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2015年高考数学一轮复习 第二章 不等式 第4课 不等关系与不等式教师版) 文(含解析)


第 4 课 不等关系与不等式
1.两个实数比较大小的方法 >1?a b ? ?a (a,b∈R);(2)作商法? =1?a b a ? ?b<1?a

a

b b b
(a∈R,

?a-b>0?a
(1)作差法?a-b=0?a

?

b b b

? ?a-b<0?a

b>0).
2 2 【例1】设 a, b ? R ,比较 a ? 2b ? 4 与 2a ? 4b 的大小.

【解析】∵ a2 ? 2b2 ? 4 ? (2a ? 4b)

? a2 ? 2a ? 1 ? 2(b2 ? 2b ? 1) ? 1 ? (a ?1)2 ? 2(b ?1)2 ? 1 ? 0
∴ a 2 ? 2b2 ? 4 ? 2a ? 4b . 【变式】已知 a∈R,试比较 【解析】 1 与 1+a 的大小. 1-a
2

1 a -(1+a)= , 1-a 1-a
2

a 1 (1)当 a=0 时, =0, ∴ =1+a. 1-a 1-a a 1 (2)当 a<1,且 a≠0 时, >0,∴ >1+a. 1-a 1-a
1 (3)当 a>1 时, <0, ∴ <1+a. 1-a 1-a 2.不等式的性质 (1)传递性:a>b,b>c? a (3)乘法法则:a>b,c>0? ac
* 2

a2

c. (2)可加性:a>b,c>d? a+c bc;a>b,c<0? ac
n

b+d. bd;

bc;a>b>0,c>d>0? ac

(4) 乘方法则:a>b>0(n∈N )? a
*

bn; n a n b .

(5) 开方法则:a>b>0(n∈N ,n≥2)? 3.不等式的常用性质 (1)a>b,ab>0? 1 1

a

b

.(2)a<0<b?

1

1

a

b

.(3)a>b>0,0<c<d?

a c

b . d

2 2 2 2 【例 2】下列命题:①若 ac ? bc ,则 a ? b .②若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b .

1

③已知 a 、b 、m 都是正数, 并且 a ? b , 则 其中正确的命题是 【答案】①③ 【解析】对于④,当 x ? 0 时, 2 ? 3x ? .

a ?m a 4 ? . ④ 2 ? 3 x ? 的最大值是 2 ? 4 3 . b ?m b x

4 4 ? 2 ? 2 (?3x)(? ) ? 2 ? 4 3 ,故④是假命题. x x
)

【变式】设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( A.a<b< ab<

a+b
2

B.a< ab<

a+b
2 2

<b
2

C.a< ab<b<
2

a+b
2

D. ab<a<

a+b
2

<b

【解析】方法 1:已知 a<b 和 ab<
2 2

a+b

,∵a -( ab) =a(a-b)<0,∴a< ab. 作差法:b-

同理,由 b -( ab) =b(b-a)>0,得 ab<b. 综上,a< ab<

a+b b-a
2 = 2

>0,∴

a+b
2

<b.

a+b
2

<b.故选 B.

方法 2:取 a=2,b=8,则 ab=4,
2

a+b
2

=5. ∴a< ab<

a+b
2

<b.

【例 3】设 f(x)=ax +bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 【解析】方法 1:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得?
?m+n=4 ? ? ?n-m=-2

,解得?

?m=3 ? ? ?n=1

,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
? ?f?-1?=a-b 方法 2:由? ?f?1?=a+b ?

1 ? ?a=2[f?-1?+f?1?] ,得? 1 ? ?b=2[f?1?-f?-1?]

,∴f(-2)=4a-2b

=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,∴5≤f(-2)≤10.

第 4 课 不等关系与不等式作业题 1. (2013 上海高考)如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( A. ) D. ?

1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

2

1 1 ?? a b

【答案】B 1 1 2 2 【解析】当 a=1,b=-3 时, > ,a <b ,a<|b|,故选项 A、C、D 错误.

a b

2

2.下列命题中正确的是( A.若 ac ? bc ,则 a ? b


2 2 B.若 a ? b ,则 a ? b

C.若 a ? b ,则 a ? b 【答案】C

D.若

1 1 ? ,则 a ? b a b

3. (2013 北京高考)设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc 【答案】D B.


2 2

1 1 ? a b

C. a ? b

D. a ? b
3

3

【解析】∵ f ( x) ? x3 在 (??, ??) 单调递增,∴选 D. 4. (2013 金山一模)若 A. a ? b
2 2

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( a b b a B. ab ? b2 C. ? ? 2 a b

) D.

b ?1 a

【答案】D 【解析】由

1 1 b ? ? 0 可知, b ? a ? 0 ,∴ ? 1 ,故 D 不正确. a b a

5.(2013·临沂模拟)若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by, a b ④x-b>y-a,⑤ > 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. y x 【解析】令 x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不正确. a 3 b 2 a b 又∵ = =-1, = =-1,∴ = ,因此⑤不正确. y -3 x -2 y x 由不等式的性质可推出②④成立. 【答案】②④ 6.设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a,b,c 之间的大小关系为______________. 【解析】a=2- 5= 4- 5<0,∴b>0.c=5-2 5= 25- 20>0. b-c=3 5-7= 45- 49<0.∴c>b>a. 【答案】c>b>a 7.已知 ? ? ? ? ? ? ? ? ,求

??? ? ??
2 , 2

2

2

的取值范围.

3

【解析】? ?

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
2

??? ? ? ? ? ? ? , ? ? ?

? ??
2
? 0.

?0

?? ? ? , ?? ? ? ? 0 ??
8.比较 x +3 与 3x 的大小;
2

?
2

?

? ??
2

?

?
2

,?

?
2

?

? ??
2

【解析】 ( x ? 3) ? 3 x ? x ? 3 x ? 3 ? ( x ? ) ?
2 2 2

3 2

3 ? 0 ∴x2+3>3x. 4

9. 已知 a>2,b>2,试比较 a+b 与 ab 的大小. 【解析】∵ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1,又 a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1. ∴(a-1)(b-1)>1,(a-1)(b-1)-1>0.∴ab>a+b.

10.已知 a、b 为正数,且 a≠b,比较 a +b 与 a b+ab 的大小. 【解析】(a +b )-(a b+ab )=a +b -a b-ab
2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

3

3

2

2

=a (a-b)-b (a-b)=(a-b)(a -b )=(a-b) (a+b). ∵a>0,b>0,且 a≠b,∴(a-b) >0,a+b>0, ∴(a +b )-(a b+ab )>0,即 a +b >a b+ab .
3 3 2 2 3 3 2 2 2

2

4


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