2012年兰州市第一次诊断考试数学试卷及答案

2012 年高三诊断考试卷 数 学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．题号后标注“理科”的试题为理科考生解答， 标注“文科”的试题为文科考生解答，未作标注的试题文、理科考生均解答． 2.本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

(选择题，共 60 分)

一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目 要求的）

1． （理科）已知复数 z 满足 ( z ? 2 )(1 ? i ) ? 1 ? i （ i 为虚数单位） ，则 z =
( A) i (B ) ? i (C )2 ? i (D )2 + i

（

）

﹜ (文科)集合 U ?﹛ x ∈ N | 0 ＜ x ? 6 , M = {1, 4, 5} ， N ? {2,3,4} 则 M ∩ ( ? N ) ?
U

( A ) {1,4,5,6}

(B ){1,5}

(C ){4}

(D ){1,2,3,4,5}

2.函数 f ( x ) ?
( A) f (C ) f
?1

x ? 4 ( x ? ? 2 ) 的反函数为
2

(x) ? ( x) ? ?

x ? 4 ( x …0 )
2

(B ) f (D ) f
S8 S4
(C ) 8 3

?1

( x) ? ( x) ? ?
S12 S8

x ? 4 (x ? R)
2

?1

x ? 4 ( x …0 )
2

?1

x ? 4 ( x ? R)
2

3．设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若
7 3

? 3 ，则

?

（

）

( A) 2

(B )

(D )3
2 2

4．已知点 P ( x , y ) （ x , y ? R ） ，则“ x…2 且 y…2 ”是“点 P ( x , y ) 在圆 x ? y ? 4 ”外的（
( A) 充 分 而 不 必 要 条 件 (C ) 充 分 必 要 条 件
?

）

(B ) 必 要 而 不 充 分 条 件 (D ) 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
?

5． （理科）已知向量 a ? (c o s ? , sin ? ) 与 b ? (co s ? , ? sin ? ) 互相垂直，且 ? 为锐角，则函数
f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) 的一条对称轴是

（

）
(C ) x ?

( A) x ? ?

(B ) x ?

?
2

?
4

(D ) x ?

7? 8

高三诊断数学（理）第 2 页 （共 14 页）

(文科)已知 △ A B C 的顶点 B 、 C 在椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上， 顶点 A 是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另一

12

16

个焦点在 B C 边上，则 △ A B C 的周长是
( A) 2 3 (B ) 4 3
2

（
(D )16

）

(C ) 8

6．曲线 y ?

1 2

x ? x ? 2 在点 (0, ? 2 ) 处的切线与直线 x ? 0 和 y ? x ? 2 所围成的区域内（包括边界）

有一动点 P ( x , y ) ，若 z ? 2 x ? y ，则 z 的取值范围是
( A ) [-2 ,2 ] (B ) [-2 ,4 ] (C ) [-4 ,-2 ]
2

（
(D ) [-4 ,2 ]

）

7． （理科）已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数，当 x＞ 0 时， f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ，则不等式 f ( x )＞ 0 的解集是
( A ) ﹛ x| ＜ ? ﹜ 1﹛ |x ＞ ﹜ 3 x ∪ x ( C )﹛ x | x ? ﹜ 3 ＜ ∪ ﹛ | ＞﹜ 3 x x ﹛ | x＜ ? ﹜ B ) | 0 ＜ ＜ ﹜3 x ∪ ( ﹛ x x ﹛ | x 3 ＜ ＜ x﹜ )﹛ | ＞ ﹜ ( D∪ x x 0

（
3

）

3

（文科）已知向量 a ? (c o s ? , sin ? ) 与 b ? (co s ? , ? sin ? ) 互相垂直，且 ? 为锐角，则函数
f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) 的一条对称轴是

?

?

(
(C ) x ?

）

( A) x ? ?

(B ) x ?

?
2

?
4

(D ) x ?

7? 8

8． （理科）在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中，各侧面均为正方形，侧面 A A1 C 1 C 的对角线相交于点 M ，则
B M 与平面 A A1 C 1 C 所成的角的大小是
( A) 30
?

