kl800.com省心范文网

《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件1


3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

复习:
?

共线向量定理。

对空间任意两个向量 a、 ( b b ? 0), a // b的 充要条件是存在实数 ?,使a=? b。
?

共面向量定理。

如果两个向量a, b不共线,则向量 p与向量a, b

共面的充要条件是存在 实数对x,y,使 p=x a+yb。

平面向量基本定理:
如果e1, e 2是同一平面内的两个不 共线向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、 e 2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。)

空间向量基本定理:
? 如果三个向量a、b、c不共面,那么对空

间任一向量p,存在一个唯一的有序实数 组x,y,z,使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

a,b,c都叫做基向量

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

(1) 空间任意三个不共面向量都可以 作为空间向量的一个基底
(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量 共线,与任意两个非零向量共面,所以, 三个向量不共面,就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量 是指基底中的某一个向量,二者是相关连的 不同概念.

设 a、b、c 不共面(图 3-3).过点 O 作 OA

? a,

OB ? b, OC ? c, OP ? p ;过点 P 作直线 PP′
平行于 OC,交平面 OAB 于点 P′;在平面 OAB 内,过 P′作直线 P′A′∥OB,P′B′∥OA, 分别与直线 OA、OB 相交于点 A′、B′

于是存在三个实数 x,y,z,使

OA? ? xOA =xa, OB? ? yOB =yb,

P?P ? zOC ? zc,

OP ? OA? ? OB? ? P?P ? xOA ? yOB ? zOC .
所以 P=xa+yb+zc.

一、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点,向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p ,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作. P=(x,y,z)

在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一点, A,对应一个向量OA,于是存在唯一的有序实数 组x,y,z,使 OA=xe1+ye2+ze3
z

在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z),叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中x叫做点A的横 坐标,y叫做点A的纵坐标,z 叫做点A的竖坐标.
x

A(x,y,z) e3 e1 O e2 y

例题 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P, Q是线段MN三等分点,用基向量OA,OB, OC表示向量OP,OQ.
O M A Q P C

N
B

3.如图 3-5,已知两条异面直线所成的角为θ , 在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A’E=m,AF=n, EF=l,求公垂线 A A′的长 d.
解: EF ? EA? ? A? A ? AF ,

EF ? ( EA? ? A? A ? AF) ? ( EA? ? A? A ? AF)

2

? EA? ? EA? ? EA? ? A? A ? EA? ? AF ? A? A ? EA? ? A? A ? A? A ? A? A ? AF ? AF ? EA? ? AF ? A? A ? AF ? AF.



AA??EA?, AA?? AF ,
< EA?, AF >=θ (或π —θ ) ,



l ? EA? ? A? A ? AF 2 ? 2EA? ? AF
2 2

2

? m 2 ? d 2 ? n 2 ? 2mncos? ,


d ? l 2 ? m2 ? n 2 ? 2mncos?

已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

解:

习题:
如图,在平行六面体 ABCD-A B C D 中, AB = a, AD =b, AA' =c,p是CA'的中点,M是CD'的中 点,N是C' D'的中点,点Q在CA'上,且 1)AP ; 2)AM 3)AN 4) AQ
B B'
Q P

'

'

'

'

CQ:QA'=4 : 1,用基底{ a, b, c }表示以下向量:
A'
N

D’

C'
M

A

D

2、向量的直角坐标运算.


a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); x y1 z1 1 ? ? ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )(? ? R); x y2 z 2 2 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.

a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) 则

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则

AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.

3. 模长公式: 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) 则 | a |?

a ? a ? a ? a2 ? a3
2 1 2

2 1

2

2

| b |? b ? b ? b ? b2 ? b3
4.夹角公式:

2

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos a ? b ? ? 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

3.两点间的距离公式:

若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,
则 | AB |?

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2

2

2 2 2 d ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 或 A, B 2 1 2 1 2 1
z

A(x1,y1,z1) AB k i x O j B(x2,y2,z2) y

例 1 已知 a ? (2, ?3,5) , b ? (?3,1, ?4) ,
王新敞
奎屯 新疆

求 a ? b , a ? b , | a | , 8a , a ? b .

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9)
| a |? 22 ? (?3) 2 ? 52 ? 38

8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40)

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? ?29

例 2、 已 知 ABCD-A 1 B1 C1 D1是 棱 长 为 2的 立 方 体 , E、 F分 别 为 BB DC 的 中 点 , 试 建 立 空 间 1和 直 角 坐 标 系 , 写 出 图 中 各 点 的 坐 标
D1 C1

D(0,0,0)

A(2,0,0)

B(2,2,0) C(0,2,0)

A1

A1(2,0,2) B1(2,2,2) C1(0,2,2) D1(0,0,2) E(2,2,1) F(0,1,0)
A
D

B1

E F B
C

变 式 1: 求 点 P(2,3,4)在 平 面xOy内 的 射 影 的 坐 标 ; 点 P关 于 平 面 yOz对 称 点 的 坐 标 ; 点 P关 于 原 点 对 称 点 的 坐 标 。
(2,3,0) (0,3,4) (-2,-3,-4)

