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3.2简单的线性规划问题教案


高一数学集体备课学案与教学设计
章节标题 学案作者 §3.3 简单的线性规划问题 李旭红 学案审核 计划学时 张丹 3

归纳基本概念: 1. 线性约束条件: ① 约束条件——变量 x,y 满足的一组条件叫做变量 x,y 的约束条件 ② 线性约束条件——对变量 x,y 的约束条件都是关于 x,y 的一次不等式,则称约束条 件为线性约束条件。 2. 线

性目标函数 ① 目标函数——z=f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的解析式,叫做目 标函数; ② 线性目标函数——z=f(x,y)是关于变量 x,y 的一次解析式时,则目标函数又称为线性 目标函数。 3. 线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性 规划问题。 4. 可行域——满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可 行域。 5. 最优解——分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解,叫做最优解。 例:A(5,2) ① 作出可行域; ② 将线性目标函数化成斜截式作一组平行线; ③ 数形结合求最优解; ④ 求最值。 变式:求最值(1) z ? x ? 4 y (2) z ? 6 x ? 10 y (3) z ? 2 x ? y B(1,1)即为最优解。 6. 线性规划问题的一般步骤:

1.知识与技能:了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、 可行解、可行域和最优解等概念;会利用图解法求线性目标函数的最优解。 2. 过程与方法: 在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、 理解能力 ;

三维目标

在变式训练的过程中,培养学生的分析能力、探索能力以及运用数形结合思想 解题的能力和化归能力。 3.情感态度价值观:让学生体验数学来源于生活又服务于生活,品尝学习数 学的乐趣。

教学重点 教学难点

重点: 画可行域;在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。 难点:把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答,解决难点的关键是根据 实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解

第一课时

简单的线性规划问题(截距型)

复习:二元一次不等式(组)与平面区域

? x ? 4 y ? ?3 ? 画出不等式组 ?3 x ? 5 y ? 25 所表示的平面区域 ?x ? 1 ? ? x ? 4 y ? ?3 ? 新课:例 1:设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x,y 满足下列条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
求 z 的最大,最小值。 答案:经过点B(1,1)的直线 l1 所对应 的 t 最小.所以

答案: (1)23 ,13(2) 50,16 (3)8, ?

12 5

zmax=2×5+2=12 zmin=2×1+1=3

1

?x ? y ? 5 ? 例 2:x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 6 求使目标函数 k=6x+8y 取得最大值即相应点的坐标 ? x ? 0, y ? 0 ?
答案:最大值为 40, 点 A(0,5)

第二课时

非线性规划问题(距离型和斜率型)

? x, y ? 0 ? 复习截距型: 【2012 高考真题新课标理 14】设 x, y 满足约束条件: 则 z ? x ? 2y ? x ? y ? ?1 ; ? x? y ?3 ?
的取值范围为 【答案】 [?3,3]

? x ? 4 y ? ?3 ? 新课:例 1:变量 x,y 满足下列条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ,求下列最值: ?x ? 1 ?
变式: (1) z ? 3x ? 2 y的最大值 (2) z ? 3x ? y 的最大值(3) z ? 3x ? y 的最值 (4) z ? 2 x ? y 的最大值 (1) z ? x 2 ? y 2
2

(2) z ? ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2
2

(3) z ?

( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2

(4) z ? x ? 4 x ? y ? 2 y

思考: f ( x) ? ax2 ? c, ?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5, 求f(3)的取值范围

2

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2:变量 x,y 满足下列条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ,求下列最值: ?x ? 1 ?
(1) z ?

第三课时、线性规划的实际应用 类型一:给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源 量最小. 类型二:受到一定数量的人力、物力资源的限制,问怎样安排运用这些资源,能 使完成的任务量最大,收到的效益最大?
例 1:营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化合物,0.06 kg 的 蛋白质,0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物,0.07 kg 蛋白质,0.14 kg 脂 肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合物,0.14 kg 蛋白质,0.07 kg 脂肪,花 费 21 元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和 食物 B 各多少克? 分析:将已知数据列成下表: 食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 解:若设每天食用 x kg 食物 A,y kg 食物 B,总成本为 z 由题设条件列出约束条件

y x

(2) z ?

y ?1 x?6

(3) z ?

y ?1 x?4

(4) z ?

2x ? y ? 7 x?4

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 3、设 z ? 2 x ? y ( x, y ? z ) ,式中变量 x,y 满足下列条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的 ?x ? 1 ?
最大值和最小值。

?0.105x? 0.105y? 0.075, ?0.07x? 0.14y? 0.06, ? ? ?0.14x? 0.07y? 0.06, ① ?x ? 0, ? ? ? y ? 0,
其目标函数 z=28x+21y. 二元一次不等式组①等价于

?7 x ? 7 y ? 5, ?7 x ? 14 y ? 6, ? ? ?14x ? 7 y ? 6,② ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域,即可行域. 考虑 z=28x+21y,将它变形为 y ? ? 线.

4 z 4 x ? ,这是斜率为- 、 随 z 变化的一族平行直 3 28 3

z z 是直线在 y 轴上的截距,当 取得最小值时,z 的值最小.当然直线与可行域相交, 28 28

即在满足约束条件时目标函数 z=28x+21y 取得最小值. 由图可见,当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M 时,纵截距最小,即 z 最小.
3

?7 x ? 7 y ? 5, 1 4 解方程组 ? 得点 M( , ), 7 7 ?14x ? 7 y ? 6
1 4 因此,当 x ? , y ? 时,z=28x+21y 取最小值,最小值为 16. 7 7
答:每天食用食物 A 约 143 克,食物 B 约 571 克,能够满足日常饮食要求,又使花费最低, 最低成本为 16 元. 例 5、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 2 1 3 A 规格 B 规格 C 规格

课堂小结 1、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)画,首先要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域) ,画 出目标函数的直线 l0; (2)移,观察、分析,平移直线 l0,从而找到最优解; (3)求,最后求得目标函数的最大值及最小值. (4)答,回答结果 2、以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义.

今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少? 解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,根据题意可得:

?2 x ? y ? 15, ? x ? 2 y ? 18, ? ? ? x ? 3 y ? 27, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
目标函数为 z=x+y, 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域: 作出在一组平行直线 x+y=t(t 为参数)中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线, 此直线经过直线 x+3y=37 和直线 2x+y=15 的交点 A( 由于

18 39 57 , ) ,直线方程为 x+y= . 5 5 5

18 39 和 都不是整数,而最优解(x,y)中,x、y 必须满足 x,y∈Z,所以,可 5 5 18 39 行域内点( , )不是最优解. 5 5
经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线是 x+y=12,经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8),它们是最优解. 答:要截得所需规格的三种钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种 截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张,两种方法都最少要截得两种钢板共 12 张.

课后作业

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