（
(C )6 0
?

）

(B ) 4 5

?

(D )9 0
2

?

（文科）已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数，当 x＞ 0 时， f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ，则不等式 f ( x )＞ 0 的解集是
( A ) ﹛ x| ＜ ? ﹜ 1﹛ |x ＞ ﹜ 3 x ∪ x ( C )﹛ x | x ? ﹜ 3 ＜ ∪ ﹛ | ＞﹜ 3 x x ﹛ | x＜ ? ﹜ B ) | 0 ＜ ＜ ﹜3 x ∪ ( ﹛ x x ﹛ | x 3 ＜ ＜ x﹜ )﹛ | ＞ ﹜ ( D∪ x x 0

（

）
3 3

9． （理科）若函数 f ( x ) ? sin ? x ?
3 ? ，则正数 ? 的值为

3 co s ? x , x ∈ R , 又 f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ，且 ? ? ? 的最小值等于

（
2 3 ( B (C ) ) 3 4 (D ) 2 3

）

(A )

1 3

（文科）在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中，各侧面均为正方形，侧面 A A1 C 1 C 的对角线相交于点 M ， 则 B M 与平面 A A1 C 1 C 所成的角的大小是 高三诊断数学（理）第 2 页 （共 14 页） （ ）

( A) 30

?

(B ) 4 5

?

(C )6 0
2 2

?

(D )9 0

?

10． （理科）过点 M ( ? 2, 0 ) 的直线 l 与椭圆 x ? 2 y ? 2 交于 P1、 P2 ，线段 P1 P2 的中点为 P ．设直线 l 的 斜率为 k 1 （ ( k 1 ? 0 ) ，直线 O P （ O 为坐标原点）的斜率为 k 2 ，则 k 1 k 2 等于
( A) ?2 (B ) 2 (C ) ? 1 2 (D ) 1 2

（

）

（文科）若函数 f ( x ) ? sin ? x ?
3 ? ，则正数 ? 的值为

3 co s ? x , x ∈ R , 又 f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ，且 ? ? ? 的最小值等于

（
2 3 ( B (C ) ) 3 4 (D ) 2 3

）

(A )

1 3

11．正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．若一个正 n 棱柱有 10 条对角线，那么 n ? （ ）
( A) 4 (B )5
2 2 2 2

(C )6

(D )7

12．已知 F 为双曲线 C :

x a

?

y b a

? 1 （ a > 0, b > 0 ）的右焦点， P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x

2

轴上方， M 为直线 x ? ? 曲线 C 的离心率为
( A) 2

上一点， O 为坐标原点，已知 O P ? O F ? O M 且 O F ? O M ，则双 ）
5 (C ) 2 (D ) 4

??? ?

????

???? ?

????

???? ?

c

（
(B ) 1? 2

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． co s 7 3 co s 1 3 ? co s 1 7 sin 1 3 ?
? ? ? ?

。

4 5 14．三棱锥 P ? A B C 的三条侧棱 P A、 P B、 P C 两两互相垂直，且长度分别为 3、、 ，则三棱锥 P ? A B C 外接球的表面积是

。
2 2012

15． （理科）若 (1 ? 2 x ) （文科） ( 2 ?
2 2
8

2012

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 2 0 1 2 x
4

,则

a1 2

?

a2 2
2

?? ?

a 2012 2
2012

?

。 。

x ) 展开式中，不含 x 项的系数之和为 S ，则 S ? ．． ．
2 2

16．双曲线 为

x a

?

y b

? 1( a > 0 , b > 0 ) 一条渐近线的倾斜角为

?
3

，离心率为 e ，则

a ?e
2

的最小值

b

.

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 高三诊断数学（理）第 2 页 （共 14 页）

17． （本小题满分 10 分）
△ （理科） A B C 的三内角 A , B , C 的所对的边分别为 a , b , c ， sin 且

A 2

? cos

A 2

? 2

6

（ A 为锐角） ，

（Ⅰ）求 A 的大小． （Ⅱ）若 a ? 1 且 2 c ?
3 b ? 0 ,求△ A B C 的面积

(文科)设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ? ? 1 1, a 4 ? a 6 ? ? 6 . 求: （Ⅰ） a n ； （Ⅱ） S n 的最小值.

