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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形


第2讲
一、选择题

三角恒等变换与解三角形

1.已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 B. 3 4

10 ,则 tan 2α 等于( 2 3 C.- 4 4 D.- 3

)

解析 ∵sin α +2cos α =

1

0 , 2

5 2 2 ∴sin α +4sin α ·cos α +4cos α = . 2 用降幂公式化简得:4sin 2α =-3cos 2α , sin 2α 3 ∴tan 2α = =- .故选 C. cos 2α 4 答案 C π? 3 ?π ? ? 2.(2015·晋中模拟)已知 α ∈? ,π ?,sin?α + ?= ,则 cos α 等于( 2 4? 5 ? ? ? A.- C.- 2 10 2 7 2 或 10 10 7 2 B. 10 7 2 D.- 10 )

解析 ∵α ∈?

?π ,π ?.∴α +π ∈?3π ,5π ?. ? ? ? 4 ? 4 ?4 ?2 ?

π? 3 ? ∵sin?α + ?= , 4? 5 ? π? 4 ? ∴cos?α + ?=- , 4 5 ? ? π? π? π π 4 2 3 2 2 ? ? ∴cos α =cos?α + ?cos +sin?α + ?sin =- × + × =- . 4 4 4 4 5 2 5 2 10 ? ? ? ? 答案 A 1 3.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2 ) D.1

1 1 1 2 解析 S△ABC= AB·BCsin B= ×1× 2sin B= ,∴sin B= ,若 B=45°,则由余弦 2 2 2 2 定理得 AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题意,因此 B=135°,由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2-2×1× 2×?-
2 2 2

? ?

2? ?=5,∴AC= 5.故选 B. 2?

答案 B 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C=
2 2

π ,则△ABC 3
1

的面积是( A.3
2

) 9 3 B. 2
2 2 2 2

C.

3 3 2

D.3 3

解析 c =(a-b) +6,即 c =a +b -2ab+6①. π 2 2 2 ∵C= ,由余弦定理得 c =a +b -ab②,由①和②得 3

ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6×
答案 C

1 2

1 2

3 3 3 = ,故选 C. 2 2

4 5 5.已知 tan β = ,sin(α +β )= ,其中 α ,β ∈(0,π ),则 sin α 的值为( 3 13 63 A. 65 33 B. 65 13 C. 65 63 33 D. 或 65 65

)

4 3 5 解析 依题意得 sin β = ,cos β = .注意到 sin(α +β )= <sin β ,因此有 α + 5 5 13 π π π β > (否则,若 α +β ≤ ,则有 0<β <α +β ≤ ,0<sin β <sin(α +β ),这 2 2 2 12 与“sin(α +β )<sin β ”矛盾),则 cos(α +β )=- ,sin α =sin[(α +β )-β ] 13 63 =sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β = . 65 答案 A 二、填空题 6.(2015·天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积 1 为 3 15,b-c=2,cos A=- ,则 a 的值为________. 4 1 15 解析 ∵cos A=- ,0<A<π ,∴sin A= , 4 4

S△ABC= bcsin A= bc×
2

1 2

1 2

15 =3 15,∴bc=24, 4
2 2 2

又 b-c=2,∴b -2bc+c =4,b +c =52,由余弦定理得,

a2=b2+c2-2bccos A=52-2×24×?- ?=64,∴a=8. 4
答案 8 7.(2015·南昌模拟)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 ________. 解析 ∵sin A+ 2sin B=2sin C. 由正弦定理可得 a+ 2b=2c,即 c=

? 1? ? ?

a+ 2b
2


2

cos C=
2

a2+b2-c2 = 2ab
2

a2+b2-?

?a+ 2b?2 ? ? 2 ?

2ab

3a +2b -2 2ab 2 6ab-2 2ab 6- 2 = ≥ = , 8ab 8ab 4 当且仅当 3a =2b 即 =
2 2

a b

2 3

时等号成立.

∴cos C 的最小值为 答案 6- 2 4

6- 2 . 4

8.如图,嵩山上原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC, 小李在山脚 B 处看索道 AC,发现张角∠ABC=120°;从 B 处攀登 400 米到达 D 处,回头看索道 AC,发现张角∠ADC=150°;从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处,则索道 AC 的长为________米. 解析 如题图,在△ABD 中,BD=400 米,∠ABD=120°.因为∠ADC=150°,所以∠ADB =30°.所以∠DAB=180°-120°-30°=30°. 由正弦定理,可得 = . sin∠DAB sin∠ABD 400 AD 所以 = ,得 AD=400 3(米). sin 30° sin 120° 在△ADC 中,DC=800 米,∠ADC=150°,由余弦定理可得

BD

AD

AC2=AD2+CD2-2·AC·CD·cos∠ADC
=(400 3) +800 -2×400 3×800×cos 150°=400 ×13,解得 AC=400 13(米).故索 道 AC 的长为 400 13米. 答案 400 13 三、解答题 9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值;
2 2 2

? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?
解 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.

由正、余弦定理得 a=2b·

a2+c2-b2 . 2ac

3

因为 b=3,c=1,所以 a =12,a=2 3. (2)由余弦定理得 cos A= 由于 0<A<π , 所以 sin A= 1-cos A=
2

2

b2+c2-a2 9+1-12 1 = =- . 2bc 6 3

1 2 2 1- = . 9 3

π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? π? 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = × +?- ?× = . 4 3 4 4 3 2 ? ? 2 6 ? ? 10.(2015·唐山模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 csin B=bcos C =3. (1)求 b; 21 (2)若△ABC 的面积为 ,求 c. 2 解 (1)由正弦定理得:sin Csin B=sin Bcos C.

又 sin B≠0,所以 sin C=cos C,∴C=45°. 又 bcos C=3,所以 b=3 2. 1 21 (2)因为 S△ABC= acsin B= ,csin B=3,所以 a=7, 2 2 由余弦定理可得 c =a +b -2abcos C=25.所以 c=5. π? 2? 11.(2015·山东卷)设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积 ?2? 的最大值. sin 2x (1)由题意知 f(x)= - 2 π? ? 1+cos?2x+ ? 2 ? sin 2x 1-sin 2x 1 ? = - =sin 2x- . 2 2 2 2
2 2 2

?A?



π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 π π 可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z; 4 4 由 π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2

π 3π 可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 4 4 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z); 4 ? 4 ?

4

3π ?π ? 单调递减区间是? +kπ , +kπ ?(k∈Z). 4 ?4 ? 1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 ?2? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 . 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立. 1 2+ 3 因此 bcsin A≤ . 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 . 4
2 2

5


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