对数函数,可通过求导来确定单

调区间,对函数 h( x ) 求导得

h ' ( x) ?

? x ? 1?? x ? 1 ? a ?
x2
,由此需对参数 a 讨论,有范围判断

导数的符号,从而得单调性; (Ⅲ)若在

?1, e? (e ? 2.718...) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) <

g ( x0 )

成立,既不等式

f ( x0 )



g ( x0 )

有解,即在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x ) ? 0 ,即
0

函数 况,从而可求出 a 的取值范围.

h( x ) ? x ?

1? a ? a ln x ?1, e ? x 在 上的最小值小于零,结合(Ⅱ) ,分别讨论它的最小值情

试题解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ?) ,

当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,

f (1) ? 1 , f ?(1) ? 0 ,切点 (1,1) ,斜率 k ? 0
∴曲线 f ( x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1
答案第 34 页,总 57 页

h( x ) ? x ?
(Ⅱ)
h?( x) ? 1 ?

1? a ? a ln x x ,

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] ? ? ? x2 x x2 x2

? ? ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a ) 上 h ( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h ( x) ? 0 ,
所以 h( x) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;

? ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ?) 上 h ( x) ? 0 ,所以,函数 h( x ) 在 (0, ?) 上单调递增.
(Ⅲ)在

?1, e ? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ?
h( x ) ? x ?

g ( x0 )

成立,即在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得

h( x0 ) ? 0 ,即函数

1? a ? a ln x ?1, e ? x 在 上的最小值小于零.

?1, e ? 上单调递减, 由(Ⅱ)可知:①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在
所以 h( x ) 的最小值为 h(e) ,由
h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a a? ?a?0 e ?1 , e 可得

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ?1 a? e ?1 ; 因为 e ? 1 ,所以

?1, e ? 上单调递增, ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x ) 在
所以 h( x ) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h( x ) 最小值为 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a ) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时不存在
a?

x?

使

h( x? ) ? 0

成立.

综上可得所求 a 的范围是:

e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题.

1 , ?? ) 上, f ' ( x ) ? 0 , 27. (I) 当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 在 ( 0,1] 上, f ' ( x ) ? 0 , 在( 函数 f ( x )
在 ( 0,1] 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增;当 a ?
0?a? 1 时,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减;当 2

1 1? a 时, x ? (0,1] 时 ,, 函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 上单调递减; x ? (1, ] 时 , 函数 f ( x ) 在 a 2

答案第 35 页,总 57 页

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(1,

1? a 1? a 1? a (II)实数 b ] 上单调递增; x ? ( ,??) 时,函数 f ( x ) 在 ( ,??) 上单调递减; a a a

取值范围 b ? 【解析】

7 . 3 1 时,试讨论 f ( x ) 的单调性,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可通 2

试题分析:(I) 当 0 ? a ?

1 ? 1(a ? R) ,含有对 x ( x ? 1)(ax ? a ? 1) 数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数 f ( x) 求导得 f ' ( x) ? ? ,由 x2
过单调性的定义,或求导确定单调性,由于 f ( x) ? ln x ? a( x ? ) ? 此需对参数 a 讨论, 分 a ? 0 ,a ?
1 1 ,0 ? a ? 三种情况, 判断导数的符号, 从而得单调性; 2 2 1 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0,2] , 存 在 x 2 ? [2,3] , 使 3 1 时, 若对任意 x1 ? (0,2] 时, f ( x ) 3 1 时,f ( x ) 在 ( 0,1] 3

1 x

( II ) 设 g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 , 当 a ?

求实数 b 取值范围, 由题意可知, 当a ? f ( x1 ) ? g( x 2 ) ,

的最小值大于或等于当 x 2 ? [2,3] 时 g ( x) 的最小值即可, 由 (I) 知, 当a ? 单调递减,在 (1,2] 单调递增.? f min ( x ) ? f (1) ?

4 ,只需求出 g ( x) 的最小值,由于本题属 3

于对称轴不确定,需讨论,从而确定实数 b 取值范围.也可用分离参数法来求. 试题解析: (I) f ' ( x ) ? 3分
1 ? 当 a ? 0 时,在 ( 0,1] 上, f ' ( x ) ? 0 ,在 (1, ??) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 上单调

( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? ax 2 ? x ? a ? 1 1 a 1 ( x ? 0) ?? ?a? 2 ? 2 = 2 x x x2 x x

递减,在 (1, ??) 上单调递增;
2? 当 a ?

4分 5分

1 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减; 2

3? 当 0 ? a ?
x ? (1,

1 1? a 时, ? 1 , x ? (0,1] 时 , f ' ( x ) ? 0 , 函 数 f ( x ) 在 ( 0,1] 上 单 调 递 减 ; a 2

1? a 1? a 1? a ] 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ] 上单调递增;x ? ( ,??) 时, f ' ( x ) ? 0 , a a a 1? a ,??) 上单调递减. a

函数 f ( x ) 在 (

7分

(II)若对任意 x1 ? (0,2] ,存在 x 2 ? [2,3] ,使 f ( x1 ) ? g( x 2 ) 成立,只需 f min ( x ) ? g min ( x ) 9分 由(I)知,当 a ? 11 分
1 4 时, f ( x ) 在 ( 0,1] 单调递减,在 (1,2] 单调递增.? f min ( x ) ? f (1) ? , 3 3

答案第 36 页,总 57 页

法一: g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 ,对称轴 x ? 得:
7 ? b? 4; 3

b b 4 , 1 ? 当 ? 2 ,即 b ? 4 时, g min ( x ) ? g( 2) ? , 2 3 2

2? 当

b 4 ? 3 ,即 b ? 6 时, g min ( x ) ? g( 3) ? ,得: b ? 6 ; 3 2 b b 4 ? 3 ,即 4 ? b ? 6 时, g min ( x ) ? g( ) ? ,得: 4 ? b ? 6 . 2 3 2 7 . 3
2 , 3x

3? 当 2 ?

14 分

综上: b ? 法二:

15 分

参变量分离: b ? x ? 令 h( x ) ? x ?

