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3.3.1 几何概型 2


3.3
3.3.1

几何概型
几何概型

1.正确理解几何概型的概念;(重点) 2.掌握几何概型的概率公式;(难点) 3.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概 型是古典概型还是几何概型.(难点)

2008年9月28日,是“神七”回家的日子,它在内蒙 古四子王旗着陆.假设着陆场为方圆

200 km,而主着陆场 为方圆120 km的区域.飞船在着陆场内任何一个地方着陆

的可能性是均等的.你能计算出飞船在主着陆场内着陆的
概率吗?

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几何概型的概念

1.图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B
区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的 概率是多少? 以转盘(1)为游戏工具时, 甲获胜的概率为 1 .
2

以转盘(2)为游戏工具时,
3 甲获胜的概率为 . 5

(1)

(2)

事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆 弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为

转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管
这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的 .

2.下图是卧室和书房地板的示意图,图中所有方砖除颜 色外完全相同,甲壳虫 分别在卧室和书房中自由

地飞来飞去,并随意停留在某块方砖上,问在哪个房间

里,甲壳虫停留在黑砖上的概率大?

卧室

书房

在卧室里,甲壳虫停留在黑砖上的概率大.

事实上,甲壳虫停留在黑砖上的概率与黑砖的总 面积有关.

3.用大小两个玻璃盆分别去捞鱼缸中红白相间的金鱼, 哪个捞到金鱼的概率大? 大的.

事实上,捞到金鱼的概率与盆的体积有关.

几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度
(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模 型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

古典概型与几何概型的区别 相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的;

不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求
基本事件有无限多个.

几何概型的概率计算公式
1.与长度有关的几何概型的概率的求法 取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置随机剪断, 那么剪得的两段的长度都不小于1米的概率有多大?

M

E

F

N

解:设A=“剪得两段的长度都不小于1”,用线段MN表示3 m的
绳子,E、F为MN的两个三等分点. ∵EF=1 m,∴P(A)= 1 .
3

构成事件A的区域长度 P (A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度

2.与面积有关的几何概型的概率的求法
下面我们来求解“引入新课”中的问题; 解:设“飞船在主着陆场内着陆”为事件A,
1202 9 P ( A) ? ? . 2 200 25

构成事件A的区域面积 P (A)= . 试验的全部结果所构成的区域面积

3.与体积有关的几何概型的概率的求法 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随 机取出10 mL,含有麦锈病种子的概率是多少? 解:设取出10 mL麦种,其中“含有麦锈病种子”这一事件为

A,
P ( A) ?

10 1 ? . 1 000 100

构成事件A的区域体积 P (A)= . 试验的全部结果所构成的区域体积

在几何概型中,事件A的概率的计算公式:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P (A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

1.某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时 刻是随机的,则他候车时间不超过2分钟的概率是( C )

3 4 2 1 ? A ? ???????????? B ? ???????????? C ? ???????????? D ? 5 5 5 5
解:试验的全部结果构成的区域长度为5,所求事件的区 域长度为2,故所求概率为 P ? 2 . 5

例1

某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想

听电台报时(电台每隔一小时报时),求他等待的时间
不多于10分钟的概率. 分析:
0 50

60

解:设A={等待的时间不多于10分钟},事件A恰好是打开 收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型

的求概率的公式得 P ( A) ? 60 ? 50 ? 1 .
60 6
1 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为 . 6

(2012·东城模拟)某人向一个半径为6的圆形标靶射击,假 设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则 此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( B ) 1 1 1 1 ? A ? ????????????? B ? ????????????? C ? ????????????? D ? 13 9 4 2 解:靶点与靶心的距离小于2的区域是以靶心为圆心以2为 半径的圆的内部,故所求概率为 P ? 4? ? 1 . 36? 9

2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭
曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒 一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 2 , 3 则阴影区域的面积为( B ) (A) 4
3 (C) 2 3

(B) 8

3

(D) 无法计算 解:由几何概型知: S阴 ? 2 . S正方形 3 2 8 2 故 S阴 ? ? 2 ? . 3 3

3.(2011·西城模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方 体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂

“安全飞行”的概率为( B )
8 1 26 15 ? A ? ???????????? B? ???????????? C ? ???????????? D ? 27 27 27 27

解:蜜蜂安全飞行的空间是棱长为1的正方体,故所求 3 1 概率为 P ? ? 1 . 33 27

4.

取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机地向正方

形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 解:记“豆子落在圆内”为事件A,
圆的面积 ? a2 ? P ( A) ? = 2 ? . 正方形的面积 4a 4

2a

答:豆子落入圆内的概率为 ? . 4

随机模拟方法 例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~

7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间 在早上7:00~8:00 之间,问你父亲在离开家前能得到

报纸(称为事件A)的概率是多少?

法一(几何法) 解:设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y. (x,y)可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成的区域面 积为SΩ=1×1=1.

事件A构成的区域为
A={(x,y)|y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤y≤8} 即图中的阴影部分,面积为
1 1 1 7 SA ? 1 ? ? ? ? . 2 2 2 8
P ( A) ? SA 7 ? . S? 8

1.古典概型与几何概型的区别 相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求 基本事件有无限多个.

2.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度(面积或体积) P (A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)


3.3.1 几何概型(2)

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