18． （本小题满分 12 分） （理科） 某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展， 该市电视台开办了健身竞技类栏目 《健 身大闯关》 ，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙 3 人参加当天闯关比赛，已知甲获奖的概率为
3 5

，乙获奖的概率为

2 3

，丙获奖而甲没有获奖的概率为

1 5

（Ⅰ）求三人中恰有一人获奖的概率； （Ⅱ）记三人中获奖的人数为 ? ，求 ? 的数学期望.
A 2 A 2 6 2

（文科）△ A B C 的三内角 A , B , C 的所对的边分别为 a , b , c ，且 s in （Ⅰ）求 A 的大小． （Ⅱ）若 a ? 1 且 2 c ?
3 b ? 0 ,求△ A B C 的面积

? cos

?

（ A 为锐角） ，

19． （本小题满分 12 分） 高三诊断数学（理）第 2 页 （共 14 页）

（理科）如图，三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中，底面 A B C 正三角形，侧面 A C C 1 A1 是∠ A1 A C ? 菱形，且侧面 A C C 1 A1 ? 底面 A B C ， D 为 A C 中点． （Ⅰ）求证： 平 面 A1 B D ? 平 面 A C C 1 A1 （Ⅱ）若点 E 为 A A1 上的一点，当 C E ? B B1 时， 求二面角 A ? E C ? B 的正切值．
A
E

?
3

的

A1 B1

C1

D

C

B

（文科）某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身 大闯关》 ，规定参赛者单人闯关，参赛者这间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙 3 人 参加当天闯关比赛，已知甲获奖的概率为
3 5

，乙获奖的概率为

2 3

，丙获奖而甲没有获奖的概率为

1 5

（Ⅰ）求三人中恰有一人获奖的概率； （Ⅱ）记三人中获奖的人数为 ? ，求 ? 的数学期望.

20． （本小题满分 12 分） 高三诊断数学（理）第 2 页 （共 14 页）

（理科）已知数列 ? a n ? 中， a 1 ? （Ⅰ）求数列 ? a n ? 的通项公式.

1 2

,

an ?

3an an ? 3

(n ? N )
*

（Ⅱ）已知 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ，且对任意正整数 n ，都有 b n ?
1 2

n (3 ? 4 a n ) an

? 1 成立．

求证：

≤ S n＜1

（文科）如图，三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中，底面 A B C 正三角形，侧面 A C C 1 A1 是∠ A1 A C ? 形，且侧面 A C C 1 A1 ? 底面 A B C ， D 为 A C 中点．
A1

?
3

的菱

（Ⅰ）求证： 平 面 A1 B D ? 平 面 A C C 1 A1
B1

C1

（Ⅱ）若点 E 为 A A1 上的一点，当 C E ? B B1 时， 求二面角 A ? E C ? B 的正切值．
A

E

D

C

B

21． （本小题满分 12 分） 高三诊断数学（理）第 2 页 （共 14 页）

（理科）已知点 M 是直线 x ? ?

1 2

上的动点， F ( , 0 ) 为定点，过点 M 且垂直于直线 x ? ?
2

1

1 2

的

直线和线段 M F 的垂直平分线相于点 P ． （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程 （Ⅱ）经过点 Q ( a , 0 )( a > 0 ) 且与 x 轴不垂直的直线 l 与点 P 的轨迹有两个不同的交点 A、 B ，若 在 x 轴上存在点 C ，使得△ A B C 为正三形，求实数 a 的取值范围．

3 2 （文科）已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? 1 的导数 f ? ( x ) 满足 f ? (1) ? 2 a ? 6 , f ? ( 2 ) ? ? b ? 1 8 ，

其中常数 a , b ? R （Ⅰ）判断函数 f ( x ) 的单调性并指出相应的单调区间； （Ⅱ）若方程 f ( x ) ? k 有三个不相等的实根，且函数 g ( x ) ? x ? 2 kx ? 1 在 [ ? 1, 2 ] 上的最小值为
2

? 2 3 ，求实数 k 的值.