13 分

2 7 7 , 只需 b ? hmin ( x ) , 可知 h( x ) 在 [2,3] 上单调递增, hmin ( x ) ? h( 2) ? , b? . 3x 3 3

15 分 考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题. 28. (1) a ? 0 ; (2)证明过程详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知 识,考查函数思想,考查综合分析和解决问题的能力 .第一问,将已知条件转化为

a ? (? ln x ? x ? 1)min ,所以重点是求函数 g ( x) 的最小值,对所设 g ( x) 求导,判断函数的
单调性,判断最小值所在位置,所以 a ? 0 ;第二问,将所求证的表达式进行转化,变成

1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ? 0 ,设函数 G ( x) ,则需证明 G( x) ? 0 ,由第一问可知 G(1) ? 0 2 2
且 x ? ln x ? 1 ? 0 , 所以利用不等式的性质可知 G ( x) ? 0 , 所以判断函数 G ( x) 在 (1, ??) 为
'

增函数,所以最小值为 G (1) ,即 G( x) ? 0 . 试题解析: f ?x ? ? ln x ? x ? a ? 1 ( x ? 0 ) (1)即存在 x 使得 ln x ? x ? a ? 1 ? 0 ∴ a ? ? ln x ? x ? 1 ∴ g ?x ? ? ?
/

1分

令 g ?x ? ? ? ln x ? x ? 1

1 x ?1 ?1 ? x x

3分

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ∵ 0 ? x ? 1 时, g ?x ? ? 0
/

∴ g ( x) 为减 ∴ g ( x) 为增
答案第 37 页,总 57 页

x ? 1 时,

g / ?x ? ? 0

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∴ g ?x ?min ? g ?1? ? 0 ∴ a ? g ?1? ? ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 ∴a ?0 (2)即 6分

5分

1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ? 0 ( x ? 1, a ? 0 ) 2 2 1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ,则 G(1) ? 0 2 2
7分

令 G ( x) ?

由(1)可知 x ? ln x ? 1 ? 0 则 G?( x) ? x ? a ? ln x ? 1 ? x ? ln x ? 1 ? 0 ∴ G ( x) 在 (1 , +?) 上单调递增 ∴ G( x) ? G(1) ? 0 成立 10 分



1 1 x ? ax ? x ln x ? a ? >0 成立 2 2

12 分

考点:1 利用导数判断函数的单调性;2 利用导数求函数的最值 29. (1) a ? b ? 4 ; (2) f ( x) 在 单调递增,在 单调递减, (-?,) -2 , (-1n2, +?) (-2, -1n2) 极大值为 ( f -2)( =4 1-e ) . 【解析】 试题分析: 本题考查导数的运算以及利用导数研究曲线的切线方程、 函数的单调性和极值等 数学知识,考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,对 f ( x) 求导, 利用已知列出斜率和切点纵坐标的方程,解出 a, b 的值;第二问,利用第一问的 a, b 的值, 写出 f ( x) 解析式,对它求导,令 f ( x) ? 0 解出单调增区间,令 f ( x) ? 0 ,解出单调减区
' ' ?2

间,通过单调区间判断在 x ? ?2 处取得极大值,将 x ? ?2 代入到 f ( x) 中求出极大值. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? e (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4 ,由已知得 f (0) ? 4, f (0) ? 4 ,故
' 2 '

b ? 4, a ? b ? 8,
从而 a ? b ? 4 .

f x) ? 4e ( x ? 1) ? x ? 4 x, (II) 由(I)知, (
x 2

答案第 38 页,总 57 页

1 f ' ( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 2
令 f ' ( x) ? 0 得, x=-1n2 或 x=-2 , 从而当 x ? (??, ?2) ? (?1n2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (?2, ?1n2) 时, f ' ( x) ? 0 . 故 f ( x) 在 单调递增,在 单调递减. (-?,) -2 , (-1n2, +?) (-2, -1n2) 当 x=-2 时,函数 f ( x) 取得极大值,极大值为 ( f -2)( =4 1-e?2 ) . 考点: 1.利用导数求曲线的切线; 2.利用导数判断函数的单调性; 3.利用导数求函数的极值. 80.(I)-2ln2 (II)当 ?2 ? x ? 0 时,(0, ?a) 和 (2, ??) 为单调增区间,(?a, 2) 为单调减区间; 当 a=-2 时,

(0, ??) 为单调增区间;当 a<-2 时, (0, 2) 和 (?a, ??) 为单调增区间, (2, ?a) 为单调减区
间. (III)存在 (??, ? ] . 【解析】 试题分析:(I) 首先确定函数的定义域,然后求导,根据函数导函数的性质,确定函数的 单 调 区 间 , 判 断 极 小 值 就 是 最 小 值 , 求 出 即 可 . (II) 求 导 、 同 分 整 理 得

1 2

f ?( x) ?

( x ? 2)( x ? a) .再分当 ?2 ? x ? 0 或当 a=-2 或 a<-2 时,判断 f ?( x) 的符号,确定 x

函数单调区间即可. (III) 假设存在实数 a 使得对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒 成 立 . 不 妨 设 0 ? x1 ? x2 , 使 得 ?a ,即 x2 ? x1 x2 ? x1
( f 1x )? ,构造函数令 a g ( x) ? f ( x) ? ax ? 1 x

f( x ? a 2x ? 2 )

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x ,利用导函 2

数求出满足函数 g(x)在 (0, ??) 为增函数的 a 取值范围即可. 试题解析:解:(I)定义域为 (0, ??) ,当 a=1 时, f ?( x) ?

x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ?1) ? ,所 x x

以当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (2, ??), f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 x=2 时取得最小值, 其最小值为 f (2) ? ?2ln 2 . (II) 因为 f ?( x) ? x ?