变 式 2: 求 证 D

面 ADE 1F? 平

AD ? (?2,0,0), D1F ? (0,1, ?2),
AD ? D1 F ? (?2, 0, 0) ? (0,1, ?2) ? 0

? D1F ? AD

AE ? (0,2,1),
AE ? D1F ? (0,2,1) ? (0,1, ?2) ? 2 ? 2 ? 0
? D1 F ? AE ,

又 AD∩AE=A,∴D1F⊥平面 ADE

①本例中坐标系的选取具有一般性,在今后会常用 到,这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负, 且易确定
②原点的坐标为(0,0,0),x轴上的坐标为(x,0,0), y轴上的坐标为(0,y,0),z轴上的坐标为(0,0,z). ③要使一向量a=(x,y,z)与z轴垂直,只要z=0即 可,事实上要使向量a与哪一个坐标轴垂直,只要向 量a的相应坐标为0

A

例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1= A B 1 D1F1= 1 求BE1与DF1所成的角的余弦值
4
解:不妨设正方体的 棱长为1;以D为原 点O建立空间直角坐A 1 标系O-XYZ
D(0,0,0) B(1,1,0) Z

D1

F1 E1 B1

C1

1 F 1( O , 4

, 1)

DO A

C
B

Y

3 1) ( 1 ,, E1 4

X

1 1 所以 BE1 ? (1, ,1) ? (1,1,0) ? (0,? ,1) 3 4 1 1 DF1 ? (0, ,1) ? (0,0,0) ? (0, ,1) 4 4 17 17 BE1 ? , DF1 ? 4 4 1 15 BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (? ? 4)+1?1= 4 16 15 BE1 ? DF1 15 16 所以cos ? BE1, DF1 ?? ? ? 17 17 17 BE1 DF1 ? 4 4 15 所以, BE1和DF1所成角的余弦值是 。 17

例:在正方体ABCD—A’B’C’D’中E,F分别 是BB’,B’D’的中点,求证:EF⊥DA’
解:不妨设正方体的 棱长为1;以D为原 点O建立空间直角坐 标系O-XYZ
1 1 1 E (1,1, ), F ( , ,1) 2 2 2 1 1 1 EF ? (? ,? , ) 2 2 2

z A’

D’

F

C’ B’ E

D A
X

O B

Cy

A1 (1,0,1), D(0,0,0)

DA ,0,1) 1 ? (1

所以得:

已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足下列条件的点D的坐标 (1)DB//AC, DC//AB (2)DB⊥AC,DC⊥AB且AD=BC

已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足下列条件的点D的坐标 (1)DB//AC, DC//AB (2)DB⊥AC,DC⊥AB且AD=BC

已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),B(2,-1,5), (1)求ΔABC的面积. (2)求ΔABC中AB边上的高

已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),B(2,-1,5), (1)求ΔABC的面积. (2)求ΔABC中AB边上的高

已知关于x的方程.x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3) b=(1,0,-2),c=a+tb. (1)在|c|取最小值时,求t的值.

例3如图3—1—59,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4, AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1. (1)求二面角C-DE-C1的正切值; (2)求直线EC,与FD1所成角的余弦值.

例3如图3—1—59,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4, AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1. (1)求二面角C-DE-C1的正切值; (2)求直线EC,与FD1所成角的余弦值.

例3如图3—1—59,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4, AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1. (1)求二面角C-DE-C1的正切值; (2)求直线EC,与FD1所成角的余弦值.

1.已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用 在一个物体上,使物体从点M1(1,-2,1)移到点M2(3,1,2),则合力 所作的功为 .

P99练习

P102练习

P105练习

习题评讲

例:在正方体ABCD—A’B’C’D’中,P,Q, R,S为中点,求证:PQ∥RS
D’ A’ Q B’ C’

S
C

P
D A R B

已知PA⊥面ABCD,且四边形ABCD为矩 形,M,N分别是AB,PC的中点,且有 PA=AD,求证:MN ⊥ 面PDC P D M C

A

N

B


《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修 2-1 第三章第一节的...另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学,借助信息技术创设情境激发学生的 学习兴趣....

长沙市一中教案_高二理科数学《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》

高一英语上册unit1教案1/2 相关文档推荐 长沙市一中课件_高二理科数... 24页...长沙市一中教案_高二理科数学《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》 长沙市一中...

题目28456f2fb4daa58da0114a63

简答题 数学 空间向量的正交分解及其坐标表示 已知正三棱柱ABC—A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O、O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标...

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业 新人教A版选修2-1

搜 试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业 新人教A版选修2-1_高二数学_...

高中数学选修2-1新教学案:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学《空间向量及其运... 2页 2财富值 高中数学...-1新教学案:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示...

高中数学选修2-1同步练习 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(含答案)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...高中数学选修2-1同步练习 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(含答案)_数学_...

高中数学人教A版选修2-1同步练习:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学人教A版选修2-1同步练习:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示_数学_...

高中数学人教版选修2-1教学设计:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学人教版选修2-1教学设计:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示_数学_...

温州市瓯海区三溪中学高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示导学案(无答案)新人教A版选修2-1

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...4 空间向量的正交分解及其坐标表示 【学习目标】 1...高中数学《空间向量及其... 2页 1下载券 【...

高中数学人教A版选修2-1同步练习:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(含答案)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...高中数学人教A版选修2-1同步练习:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(含答案...

空间向量正交分解 | 向量的正交分解 | 向量正交分解 | 平面向量的正交分解 | 空间向量的正交分解 | 力的正交分解课件 | 正交分解课件 | 正交分解 |