22． （本小题满分 12 分） （理科）已知函数 f ( x ) ? x ? ln (1 ? x ) ， e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若 x＜ 时，恒有 f ( x ) ? m ≤ 0 成立，求实数 m 的取值范围． （Ⅱ）若 n ≥ 2, n ? N ，证明： (1 ?
*

1 2!

)(1 ?

1 3!

) ? (1 ?

1 n!

)< e．

（文科）已知点 M 是直线 x ? ?

1 2

上的动点， F ( , 0 ) 为定点，过点 M 且垂直于直线 x ? ?
2

1

1 2

的直线

和线段 M F 的垂直平分线相于点 P ． （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程 （Ⅱ）经过点 Q ( a , 0 )( a > 0 ) 且与 x 轴不垂直的直线 l 与点 P 的轨迹有两个不同的交点 A、 B ，若 在 x 轴上存在点 C ，使得△ A B C 为正三形，求实数 a 的取值范围．

参考答案和评分参考
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一、选择题（12小题，每小题5分，共60分） （1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）D （8）C （9）C （10）B （11）B （12）A 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）

（13）

（14）

（15）

（16）

三、解答题(6小题，共70分) （17）解： （Ⅰ）设该数列的公差为

∵ ∴ ????????4分

∴

????????5分

（Ⅱ）

∴当

时，

取得最小值

????????10分

（18）解： （Ⅰ）∵

∴

∴

????????6分

（Ⅱ）∵

，

且

∴ 解得： ，所以

故

????????12分

解法二：因为

，

且

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由余弦定理，得： 解得： ，所以

∴

∴ （19）解：设甲获奖为事件

????????12分 ，乙获奖为事件 ，丙获奖为事件 ，丙获奖的概率为 ，则

即

解得

???3分

（Ⅰ）三人中恰有一人获奖的概率：

???6分 （Ⅱ）三人中至少有2人获奖的概率为：

???12分 （20）解法一： (Ⅰ)证明：

∵

为

的中点

为正三角形

∴ ∴ 平面

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而 ∴平面 (Ⅱ)∵ ∴ ∴点 ∵ 过点

平面 平面 ∥ ??????6分

为 ∴ 做

的中点 平面 ，垂足为 ??????7分 ，连接 则 ，所以 为二面角 的一个平面

角??????9分

∵

∴

设

，则

∴ 解法二：

??????12分

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依题意有

，

，

两两垂直且相交于点

， 故建立如图所示的空间直角坐标系

， 设

则：

，

，

，

（Ⅰ）∵

，

∴

，

∴ ∴ ∴ 而 ∴平面 (Ⅱ)∵ ∴ ∴点 为 的中点 ∥ 平面 平面 平面 ??????6分

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∴ ∵ ∴ 平面

∴ 设

为平面 为平面

的一个法向量 的一个法向量，则有 ， 即

令 ∴ ∴ 而

则

，

∴ ∴ 二面角 （21）解： （Ⅰ）因 的正切值 ??????12分 ，故 ，依题意有

解得 所以 ∵由 ∴所以函数 得 在 或 与 当 ， ，由

???3分

得 上单调递增，在 时取得极大值 上单调递减??6分 ，当 时取得极小值

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数

所以当方程

有三个不相等的实根时，

???8分

∵ ∴当 时，

，解得

，与

矛盾；

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当

时，

，解得 当 时

，与

矛盾；

解得

???11分

∴

???12分

（22）解： （Ⅰ）由条件可得 点 的轨迹方程为 ???????4分 （Ⅱ）设 ， ，

，所以点

轨迹为以直线

为准线，

为焦点的抛物线，所以

的中点为

，

，直线 的方程为

由 ∴

，得 ?????6分

所以

，从而

∵

为正三角 形，∴

且

?????8分

由

，得

，所以

由

，得

即 ∵

，

∴

，从而

?????10分

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∵

∴

∴

的取值范围

．

????????12分

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