2a ( x ? 2)( x ? a) ,所以 ? (a ? 2) ? x x

(1) 当 ?2 ? x ? 0 时, 若 x ? (0, ?a) ,f ?( x) ? 0 , f (x) 为增函数; x ? (?a, 2) 时,f ?( x) ? 0 ,
答案第 39 页,总 57 页

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f(x)为减函数; x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)为增函数; (2)当 a=-2 时, x ? (0, ??) ,f(x)为增函数; (3)当 a<-2 时, x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)为增函数; x ? (2, ?a) 时, f ?( x) ? 0 , f(x)为减函数; x ? (?a, ??) , f ?( x) ? 0 ,f(x)为增函数; (III)假设存在实数 a 使得对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x1 ? x2 , 都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a恒 x2 ? x1

成立,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,使得 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即 f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 , x2 ? x1

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x ,只要 g ( x )在 (0,?? ) 为增函数,考察函数 2

g ?( x) ? x ?
即a ? ?

2a ( x ? a)2 ? 1? 2a , 要使 g ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立.只需 ?1 ? 2a ? 0 , ? 2? x x

1 1 ,故存在实数 a ? (??, ? ] 符合题意. 2 2

考点:1.导数法;2.函数的单调性;3、不等式恒成立. 31 . (1) 单 调 减 区 间 为 ? ??, ?1? , 单 调 增 区 间 为 ? ?1, 0 (3) ? ?, 0?, ? ? ;(2)1;

a ? ? ? ln 2 ? 1, ?? ? .
【解析】 试题分析: (1)根据基本初等函数的性质知,分段函数 f ( x) 在 x ? 0 时是二次函数的一部 分,有两个单调区间:增区间 (?1,0) ,减区间 (??, ?1) , x ? 0 时是对数函数,只有一个单 调增区间 (0, ??) ; (2)对函数图象来讲,它在某点处的切线斜率等于该函数在此点处的导 数 , 故 有 f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? ?1 , 由 于 x1 ? x2 ? 0 , A, B 两 点 在 y 轴 的 左 边 ,

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a , 因 此 有 f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? ?1 , 显 然 有 2 x1 ? 2 ? 0, 2 x2 ? 2 ? 0 , x2 ? x1 可 以 表 示 为 关 于 x1 的 函 数 , 从 而 求 出 最 小 值
( x1 ? ?

1 4( x2 ? 1)

? 1 ,x2 ? x1 ? ( x2 ? 1) ?

1 4( x2 ? 1)

应用基本不等式即可得解)也可以直接

凑配出基本不等式的形式, x2 ? x1 =

1 ; (3)这里 (2 x2 ? 2) ? (?2 x1 ? 2)] 利用基本不等式) 2

答案第 40 页,总 57 页

我 们 首 先 分 析 x1 , x2 所 处 范 围, 结 合 图 象 易 知 x1 , x2 不 可 能在 同 一 单 调 区 间, 只能是

?1 ? x1 ? 0 ? x2 ,那么我们可得出 A, B 两点处的切线方程分别为 y ? (2 x1 ? 2) x ? x12 ? a ,
? 1 ? 2x ? 2 ① 1 1 ? y ? ? x ? ln x2 ? 1 ,两条切线相同,则有 ? x2 ,于是可把 a 表示为 x1 x2 2 ? ?ln x2 ? 1 ? ? x1 ? a ②
(或者 x2 )的函数,把求 a 匠范围转化为求函数的值域. 试题解析: (1)单调减区间为 ? ??, ?1? ,单调增区间为 ? ?1, 0 ? , ? 0, ?? ? 4 分 (2) f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? ?1 , 当 x ? 0 时,因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? ?1 .8 分

2 x1 ? 2 ? 0, 2 x2 ? 2 ? 0
∴ x2 ? x1 ? 1 ? ?? ? 2 x1 ? 2? ? ? 2 x2 ? 2 ?? ? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1

2

当且仅当 x1 ? ? 3 , x2 ? ? 1 时等号成立,

2

2

∴ x2 ? x1 的最小值为 1.10 分

? ? ? f ? x2 ? ? ,故 x1 ? 0 ? x2 (3)当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? x1
当 x1 ? 0 时,函数 f ? x ? 的图象在点 x1 , f ? x1 ? 的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ?
即 y ? ? 2 x1 ? 2 ? x ? x1 ? a
2

当 x2 ? 0 时,函数 f ? x ? 在 x2 , f ? x2 ? 切线方程为 y ? 1 ? x ? ln x2 ? 1

?

?

x2

? 1 ? 2x ? 2 ① 1 ? 两切线重合的充要条件是 ? x2 13 分 2 ? ?ln x2 ? 1 ? ? x1 ? a ②
由①及 x1 ? 0 ? x2 知 ?1 ? x1 ? 0 由①②得 a ? x1 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1
2

又 y ? x1 ,与 y ? ? ln ? 2 x1 ? 2 ? 在 ? ?1, 0 ? 都为减函数.
2

答案第 41 页,总 57 页

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∴ a ? ? ? ln 2 ? 1, ?? ? 16 分 考点: (1)单调区间; (2)函数图象的切线及基本不等式; (3)切线与函数的值域. 32. (Ⅰ)单调递减区间是 (0,1) 。单调递增区间是 (1,??) ; (Ⅱ)参考解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)本小题含对数式的函数,首先确定定义域.通过求导就可知道函数的单调区 间.本题的易错易漏点就是定义域的范围.(Ⅱ)函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上 方等价于两个函数的对减后的值恒大于零(设在上方的减去在下方的).所以转化成在 x>1 上的恒大于零的问题 .通过构造新的函数,对其求导,得到函数在 x>1 上为递增函数 .又 f(1)>0.所以函数恒大于零.即函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方成立. 试题解析:解: (Ⅰ)? f ( x) ? 又 f ( x) 求得: f ' ( x) ? x ?

1 2 x ? ln x 的定义域为 (0,??) , 2

1 x2 ?1 2分 ? x x

令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 1 3 分 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

(0,1)


1 0 极 小 值

(1,??)
+



故 f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) 。单调递增区间是 (1,??) 6 分 (Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 h' ( x ) ? 2 x ? x ?
2

2 3 1 2 x ? x ? ln x 3 2

1 2x3 ? x 2 ? 1 ( x ? 1)( 2 x 2 ? x ? 1) 8分 ? ? x x x

? x ? 1? h' ( x) ? 0 ? h( x) 在 (1,??) 上单调递增 10 分
又 h(1) ?

1 ?0 6

? f ( x) ? g ( x)
∴当 x ? 1 时, f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方. 12 分
答案第 42 页,总 57 页

考点:1.含对数的函数的求导数.2.应用函数的单调性解决一些问题. 33.(Ⅰ) f ( x) 的单调递减区间是 (??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2) ;(Ⅱ) a ? 1 ; ( Ⅲ ) 当 0 ? a ? 1 时 , g ( x ) 最 小 值 为 g (1) ? 0 ; 当 1 ? a ? 2 时 , g ( x ) 的 最 小 值

g(e a ?1 )) = a ? e a ?1 ;当 a ? 2 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae .
【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据函数求解导数,然后令导数大于零或者小于零得到单调区间; (Ⅱ)根据给定的切线方程得到切点的坐标,进而得到参数的值; (Ⅲ)对于函数的最值问题,根据给定的函数,求解导数,运用导数的符号判定单调性,和 定义域结合得到最值. 试题解析: (Ⅰ) f ?( x) ?

a(2 ? x) , (x ?0) , x3

2分

在区间 (??, 0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调递减区间是 (??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2) . 4 分

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 x ? 0 ?
解得 x0 ? 1 , a ? 1 . (Ⅲ) g ( x ) ? x ln x ? a( x ? 1) , 则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e 所以,在区间 ( 0, e 在区间 ( e 当e
a ?1
a ?1 a ?1

6 分(1 个方程 1 分)

7分

8分 ,

a ?1

) 上, g ( x) 为递减函数,
9分

, ? ?) 上, g ( x) 为递增函数.

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,
10 分

所以 g ( x ) 最小值为 g (1) ? 0 . 当e
a ?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数,
11 分

所以 g ( x ) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae .

答案第 43 页,总 57 页

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当1 < e

a ?1

< e ,即 1 ? a ? 2 时,最小值

g(e a ?1 ) ? (a ? 1)e a ?1 ? a(e a ?1 ? 1) = a ? e a ?1 .
综上所述,当 0 ? a ? 1 时, g ( x ) 最小值为 g (1) ? 0 ;当 1 ? a ? 2 时, g ( x ) 的最小值

g(e a ?1 )) = a ? e a ?1 ;当 a ? 2 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae .

12 分

考点:1.用 导 数 处 理 函数的单调区间和函数的最值; 2. 求 曲线在某点的切线方程 34. (1) (0, ) , (1, ??) ; (2) b ? 4 ? 8e . 【解析】 试题分析: (1)先求 h( x ) 的导函数,利用极小值求未知数 a ,再利用导数判断单调性; (2) 分别利用导数求 f ( x), g ( x) 的极大值的关系式, 再根据导数求 P ( x ) 得最大值, 得关系式 (注 意分情况讨论) ,综合以上关系求 b 的值. 试题解析: (1) h( x) ? a ln x ? 4 x ?
2

1 3

3 2 a2 2 由题意 h '(1) ? 0 ? a ? 1 x ? h '( x) ? ? 4 ? 3x , 2 x

1 (3x ? 1)( x ? 1) ? 4 ? 3x ? ( x ? 0) x x 1 ?当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0 ? h( x) 递增,当 x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 ? h( x) 递增, 3 1 ? h( x) 的递增区间为 (0, ) , (1, ??) . 3 h '( x) ?
(2) g ( x) ? bx 有极大值,则 b ? 0 且 ( g ( x))极大值 =0 ,
2

f ?( x) ?

a2 ? 4x a2 a2 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , x 4 4

? ( f ( x))极大值 =f (

a2 a2 ) ? a 2 ln ? a 2 ? 0 ? a 2 ? 4e 4 4

? p( x) ? 4e ln x ? 4 x ? bx ? p '( x) ?
ⅰ)当

4e 4e ?4?b ? 0 ? x ? ?e x 4?b

4e ? 1 即 b ? 4 ? 4e 时, p '( x) ? 0 ? p( x) 递减, 4?b

? ( p( x))max ? p(1) ? ?4 ? b ? ?8e ? b ? 4 ? 8e ? 4 ? 4e ,符合;

4e ? e 即 4 ? 4e ? b ? 0 时, 4?b 4e 4e 当 x ? [1, ) 时, p '( x) ? 0 ? p( x) 递增,当 x ? ( , e) 时, p '( x) ? 0 ? p( x) 递减, 4?b 4?b
ⅱ)当 1 ?
答案第 44 页,总 57 页

4e ) ? ?8e ? b ? 4 ? 4e2 ? 4 ? 4e ,不符,舍去. 4?b 综上所述, b ? 4 ? 8e . ? ( p( x))max ? p(
考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、导数与函数的综合应用. 35. (1) y ? ? x ? 3 ; (2) M ? 4 ; (3) a ? 1 . 【解析】 试题分析:本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查函数 思想和转化思想, 考查综合分析和解决问题的能力.第一问, 将 a ? 2 代入得到 f ( x) 解析式, 求 f ' ( x) 将 x ? 1 代入得到切线的斜率,再将 x ? 1 代入到 f ( x) 中得到切点的纵坐标,利用 点斜式求出切线方程;第二问,先将问题转化为 M ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ,进一步转化为求 函数 g ( x) 的最大值和最小值问题,对 g ( x) 求导,通过画表判断函数的单调性和极值,求出 最值代入即可;第三问,结合第二问的结论,将问题转化为 f ( x) ? 1 恒成立,进一步转化为

a ? x ? x 2 ln x 恒成立,设出新函数 h( x) ? x ? x 2 ln x ,求 h( x) 的最大值,所以 a ? h( x) max
即可. 试 时, f ( x) ? 题 解 析 : (1) 当

a?2

2 2 ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , x x
2分

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ;

(2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3x ? 2 x ? 3x( x ? ) ,
3 2

2

2 3

x

0
0 ?3

2 (0, ) 3

2 3
0
极小值 ?

2 ( , 2] 3
?

2

g '( x) g ( x)

?
递减

85 27

递增

1

由上表可知: g ( x)min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x)max ? g (2) ? 1 , 27

答案第 45 页,总 57 页

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[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x)max ? g ( x)min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

112 , 27
7分

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, x

记 h( x) ? x ? x 2 ln x , h' ( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h' (1) ? 0 , 记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m' ( x) ? ?3 ? 2ln x ,由于 x ? [ , 2] ,

1 2

1 m' ( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 ,所以 m( x) ? h' ( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 2
当 x ? [ ,1) 时, h' ( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h' ( x) ? 0 ,

1 2

即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,
2

1 2

所以 h( x) max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 . 考点:1.利用导数求切线方程;2.利用导数求函数最值;3.利用导数判断函数的单调性和极 值. 36. (1) f ( x) 的极大值为 ? ln 2 ? 见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先求出函数的定义域 (0,??) ,然后求出函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ,在求 出 m ? ?3 时, f ?( x) =0 的根, 求出函数的单调区间, 找到函数的极值即可. (2) 由函数 f ( x) 在定 义域内为增 函数,可 得 x>0 时, f ?( x) ?

5 , f ( x) 的极小值为-2 (2) m ? ?2 2 (3)证明详 4

1 ? 2 x ? m ? 0 恒 成立,分离 出 m ,得 x 1 1 m ? ?( ? 2 x ), (x ? 0) , 根 据 基 本 不 等 式 得 ?( ? 2 x ?) ? 2 x 2 ?, (, 即 0 ) x x 1 ?2 2 ,即 m ? ?2 2 ; ( 3 )由 f ( x) 在 (0,??) 为增函数, ?( ? 2 x x )? ( 的最大值是 0 ) x ??? ? ??? ? x1 ? x2 ? x3 ,? y1 ? y2 ? y3 ,在并根据向量的数量积,去证明 BA ? BC ? 0 即可. 1 ? 2x ? m x

试题解析:解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) f ?( x) ?

答案第 46 页,总 57 页

m ? ?3 时, f ?( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 1 = 0 ,得 x ? 或 x ? 1 ? x x 2

f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

1 (0, ) 2
+

1 2

1 ( ,1) 2

1

(1,??)
+

f ?( x)
f ( x)

?

1 5 f ( x)极大值 ? f ( ) ? ? ln 2 ? 2 4

,

f ( x)极小值 ? f (1) ? ?2 .........5 分

(2)函数 f ( x) 在定义域内为增函数,

? x ? 0时, f ?( x) ?

1 ? 2 x ? m ? 0 恒成立, ? m ? ?( 1 ? 2 x) ( x ? 0) 恒成 立。 x x

2 1 时取等号) ? x ? 0,? ? 2 x ? 2 2 (当且仅当 x ? 2 x
1 ? ( ? 2 x) max ? ?2 2 , m ? ?2 2 x
( 3 ) 由 ( 2 ) 知 , m ? ?1 时 , 由 f ( x) 在 (0,??) 为 增 函 数 , ?ABC 的 三 个 顶 点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在函数 f ( x) 的图象上,且 x1 ? x2 ? x3 ,? y1 ? y2 ? y3
可证 BA ? BC ? 0 ,可得 B 为钝角,从而 a 2 ? c 2 ? b 2 考点:1.函数的导数;2.导数的性质;3.向量数量积的应用. 37. (1) f ( x) min ? f (2) ? 4 ? 12 ln 3 ; (2) 0 ? b ? 使得当 n ? N 时,不等式 ln 【解析】 试题分析: (1) 由题意易知, f ( x) ? 2 x ?
/

??? ? ??? ?

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

1 ;(3) 存在最小的正整数 N ? 1 , 2

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ( x ? ?1 ) 得 x ? 2 x ?1 x ?1

( x ? ?3 舍去) 所 以 当 x ? [1, 2) 时 , f ( x) 单 调 递 减 ; 当 x ? (2,3] 时 , f ( x) 单 调 递 增 , 则

f ( x) min ? f (2) ? 4 ? 12 ln 3 ;
( 2 ) 由 f ( x) 在 定 义 域 内 既 有 极 大 值 又 有 极 小 值 可 转 化 为 f ( x) 的 导 函 数
答案第 47 页,总 57 页

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f / ( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b 2 ? ? 0 在 (?1,??) 有 两 个 不 等 实 根 , 即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 x ?1 x ?1

(?1,??) 有两个不等实根,可求出 b 的范围.
(3) 由 不 等 式 ln

n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? ln(1? ) ? 2 ? 3 ? ln(1? ) ? 2 ? 3 ? 0 , 令 n n n n n n n n

x?

1 ? 0 即可构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? x 2 ? x3 ,再利用导数证明 h( x) 在 (0, ??) 即可. n

试题解析: ( 1 ) 由 题 意 知 , f ( x) 的 定 义 域 为 (?1,??) , 当 b ? ?12 时 , 由

f / ( x) ? 2 x ?

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 , 当 x ? [1, 2) 时 , ? ? 0 , 得 x ? 2 ( x ? ?3 舍 去 ) x ?1 x ?1

f / ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f / ( x) ? 0 ,所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x) 单调递减;当 x ? (2,3]
时, f ( x) 单调递增, ∴ f ( x) min ? f (2) ? 4 ? 12 ln 3 .

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有 两 个 不 等 实 根 , 即 ( 2 ) 由 题 意 f ( x) ? 2 x ? x ?1 x ?1
/

2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有 两 个 不 等 实 根 , 设 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? b , 又 对 称 轴

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 1 ,解得 0 ? b ? . x ? ? ? (?1,??) ,则 ? 2 2 ? g (?1) ? 0
(3)对于函数 f ? x ? ? x ? ln( x ? 1) ,令函数 h? x ? ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln( x ? 1) ,则
2 3 3 2

1 3 x 3 ? ( x ? 1) 2 h ?x ? ? 3x ? 2 x ? ? , 所以函数 h? x ? ?当x ? [0,??)时,h / ? x ? ? 0 , x ?1 x ?1
/ 2

在 [0,??) 上 单 调 递 增 , 又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时 , 恒 有 h? x ? ? h(0) ? 0 , 即

1 n ?1 1 1 n ?1 ? (0,??) ,则有 ln ? 2 ? 3 ? 3 恒成立.显 n n n n n n ?1 n ?1 然,存在最小的正整数 N ? 1 ,使得当 n ? N 时,不等式 ln ? 3 恒成立. n n

x 2 ? x 3 ? ln( x ? 1) 恒成立.取 x ?

考点:1.利用导数求函数最值;2.利用导数求参数范围 3.构造函数证明不等式恒成立. 38. (1) ? , ? 4 ; (2) ? 3 ? m ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)由于函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ?

1 ? ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ) 中含有常数 f ?( ) , 2 12 4 12

答案第 48 页,总 57 页

, x ? ,分别求出 f ?( ) , f ?( ) ,再利用两个角的 f ?( ) ,先求 f ?( x) ,再令 x ? 12 4 12 4 4 和的正弦公式变形为 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

?

?

?

?

?

6

( 2 )当 ) ? 2 ,即可求得最小正正周期与最值;

?? ?? x ? ? , ? 时,利用(1)的结论求得 ? 12 3 ?

? 1 ? f ( x) ? 0 , x ? ?
?? ?? x ? ? , ? 时恒成立. ? 12 3 ?

?? ?? ?m ? f ( x ) ? 3 , ? 时 不 等 式 | f ( x) ? m |? 3 恒 成 立 等 价 于 ? 在 ? 12 3 ? ?m ? f ( x ) ? 3

试题解析: (1)? f ( x) ? 3 sin 2 x ?

? f ?( x) ? 2 3 cos 2 x ? f ?( ) sin 2 x , 12
令x?

?

1 ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ) , 2 12 4

?
12

得 f ?(

?

12

) ? 2 3?

3 ? 1 ? ? f ?( ) ? ,解得 f ?( ) ? 2 , 12 2 12 2

? f ?( ) ? 2 3 cos ? f ?( ) sin ? ? f ?( ) ? ?2 , 4 2 12 2 12 ? f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ? 最小正周期 T ? ? ,最小值为 ? 4 .
(2)有(1)知 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

?

?

?

?

?

6

)?2.
6分

?

? sin(2 x ?

?

? ? ? ? 5? ) ? 2 ,当 x ? ( , ] 时 2 x ? ? ( , ] , 6 12 6 6 3 6
8分

1 ) ? [ ,1] ,则 ? 1 ? f ( x) ? 0 , 6 2

又对任意 x ? (

?m ? f ( x ) ? 3 恒成立. , ] , | f ( x) ? m |? 3 ? ? 12 6 ?m ? f ( x ) ? 3

? ?

?m ? f 最小值( x) ? 3 ,即 ? 3 ? m ? 2 . ?? ?m ? f 最大值( x) ? 3

12 分

考点:导数的计算,三角函数中两个角的正弦公式,恒成立. 39. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) a ? 2 . 【解析】 试 题 分 析 : ( Ⅰ ) 本 小 题 首 先 利 用 求 导 的 公 式 与 法 则 求 得 函 数

f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x 2







f ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? ? ( x ? 0) ,通过分析其值的正负 x x x

答案第 49 页,总 57 页

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可得函数的单调性; (Ⅱ) 本小题主要利用导数分析函数的单调性,根据参数的取值范围得到函数

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x 在区间 ?1,4? 上单调性,然后求得目标函数的最值即可. 2 1 试题解析: (Ⅰ)由 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ln x 得 2 f ( x) ?

f ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? ? ( x ? 0) x x x

2分

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 的单调递增区间是 (0,??) ; ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? x ? a , f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a , 可得 f ( x) 在 (0, a) 单调递减, (a,??) 单调递增. (Ⅱ)结合(Ⅰ)可知: ①当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 ?1,4? 内单调递增, 6分

4分

? f ( x)?min

? f (1) ?

与 a ? 0 矛盾,舍去;

3 3 ? a ? ?2 ln 2 ? a ? ? 2 ln 2 ? 0 , 2 2
8分

②当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在区间 ?1,4? 内单调递增,

? f ( x)?min
分 ③ 当

? f (1) ?

3 3 舍去; ? a ? ?2 ln 2 ? a ? ? 2 ln 2 ? 1 , 与 0 ? a ? 1 矛盾, 2 2
时 ,

10

a?4

f ( x)







?1,4?













? f ( x)?min
得到 a ?

? f (4) ? 8 ? 4a ? 4 ? a ln 4 ? ?2 ln 2 ,
6 ? ln 2 ? 4 ,舍去; 2 ? ln 2
12 分

④当 1 ? a ? 4 时, f ( x) 在 ?1, a ? 单调递减, ?a,4? 单调递增,

1 ? f (a) ? ? a 2 ? a ? a ln a ? ?2 ln 2 , 2 1 令 h(a) ? ? a 2 ? a ? a ln a , 则 h?(a) ? ?a ? 1 ? (1 ? ln a) ? ?a ? ln a ? 0 , 故 h( a ) 在 2

? f ( x)?min

(1,4) 内为减函数,
又 h(a) ? ?2 ln 2 ,? a ? 2 综上得 a ? 2 15 分 考点:1.求导得公式与法则;2.导数判断单调性.
答案第 50 页,总 57 页

14 分

40. (1) f ( x ) ?

b c (2) f ( ) ? f ( ) ; 3 sin x ? cos x ? 1 ; a a

【解析】 试题分析: (1)本小题主要利用函数图形过原点、函数的最大值、函数最值即为函数的极值 点建立参数的等量关系式,然后解方程组可得 a ?

3, b ? 1, c ? ?1 ;

(2)本小题主要利用函数图形过原点、函数的最大值、函数最值即为函数的极值点建立参 数的等量关系式,可得 b?0 , a ?0 ,

b 3 c 3 、 ?? ,通过作差比较 ? a 3 a 3

b c 3 b c 可得结论 f ( ) ? f ( ) ; f ( ) ? f ( ) ? 2a sin a a 3 a a

? ? f ( 0) ? b ? c ? 0 ? 3 b ? ? a ? ?c ?1 试题解析:(1)由 ? f ( ) ? 2 2 ? 3 ? ? a 3 b?0 ? f ?( ) ? ? 3 2 2 ?
解得 a ?

4分

3, b ? 1, c ? ?1 ,
3 sin x ? cos x ? 1 。
8分

所以 f ( x ) ? (2)因为 a ?

3b 、 c ? ?b , f ( ) ? 2b ? c 为最大值, 3 所以 b ? 0 , a ? 0 10 分


?

b c 3 b 3 c 3 、 ?? ,所以 f ( ) ? f ( ) ? 2a sin , ? a a 3 a 3 a 3

12 分

所以 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? f ( ) 。

b a

c a

b a

c a

14 分

41. (Ⅰ) x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 ; (Ⅱ) f (1) ? 0 ; (Ⅲ) b ? 1 ?

1 . e2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数, 根据导数的几何意 义可求得函数的切线方程为 y ? (1 ? ln 2) ?

1 ( x ? 2) ,化简可得 x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 ; 2

(Ⅱ)本小题首先求得函数的定义域 (0,??) ,然后根据(Ⅰ)中求得的导函数去求导数的零点

x ? 1 ,通过列表分析其单调性,进而寻找极值点;
( Ⅲ ) 本 小 题 针 对 恒 成 立 问 题 , 首 先 考 虑 对 不 等 式 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 分 离 参 数

b ? 1?

1 ln x 1 ln x ,然后转化为求函数 g ( x) ? 1 ? ? 在 x ? ?0,?? ? 上的最小值的问题, ? x x x x
答案第 51 页,总 57 页

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通过求导、 分析单调性, 然后得出函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (e 2 ) ? 1 ? 试题解析: (Ⅰ)函数的定义域为 (0,??) ,

1 1 , 于是 b ? 1 ? 2 . 2 e e
1分

f ' ( x) ? 1 ? f ' (2) ?

1 , x

2分 3分

1 , f (2) ? 1 ? ln 2 , 2

1 ?曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (1 ? ln 2) ? ( x ? 2) , 2
即 x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 , (Ⅱ)令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 列表: 4分 5分

x
f ' ( x)

(0,1)


1
0

(1,??)
+ ↗ 7分

f ( x)

0

?函数 y ? f ( x) 的极小值为 f (1) ? 0 ,
(Ⅲ)依题意对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立 等价于 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立

8分

1 ln x 在 (0, ??) 上恒成立, ? x x 1 ln x 令 g ( x) ? 1 ? x ? x ln x ? 2 g ' ( x) ? x2
可得 b ? 1 ? 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? e 2 列表:

10 分

11 分

x
g ' ( x)

(0, e 2 )


e2
0

(e 2 ,??)
+

g ( x)

1?

1 e2



答案第 52 页,总 57 页

?函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (e 2 ) ? 1 ?
根据题意, b ? 1 ?

1 , e2

13 分 14 分

1 . e2

考点:1.导数公式;2.函数的单调性;3.函数的极值、最值. 42. (I) f ( x) 的值域为: [?1,8] .(II) (1,8] . 【解析】 试题分析: (I)将二次函数 f ( x) ? x ? 2 x 配方,结合抛物线的图象便可得 f ( x) 的值域.
2

(II)由 f ( x ? t ) ? 3x 恒成立得: x ? (2t ? 1) x ? t ? 2t ? 0 恒成立,
2 2

令 u ( x) ? x ? (2t ? 1) x ? t ? 2t , x ?[1, m], 则只需 u ( x ) 的最大值小于等于 0.
2 2

由此得: ?

?? 4 ? t ? 0 ?t ? 2(1 ? m)t ? m ? m ? 0
2 2

,令 g (t ) ? t ? 2(1 ? m)t ? m ? m
2 2

则原题可转化为:存在 t ? [?4,0] ,使得 g (t ) ? 0 .这又需要 t ? [?4,0] 时 g (t ) min ? 0 .接下 来又对二次函数 g (t ) ? t ? 2(1 ? m)t ? m ? m 分情况讨论,从而求出实数 m 的取值范围.
2 2

试题解析: (I)将二次函数 f ( x) ? x ? 2 x 配方得: f ( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1
2
2 2

2分

该函数的图象是一条开口向上的抛物线,顶点为 (?1, ?1) , f ( x)min ? f (?1) ? ?1 . 因为 f (?2) ? 0 ? f (2) ? 8 ,所以 f ( x) 最大值为 f (2) ? 8 , ∴ f ( x) 的值域为: [?1,8]
2

6分
2

(II)由 f ( x ? t ) ? 3x 恒成立得: x ? (2t ? 1) x ? t ? 2t ? 0 恒成立, 令 u ( x) ? x ? (2t ? 1) x ? t ? 2t , x ?[1, m], 因 为 抛 物 线 的 开 口 向 上 , 所 以
2 2

?u (1) ? 0 u ( x) max ? max{ u (1), u (m)} ,由 u ( x) ? 0 恒成立知: ? ?u (m) ? 0
化简得: ?

8分

?? 4 ? t ? 0 ?t ? 2(1 ? m)t ? m ? m ? 0
2 2

令 g (t ) ? t ? 2(1 ? m)t ? m ? m
2 2

则原题可转化为:存在 t ? [?4,0] ,使得 g (t ) ? 0 ∵ m ? 1, g (t ) 的对称轴: t 对 ? ?1 ? m ? ?2

即:当 t ? [?4,0] , g (t ) min ? 0

10 分

? 1 ? m ? ?4 即: m ? 3 时, g (t ) min ? g (?4)
答案第 53 页,总 57 页

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?m ? 3 解得: 3 ? m ? 8 ? 2 ?16 ? 8(m ? 1) ? m ? m ? 0
即: 1 ? m ? 3 时, g (t ) min ? g (?1 ? m) ? ?1 ? 3m

②当 ? 4 ? ?1 ? m ? ?2



?1 ? m ? 3 解得: 1 ? m ? 3 ? ?? 1 ? 3m ? 0
13 分

综上: m 的取值范围为: (1,8] 法二:也可 ?

?u (1) ? 0 , ?u (m) ? 0

?? 4 ? t ? 0 ? 化简得: ? 1 ? 2t ? 1 ? 12t 2 2 ?m ? (2t ? 1)m ? t ? 2t ? 0 ? m ? 2 ?
? 1 ? 2t ? 1 ? 12t ? ? 2 ? ? ? ? ? 8 ,则 1 ? m ? 8 . ? max

有解.

43. (Ⅰ) a ? 2 ; (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)实数 m 的取值范围为 [ ,?? ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln( ?

1 4

1 2

1 a 2 先求出其导函数: f ' ( x) ? 1 1 ? ax 2 2 1 1 的一个极值点对应的结论,即 x ? 时,它的导函数值为零,可令 f ' ( ) ? 0 ,即可求 a 的 2 2 1 值; (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数,由于 f ( x) 含有对数函数, 2 a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a 2 可 通 过 求 导 来 证 明 , 因 此 利 用 : f ' ( x) ? ,在 ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
分析出因式中的每一项都大于等于 0, 即得 f '( x) ? 0 , 从而可证明结论; (Ⅲ) 0 ? a ? 2 时, 先由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [ ,1) 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 意的 a ? (1,2) ,不等式 ln( ?

1 1 ax) ? x 2 ? ax , x ? 是函数 f ( x) 的一个极值点, 2 2 2 a ?2 2ax( x ? ) 1 2 a , 利用 x ? 是函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2 1 ? ax

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ,把问题转化为对任 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立;然后再利用导函数研 2 1 究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数 m 的取值范围为 [ ,?? ) . 4
答案第 54 页,总 57 页

1 2

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a 2 试题解析: f ' ( x) ? ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
(Ⅰ)由已知,得 f ' ( ) ? 0 且

1 2

a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 2a
3分

?a ? 0

?a ? 2

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)( a ? 1) 1 a2 ? 2 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,? ? ? ? ?0 ? ? 2a 2 2a 2a 2 2a

?当 x ?

a2 ? 2 1 时, x ? ?0 2a 2
1 2



2ax ?0 1 ? ax

? f ' ( x) ? 0
6分

故 f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数 (Ⅲ) a ? (1,2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [ ,1) 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于:对任意的 a ? (1,2) ,不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ?

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立。 2

1 1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1), (1 ? a ? 2) 2 2 1 a 则 g ' (a) ? ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] 1? a 1? a ?a 当 m ? 0 时, g ' (a) ? ? 0 ? g (a) 在区间 (1,2) 上递减,此时 g (a) ? g (1) ? 0 1? a
由于 a 2 ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0

? g ' (a) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a ) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,在此区间上,有 2m 2m 1 g (a) ? g (1) ? 0 ,与 g (a) ? 0 恒成立相矛盾,故 ? 1 ? 1 ,这时 g ' (a) ? 0 , 2m
g (a ) 在 (1,2) 上递增,恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,

?m ? 0 ? ?? 1 ?1 ? 1 ? ? 2m

即m ?

1 4
14 分

1 ?实数 m 的取值范围为 [ ,?? ) 4
考点:利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用.

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44. (Ⅰ) h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增; (Ⅱ) e ? 【解析】

? ?

b? e?

?b ?e

? ?

b <7 . a

试题分析:(Ⅰ)首先求得函数 h( x ) 的解析式,然后求导,根据导数的正负求函数的单调区 间 ; (Ⅱ) 本 小 题 首 先 考 虑 把 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 化 为 使 f ?x 0 ? ? g ?x0 ? ? 0 , 即 存 在 x0 , 使

x0 ? [

a ? b 3a ? b , ]时 h?x0 ? ? 0 ,所以只需 h?x ?min ? 0 即可,于是利用导数分析单调性然 4 5

后求在区间上的最小值. 试题解析: (Ⅰ)由 h?x ? ? x ln x ? x ln b ? a, x ? ?0,??? 可得 h??x ? ? ln x ? 1 ? ln b 由 h??x ? ? 0 得 x ?

b e

? b? ?b ? ? h?x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增 ? e? ?e ?

3a ? b a ? b b 得 ?7 ? 5 4 a a ? b b 3a ? b e b 3e ①当 ,即 时 ? ? ? ? 4 e 5 4?e a 5?e
(Ⅱ)由

b ?b? h?x ?min ? h? ? ? ? ? a e ?e?

b b ? a ? 0得 ? e e a b 3e ?e ? ? a 5?e b a?b 4?e ②当 ? 时, a ? b e 4 e
由?

? a ? b 3a ? b ? ? h?x ? 在 ? 上单调递增 , 5 ? ? 4 ?

h(x )min =h(
所以不成立 ③当

a +b a +b a +b a +b b 3a -b )= (ln -lnb)+a ? (ln -lnb)+a = > 4 4 4 4 e 4

3?

4-e b-b 3-e e = b> 0 4 e

12 分

b 3a +b b 3e 5-e ,即 > 时, a < > b e 5 a 5-e 3e

? a ? b 3a ? b ? ? h?x ? 在 ? 上单调递减 , 5 ? ? 4 ?

答案第 56 页,总 57 页

3a +b 3a +b 3a +b 3a +b b 2a -b h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a < (ln -lnb)+a = < 5 5 5 5 e 5

2?

5-e b-b 2-e 3e = b<0 5 3e

b 3e 时恒成立 ?当 > a 5-e b 综上所述, e ? <7 a
考点:1.导数判断单调性;2.函数的最值;3.分类讨论.

14 分 15 分

答案第 57 页,总 57 页


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